5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)周期性与奇偶性 学案(含答案)
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1、1 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 第第 1 课时课时 周期性与奇偶性周期性与奇偶性 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义 2 会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的周期(重点) 3掌握函数 ysin x,ycos x 的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性(重点、易混点) 1.通过周期性的研究,培养逻辑推理素养 2借助奇偶性及图象的关系,提升直观想象素养. 1函数的周期性 (1)周期函数:对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(xT)f(x),那么这个函数的周期为 T
2、. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 ysin x ycos x 周期 2k(kZ 且 k0) 2k(kZ 且 k0) 最小正周期 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 1函数 y2sin2x2是( ) A周期为 的奇函数 B周期为 的偶函数 C周期为 2 的奇函数 D周期为 2 的偶函数 B y2sin2x22cos 2x,它是周期为 的偶函数 2函数 f(x) 2sin 2x 的奇偶性为( ) 2 A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数 A f(x) 2s
3、in 2x 的定义域为 R,f(x) 2sin 2(x) 2sin 2xf(x),所以 f(x)是奇函数 3函数 f(x) 3sinx24,xR 的最小正周期为_ 4 由已知得 f(x)的最小正周期 T224. 4若函数 yf(x)是以 2 为周期的函数,且 f(5)6,则 f(1)_. 6 由已知得 f(x2)f(x), 所以 f(1)f(3)f(5)6. 三角函数的周期问题及简单应用 【例 1】 求下列函数的周期: (1)ysin2x4; (2)y|sin x|. 思路点拨 (1)法一:寻找非零常数 T,使 f(xT)f(x)恒成立 法二:利用 yAsin(x)的周期公式计算 (2)作函数
4、图象,观察出周期 解 (1)法一:(定义法)ysin2x4 sin2x42 sin2x4, 所以周期为 . 法二:(公式法)ysin2x4中 2,T222. (2)作图如下: 3 观察图象可知周期为 . 求三角函数周期的方法: (1)定义法:即利用周期函数的定义求解 (2)公式法:对形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(A, 是常数,A0,0)的函数,T2|. (3)图象法:即通过观察函数图象求其周期 提醒:y|Asin(x)|(A0,0)的最小正周期 T|. 1利用周期函数的定义求下列函数的周期 (1)ycos 2x,xR; (2)ysin13x4,xR. 解 (1)因为 cos 2(
5、x)cos(2x2)cos 2x,由周期函数的定义知,ycos 2x 的周期为 . (2)因为 sin13x64 sin13x24sin13x4,由周期函数的定义知,ysin13x4的周期为 6. 三角函数奇偶性的判断 【例 2】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)sin12x2; (2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x); (3)f(x)1sin xcos2x1sin x. 思路点拨 4 解 (1)显然 xR,f(x)cos12x, f(x)cos12x cos12xf(x), f(x)是偶函数 (2)由 1sin x0,1sin x0,得1sin x1, 解得定义域为x
6、xR且xk2,kZ, f(x)的定义域关于原点对称 又f(x)lg(1sin x)lg(1sin x), f(x)lg1sin(x)lg1sin(x) lg(1sin x)lg(1sin x)f(x), f(x)为奇函数 (3)1sin x0,sin x1, xR 且 x2k2,kZ. 定义域不关于原点对称, 该函数是非奇非偶函数 1判断函数奇偶性应把握好的两个方面: 一看函数的定义域是否关于原点对称; 二看 f(x)与 f(x)的关系 2对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断 提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则 2判断下列函数的奇偶性: 5 (1)f(x
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