北京市海淀区2021—2022学年度高三第一学期期末数学试卷（含答案）

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1、海淀区2021-2022学年第一学期期末练习 高三数学 2022. 01本试卷共6页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则 (A) (B) (C) (D) （2）抛物线的准线方程为 (A) (B) (C) (D) （3）复数的虚部为 (A) (B) (C) (D) （4）在的展开式中，的系数为 (A) (B) (C) (D) （5）已知角的终边在第三象限，且，则 (A) (B)

2、 (C) (D)（6）已知是等差数列，是其前n 项和. 则“”是“对于任意且，”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）若函数在上单调递增，则的最大值为(A) (B) (C) (D) 1（8）已知圆过点，则圆心到原点距离的最小值为 (A) (B) (C) (D) （9）如图，是两个形状相同的杯子，且杯高度是杯高度的，则杯容积与杯容积之比最接近的是 （A） （B）（C） （D）（10）已知函数，. 若对于图象上的任意一点，在的图象上总存在一点，满足，且，则实数 (A) (B) (C) (D)第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题

3、，每小题5分，共25分。（11）双曲线的渐近线方程为_.（12）已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球. 现从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是_,若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是_. （13）已知函数的值域为，的图象向右平移1个单位后所得的图象与的图象重合，写出符合上述条件的一个函数的解析式：_.（14） 若，且，则_,的最大值为 .（15）如图，在正方体中，为棱的中点. 动点沿着棱从点向点移动，对于下列三个结论：存在点，使得；的面积越来越小；四面体的体积不变.所有正确的结论的序号是_.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

4、（16）（本小题14分）在中，.（）求的大小；（）再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的面积. 条件：；条件：；条件：.（17）（本小题14分）如图，已知长方体中，.为中点，平面交棱于点.（）求证：；（）求二面角的余弦值，并求点到平面的距离.（18）（本小题14分）某班组织冬奥知识竞赛活动，规定首轮比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答. 假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中的 4道题且另外2道题不能完成. （）求甲至少正确完成其中2道题的概率；（）设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求X的分布列及期望

5、；（）现规定至少正确完成其中2道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由.（19）（本小题14分）已知点在椭圆：上.（）求椭圆的方程和离心率；（）设直线（其中）与椭圆交于不同两点，直线，分别交直线于点,. 当的面积为时，求的值.（20）（本小题15分）函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数在上的最小值；（）直接写出的一个值，使恒成立，并证明.（21）（本小题14分）已知n行n列的数表中，对任意的，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记.（）若数表，请直接写出B，C是否是典型表；（）当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出

6、一个A；若不存在，请说明理由；（）求的最小值.海淀区20212022学年第一学期期末练习 高三数学参考答案 2022.01一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案CDCACBCBBB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。题号（11）（12）（13）（14）（15）答案，或或其它三、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题共14分）解：（）由,可得 因为为三角形内角，所以. （）选择条件. 由（）知为锐角， 又因为，所以， 所以， 所以. 由正弦定理可得，所以， 所以的面积为. 说明：最后两步也可以如下计算：由正弦定

7、理可得，所以， 所以的面积为. （17）（本小题14分）解：（）证法1：因为长方体中，平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 证法2：因为长方体中，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面=，所以. （）因为，两两垂直，所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示： -5分则， 平面的法向量为， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则，所以， 所以. 又因为二面角为锐角， 所以，二面角的余弦值为. 设点到平面的距离为，则. （18）（本小题14分）解：（）法1：设甲在首轮比赛中正确完成的题数为，易知， 所以. 法2：. （）由题意得的取值范围是 ， 所以的分布列为

8、123所以 （） 从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；因为，所以，从正确完成实验操作的题数的方差方面分析,乙的水平更稳定；因为，所以.从至少正确完成2题的概率方面分析，乙通过的可能性更大. （19）（本小题14分）解：（）因为点在椭圆：上，所以将点代入椭圆方程，可得，所以. 所以椭圆的方程为. 因为，所以椭圆的离心率为. （）由可得 . 恒成立，设，则，. 直线AE的方程为， 令，得点M的纵坐标为， 同理可得点N的纵坐标为， 所以 . 因为的面积，所以，即， 化简得，解得或.所以的值为0或2. （20）（本小题15分）解：（）因为， 所以且， 所以， 所以曲线在点处的切线方程

