5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)单调性与最值 学案(含答案)
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1、1 第第 2 课时课时 单调性与最值单调性与最值 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握 ysin x,ycos x 的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值 (重点、 难点) 2.掌握 ysin x,ycos x 的单调性,并能利用单调性比较大小(重点) 3.会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的单调区间(重点、易混点) 1.通过单调性与最值的计算,提升数学运算素养. 2.结合函数图象,培养直观想象素养. 解析式 ysin x ycos x 图象 值域 1,1 1,1 单调性 在 22k,22k,kZ 上单调递增, 在 22k,322k,kZ 上单调递减 在2k,2k,k
2、Z 上单调递增, 在2k,2k,kZ 上单调递减 最值 x22k, kZ 时, ymax1; x22k,kZ 时,ymin1 x2k,kZ 时,ymax1;x2k,kZ 时,ymin1 思考:ysin x 和 ycos x 在区间(m,n)(其中 0mn2)上都是减函数,你能确定 m的最小值、n 的最大值吗? 提示:由正弦函数和余弦函数的单调性可知 m2,n. 2 1函数 ycos x 在区间2,2上是( ) A增函数 B减函数 C先减后增函数 D先增后减函数 C 因为 ycos x 在区间2,2上先增后减,所以 ycos x 在区间2,2上先减后增 2函数 ysin x4x56的值域为_ 1
3、2,1 因为4x56,所以12sin x1,即所求的值域为12,1 . 3函数 y2sin x 取得最大值时 x 的取值集合为_ xx2k2,kZ 当 sin x1 时,ymax2(1)3, 此时 x2k2,kZ. 4若 cos xm1 有意义,则 m 的取值范围是_ 0,2 因为1cos x1,要使 cos xm1 有意义, 须有1m11,所以 0m2. 正弦函数、余弦函数的单调性 【例 1】 (1)函数 ycos x 在区间,a上为增函数,则 a 的取值范围是_ (2)已知函数 f(x) 2sin42x 1,求函数 f(x)的单调递增区间 思路点拨 (1)确定 a 的范围ycos x 在区
4、间, a上为增函数ycos x 在区间,0上是增函数,在区间0,上是减函数a 的范围 (2)确定增区间令 u42xy 2sin u 的单调递增区间 (1)(,0 (1)因为 ycos x 在,0上是增函数,在0,上是减函数,所以只有a0 时满足条件,故 a(,0 3 (2)解 令 u42x,函数 y 2sin u 的单调递增区间为22k,22k ,kZ,由22k42x22k,kZ, 得38kx8k,kZ. 所以函数 f(x) 2sin42x 1 的单调递增区间是38k,8k ,kZ. 1求形如 yAsin(x)b 或形如 yAcos(x)b(其中 A0,0,b 为常数)的函数的单调区间,可以借
5、助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得 2具体求解时注意两点:要把 x 看作一个整体,若 0,0 时,将“x”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当 A0 时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间 提醒:复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律 1(1)函数 ysin3x6,x3,3的单调递减区间为_ (2)已知函数 ycos32x ,则它的单调减区间为_ (1)3,29,9,3 (2)k6,k23(kZ) (1)由22k3x6322k(kZ), 得92k3x492k3(kZ) 又 x3,3, 所以函数 ysin3x6, x3,3的单调
6、递减区间为3,29,9,3. (2)ycos32x cos2x3, 4 由 2k2x32k,kZ, 得 k6xk23,kZ,单调递减区间是k6,k23(kZ) 利用三角函数的单调性比较大小 【例 2】 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小 (1)sin18与 sin10; (2)sin 196 与 cos 156 ; (3)cos235 与 cos174 . 思路点拨 用诱导公式化简 利用函数的单调性由自变量的大小推出对应函数值的大小 解 (1)210182, sin18sin10. (2)sin 196 sin(180 16 )sin 16 , cos 156 cos(180 24 )
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