5.5.2简单的三角恒等变换 学案(含答案)
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1、1 5.5.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能用二倍角公式导出半角公式,能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式体会其中的三角恒等变换的基本思想方法,以及进行简单的应用(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法,能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(难点、易错点) 1.通过公式的推导,培养逻辑推理素养. 2.借助三角恒等变换的简单应用, 提升数学运算素养. 半角公式 (1)sin2 1cos 2, (2)cos2 1cos 2, (3)tan2 1cos 1c
2、os , (4)tan2sin 2cos2sin2 2cos2cos2 2cos2sin 1cos , tan2sin2cos2sin2 2sin2cos2 2sin21cos sin . 1已知 180 360 ,则 cos2的值等于( ) A1cos 2 B.1cos 2 C1cos 2 D.1cos 2 2 C 180 360 ,90 2180 , 又 cos221cos 2,cos 1cos 2. 2已知 cos 35,32,2 ,则 sin 2等于( ) A.55 B55 C.45 D.2 55 A 由题知234, ,sin 20,sin 21cos 255. 3已知 24,且 si
3、n 35,cos 0,则 tan2的值等于_ 3 由 sin 35,cos 0 得 cos 45, tan2sin2cos22sin2cos22cos22sin 1cos 351453. 化简求值问题 【例 1】 (1)设 56,cos2a,则 sin4等于( ) A.1a2 B.1a2 C1a2 D1a2 (2)已知 32,化简: 1sin 1cos 1cos 1sin 1cos 1cos . 3 思路点拨 (1)先确定4的范围,再由 sin241cos22得算式求值 (2)1cos 2cos22,1cos 2sin22,去根号,确定2的范围,化简 (1)D 56,252,3 ,454,32
4、. 又 cos2a, sin41cos221a2. (2)解 原式 sin2cos222cos2 2sin2sin2cos222cos2 2sin2. 32,2234,cos20,sin20, 原式sin2cos22 2sin2cos2sin2cos222sin2cos2 sin2cos22sin2cos22 2cos2. 1化简问题中的“三变” (1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式 (2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切 (3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如
5、升幂、降幂、配方、开方等 2利用半角公式求值的思路 (1)看角:看已知角与待求角的 2 倍关系 (2)明范围:求出相应半角的范围为定符号作准备 4 (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用 tan2sin 1cos 1cos sin ,涉及半角公式的正、余弦值时,常利用 sin221cos 2,cos221cos 2计算 (4)下结论:结合(2)求值 提醒:已知 cos 的值可求2的正弦、余弦、正切值,要注意确定其符号 1已知 cos 35,且 180 270 ,求 tan 2. 解 法一:180 270 ,90 2135 ,即2是第二象限角,tan 20, tan 21cos 1cos 1
6、351352. 法二:180 270 ,即 是第三象限角, sin 1cos2192545, tan 21cos sin 135452. 三角恒等式的证明 【例 2】 求证:cos21tan2tan214sin 2. 思路点拨 法一:切化弦用二倍角公式由左到右证明; 法二:cos2 不变,直接用二倍角正切公式变形 证明 法一:用正弦、余弦公式 左边cos2cos2sin2sin2cos2 5 cos2cos22sin22sin2cos2cos2sin2cos2cos22sin22 cos2sin2cos2cos sin2cos2cos 12sin cos 14sin 2右边, 原式成立 法二:
7、用正切公式 左边cos2tan21tan2212cos22tan21tan2212cos2 tan 12cos sin 14sin 2右边, 原式成立 三角恒等式证明的常用方法 1执因索果法:证明的形式一般化繁为简; 2左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子; 3拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同; 4比较法:设法证明“左边右边0”或“左边/右边1”; 5分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立. 2求证: 2sin xcos xsin xcos x1sin xcos x
8、11cos xsin x. 证明 左边2sin xcos x2sinx2cosx22sin2x2 2sinx2cosx22sin2x2 6 2sin xcos x4sin2x2cos2x2sin2x2 sin x2sin2x2 cos x2sinx22cos2x22sinx2cosx21cos xsin x右边 所以原等式成立 恒等变换与三角函数图象性质的综合 【例 3】 已知函数 f(x) 3cos2x32sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期 (2)求证:当 x4,4时,f(x)12. 思路点拨 化为fxAsinxb 由T2|求周期 分析fx在4,4上的单调性 求最小值证明
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