5.4.2正弦函数余弦函数的性质 导学案(1)含答案
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1、第五章第五章 三角函数三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义 2.掌握 ysin x(xR),ycos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值 3.会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的周期,单调区间及最值 重点: ysin x(xR),ycos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值 难点:会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的周期,单调区间及最值 1函数的周期性 (1)对于函数 f(x),如果存在一个_,使得当 x 取定义域内的_值时,都有_,那么函数 f(x)就叫做周期函数,_叫做这个函数的
2、周期 (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_, 那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 2两种特殊的周期函数 (1)正弦函数是周期函数,2k(kZ 且 k0)都是它的周期,最小正周期是_. (2)余弦函数是周期函数,2k(kZ 且 k0)都是它的周期,最小正周期是_. 2.正、余弦函数的奇偶性 1 对于ysin x, xR恒有sin(x)sin x, 所以正弦函数ysin x是_函数, 正弦曲线关于_对称 2对于 ycos x,xR 恒有 cos(x)cos x,所以余弦函数 ycos x 是_函数,余弦曲线关于_对称 3.正、余弦函数的单调性与最值 不 同 处 图象 奇偶
3、性 _函数 _函数 单调性 在2k2,2k2(kZ)上是在2k,2k(kZ)上是_;在2k,2k(kZ)上_ _;在2k2,2k32 (kZ)上是_ 不 同 处 对称轴 xk2(kZ) xk(kZ) 对称中心 (k,0)(kZ) k2,0 (kZ) 最值 x_时,ymax1; x_时,ymin1 x_时,ymax1;x x_时,ymin1 提出问题提出问题 类比以往对函数性质的研究,你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质?观察它们的图象,你能发现它们具有哪些性质? 问题探究问题探究 根据研究函数的经验,我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大(小)值等另外,三角函数是刻画“周而复始
4、”现象的数学模型,与此对应的性质是特别而重要的 观察正弦函数的图象,可以发现,在图象上,横坐标每隔 2 个单位长度,就会出现纵坐标相同的点,这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律实际上,这一点既可从定义中看出,也能从诱导公式 ( ) (kZ)中得到反映,即自变量 的值增加 2 整数倍时所对应的函数值,与 所对应的函数值相等数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律 1.周期性周期性 一般地,对于函数 ( ) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 取定义域内的每一个值时,都有 ( ) ( )那么函数 ( )就叫做周期函数(periodicfunction)非零常数 T 叫
5、做这个函数的周期(period) 周期函数的周期不止一个例如,以及,都是正弦函数的周期事实上 ,且 ,常数 都是它的周期 如果在周期函数 ( )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 ( )的最小正周期(minimalpositiveperiod) 根据上述定义,我们有:正弦函数是周期函数, (kZ 且 k)都是它的周期,最小正周期是类似地,余弦函数也是周期函数, (kZ 且 k)都是它的周期,最小正周期是 典例解析典例解析 例 2求下列三角函数的周期: (1) y3sinx,xR;(2)ycos 2x,xR;(3) ( ) xR; 2.奇偶性奇偶性 观察正弦曲线和余弦曲线 ,
6、 可以看到正弦曲线关于原点 犗 对称 , 余弦曲线关于 x 轴对称 这个事实 , 也可由诱导公式 ( )= ; ( )= 得到 所以正弦函数是奇函数 , 余弦函数是偶函数 知道一个函数具有周期性和奇偶性 , 对研究它的图象与性质有什么帮助 ? 做一做做一做 1(1)函数 f(x) 2sin 2x 的奇偶性为 ( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 (2)判断函数 f(x)sin34x32的奇偶性 3. 单调性单调性 由于正弦函数是周期函数 , 我们可以先在它的一个周期的区间 ( 如 - ) 上讨论它的单调性 , 再利用它的周期性 , 将单调性扩展到整个定义域 观察图
7、 5.4-8, 可以看到 :当 由- 增大到 时 , 曲线逐渐上升 , 的值由-1 增大到 1; 当 由 增大到 时 , 曲线逐渐下降 , 的值由 1 减小到 -1 的值的变化情况如表 5.4.2 所示 : 就是说,正弦函数 在区间 - 上单调递增,在区间 上单调递减,有正弦函数的周期性可得; 正弦函数在每一个闭区间 - 2 2 ( kZ ) 上都单调递增 ,其值从-1 增大到 1 ;在每一个闭区间 2 2 ( kZ ) 上都单调递减 ,其值从 1 减小到-1 类似地 , 观察余弦函数在一个周期区间 ( 如 - ) 上函数值的变化规律 , 将看到的函数值的变化情况填入表 5.4.3 由此可得,
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- 5.4
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