2022年1月北京市海淀区高二上期末数学试卷（含答案）

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1、高二数学 第 1 页（共 11 页） 高二第一学期期末参考样题 数 学 2022.01 学校 姓名 准考证号 考 生 须 知 1本样题共 5 页，共两部分，19 道题，满分 100 分。考试时间 90 分钟。 2在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）下列直线中, 倾斜角为45的是 （A）10 xy （B）10 x

2、（C）20 xy （D）210 xy （2）若直线10 xay 与直线20 xy垂直, 则 a 的值为 （A）2 （B）1 （C）12 （D）1 （3）如图, 在四面体OABC中, ,OAOBOCuuu ruuu ruuu rabc, D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点, 则OEuuu r可用向量, ,a b c表示为 （A）111222abc （B）111244abc （C）111424abc （D）111442abc （4）平面与平面平行的充分条件可以是 （A）平面内有一条直线与平面平行 （B）平面内有两条直线分别与平面平行 （C）平面内有无数条直线分别与平面平行 （D）平面内有

3、两条相交直线分别与平面平行 D O C E B A 高二数学 第 2 页（共 11 页） （5）若双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线经过点( 3,1), 则双曲线的离心率为 （A）2 33 （B）62 （C）3 （D）2 （6）已知球 O 的半径为 2, 球心到平面的距离为 1, 则球 O 被平面截得的截面面积为 （A）2 3 （B）3 （C）3 （D） （7）如图, 在三棱锥PABC中, PAABC平面, ABAC, 2PA , 2ABAC, 则 点 A 到平面PBC的距离为 （A）1 （B）32 （C）22 （D）12 （8）如图,12,F F是平面上的两点, 且12|=1

4、0FF, 图中的一系列圆是圆心分别为12,F F的两组 同心圆, 每组同心圆的半径分别是 1, 2, 3, A, B, C, D, E 是图中两组同心圆的部分公共 点. 若点 A 在以12,F F为焦点的椭圆 M 上, 则 （A）点 B 和 C 都在椭圆 M 上 （B）点 C 和 D 都在椭圆 M 上 （C）点 D 和 E 都在椭圆 M 上 （D）点 E 和 B 都在椭圆 M 上 B C P A EABDCF2F1高二数学 第 3 页（共 11 页） （9）设 P 为直线2ykx上任意一点, 过 P 总能作圆221xy的切线, 则k的最大值为 （A）33 （B）1 （C）2 （D）3 （10）

5、某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”. 他们的设计思路是将某双曲线的一部 分（图 1 中 A, C 之间的曲线）绕其虚轴所在直线 l 旋转一周, 得到花瓶的侧面,花瓶底部 是平整的圆面, 如图 2. 该小组给出了图 1 中的相关数据: 1113cm, 12cm, AABB 1111120 cm, 15cm, 48cmCCABBC, 其中 B 是双曲线的一个顶点. 小组中甲、乙、 丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度）, 结 果如下表所示. 学生 甲 乙 丙 丁 估算结果（cm3） 25200 17409 14889 13809 其中估算结果最接近花瓶的容积

6、的同学是 （参考公式: 2VR h 圆柱, 213VR h圆锥, 221()3Vh rrRR圆台 ） （A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁 l 图 2 C1 C A1 A B B1 图 1 高二数学 第 4 页（共 11 页） 第二部分（非选择题 共 60 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。 （11）圆222690 xyxy的圆心坐标为_； 半径为_. （12）在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中, 111ACABuuuu r uuuu r_. （13）已知双曲线 M 的中心在原点, 以坐标轴为对称轴. 从以下三个条件中任选两个条件, 并 根据所选条件

7、求双曲线 M 的标准方程. 一个焦点坐标为(2,0)； 经过点( 3,0)； 离心率为2. 你选择的两个条件是_, 得到的双曲线 M 的标准方程是_. （说明:仅填写第一空不得分, 只有在第一空填写的条件下填对第二空才得满分） （14）椭圆22:184yCx的右焦点为 F, 过原点的直线与椭圆 C 交于两点 A, B, 则ABF的 面积的最大值为_. （15）如图, 在矩形ABCD中, 1,3ABAD, 将ABD沿BD所在的直线进行翻折, 得到 空间四边形1ABCD. 给出下面三个结论: 在翻折过程中, 存在某个位置, 使得1ACBD； 在翻折过程中, 三棱锥1ABCD的体积不大于14； 在翻

8、折过程中, 存在某个位置, 使得异面直线1AD与BC所成角为 45. 其中所有正确结论的序号是_. D C B A B C D A1 高二数学 第 5 页（共 11 页） 三、解答题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 8 分） 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 O 以原点为圆心, 且经过点(1, 3)M. （）求圆 O 的方程； （）若直线320 xy与圆 O 交于两点 A, B, 求弦长|AB|. （17）（本小题 11 分） 如图, 在直三棱柱111ABCABC中,ACBC,11,2ACBCAA. M 为侧棱1BB的中点,连接11,AM