9、为，即. （）当，时,因为, 所以在上单调递增， 所以在上的最小值为. （）取，以下证明恒成立. 令，即证恒成立.（1）当时，有, ，所以， 所以在上单调递减，所以在上恒成立. （2）当时，令.因为, ，所以， 所以在上单调递增，所以在上恒成立. 所以在上单调递增， 所以在上恒成立. 综上，恒成立，所以恒成立. （21）（本小题14分）解：（）B不是典型表，C是典型表； （）方法1. 不可能等于17. 以下用反证法进行证明.证明：假设，那么典型表中有19个0，在六行中至少有一行0的个数不少于4，不妨设此行为第一行，且不妨设. 此时前四列中，每一列的其余位置中都至少有4个1，所以前四列中至少有1

10、6个1，所以与中至多有一个1，即与中至少有一个为0，不妨设，则第五列的其余位置中至少又有5个1，所以前五列中已经有不少于21个1了，与矛盾！所以假设不成立. 所以不可能等于17. （）方法2.不可能等于17，以下证明.证明：因为当典型表中0的个数不超过18时，那么1的个数不少于18，所以；以下只需证明当典型表中0的个数大于18时，也有成立.当典型表中0的个数大于18时，在六行中至少有一行0的个数不少于4，不妨设此行为第一行. （1）若第一行0的个数为6，则，不合题意；（2）若第一行0的个数为5，不妨设，此时前5列中，每一列的其余位置都只能是1，所以.（3）若第一行0的个数为4，不妨设，此时前4

11、列中，每一列的其余位置中都至少有4个是1，所以.综上，. 所以不可能等于17. （）方法1在水平方向的n行和竖直方向的n 列中，一定存在某一行或某一列中含有的1的个数最少，不妨设第一行中的1最少，并设其个数为，其中. 且不妨设第一行中前k个为1，后个为0.对于第一行中为1的这k列中，因为每一列都至少有k个1，所以共有个1；对于第一行中为0的列中，每一列中都至少有个1，所以. 以下记，（1）当n为偶数时，则对任意的恒成立.而且可以取到. 例如：当“且”和“且”时，其它位置为0，此时.（2）当n为奇数时，则对任意的恒成立. 而且可以取到. 例如：当“且”和“且”时，其它位置为0，此时.综上，当n为

12、偶数时，的最小值为；当n为奇数时，的最小值为. （）方法2（整体分析，算两次）设典型表A 的第i列有个0，（），A 的第j列有个0，（），则典型表A 中0的总个数为.由定义可得 ，所以，所以.又因为， ，所以，所以，所以.（1）当n为偶数时，可以取到. 例如：当“且”和“且”时，其它位置为0，此时.（2）当n为奇数时，而且可以取到.例如：当“且”和“且”时，其它位置为0，此时.综上，当n为偶数时，的最小值为；当n为奇数时，的最小值为.（）方法3在水平方向的n行和竖直方向的n 列中，一定存在某一行或某一列中含有的的个数最少，不妨设第一行中的1最少，并设其个数为，其中. 且不妨设第一行中前k个为1，后个为0.（1）当n为偶数时，若，则；若，对于第一行中为1的这k列中，因为每一列都至少有k个1，所以共有 个1；对于第一行中为0的列中，每一列中都至少有个1，所以.而且可以取到. 例如：当“且”和“且”时，其它位置为0，此时.（2）当n为奇数时，若，则；若，对于第一行中为1的这k列中，因为每一列都至少有k个1，所以共有个1；对于第一行中为0的列中，每一列中都至少有个1，所以. 而且可以取到.例如：当“且”和“且”时，其它位置为0，此时.综上，当n为偶数时，的最小值为；当n为奇数时，的最小值为.