9、 C M CM. （）证明：11/ACAC M平面； （）证明：11CMAC M 平面； （）求二面角111CAMB的大小. （18）（本小题 10 分） 已知抛物线2:2C ypx经过点(1,2). （）求抛物线C的方程及其准线方程； （）经过抛物线C的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于两点 M, N, 且与抛物线的准线交于点 Q. 若| 2 2 |MNQF, 求直线 l 的方程. （19）（本小题 11 分） 已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为63, 一个焦点为(2,0). （）求椭圆 E 的方程； （）设O为原点, 直线(0)yxm m与椭圆 E 交于不同的两点 A, B

10、, 且与x轴交于点 C, P 为线段 OC 的中点, 点 B 关于 x 轴的对称点为1B. 证明：1PAB是等腰直角三角形. A1B1MBAC1C高二数学 第 6 页（共 11 页） 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） （1）C （2）A （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A （8）C （9）D （10）D 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） （11）(1, 3), 1 （12）1 （13）, 2213xy或 , 22122xy 或 , 22133xy （14）4 （15） 说明:（1）第 13 题共有三种正确的填写方法，只需

11、填写其中一种. 只有在第一空填写的条件下填对第二空才得满分，有一空不填或两空所填内容不匹配的均得 0 分； （2）第 15 题不填或填写含有的得 0 分，仅填写或的得 2 分，填写的得满分. 三、解答题（共 4 小题，共 40 分） （16）（共 8 分） 解： （）设圆 O 的方程为222xyr， 将点 M 的坐标代入圆 O 的方程得213r，即2r . 所以圆 O 的方程为224xy. （）圆心 O 到直线320 xy的距离为213 1d , 所以22|()42ABd . 所以2|12AB ，| 2 3AB . （17） （共 11 分） 解法一： （）在直三棱111ABCABC中，侧面1

12、1ACC A为平行四边形. 所以11/ACAC. 高二数学 第 7 页（共 11 页） 因为AC 平面11AC M,11AC 平面11AC M, 所以11/ACAC M平面. （）在直三棱柱111ABCABC中, 侧棱1CC 平面111ABC. 所以111CCAC. 因为ACBC, 且11/ACAC，11/BCBC，所以1111ACBC. 因为1111CCBCCI, 所以1111ACBBC C 平面. 又因为11CMBBC C 平面，所以11ACCM. 因为1BBBC,BCBM, 所以45CMB. 同理1145C MB, 所以190CMC. 即1CMC M. 因为1111ACC MCI, 所以

13、11CMAC M 平面. （）由题意可知1,CA CB CC两两垂直, 故以C为 原点，以1,CA CB CC所在的直线分别为x轴，y轴， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 由题得 11(0,0,0),(1,0,2),(0,1,2),(0,1,1)CABM. 所以(0,1,1)CM uuuu r, 1(0,0,1)MB uuuu r, 11( 1,1,0)AB uuuu r. 由（）知11CMAC M 平面，所以平面11AC M的 一个法向量为(0,1,1)CMuuuu rm. 设平面11AMB的一个法向量为( , , )x y zn. xzyA1B1MBAC1C高二数学 第 8

14、页（共 11 页） 得111,MBABuuuu ruuuu rnn,即1110,0MBABuuuu ruuuu rnn. 得0,0zxy . 令1x ，得1y ，所以(1,1,0)n. 可得1cos,|2m nm nm n. 又因为二面角111CAMB的平面角为锐角, 所以二面角111CAMB的大小为3. 解法二： （）同解法一. （）由题意可知1,CA CB CC两两垂直, 故以C为原点， 以1,CA CB CC所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 由题得11(1,0,2),(0,0,2),(0,1,1)ACM. 所以11( 1,0,0)AC uuuu

15、r，1( 1,1, 1)AM uuuur，(0,1,1)CM uuuu r 设平面11AC M的一个法向量为( , , )x y zm. 得111,ACAMuuuu ruuuurmm,即1110,0ACAMuuuu ruuuurmm. 得0,0 xxyz . 则0 x ，令1y ，得1y ，所以(0,1,1)m, 因为/CMuuuu rm，所以11CMAC M 平面. xzyA1B1MBAC1C高二数学 第 9 页（共 11 页） （）设平面11AMB的一个法向量为( , , )x y zn. 得111,MBABuuuu ruuuu rnn,即1110,0MBABuuuu ruuuu rnn.

16、 得0,0zxy . 令1x ，得1y ，所以(1,1,0)n. 由（）可知，平面11AC M的一个法向量为(0,1,1)m. 可得1cos,|2m nm nm n. 又因为二面角111CAMB的平面角为锐角, 所以二面角111CAMB的大小为3. （18） （共 10 分） 解： （）将点(1,2)的坐标代入抛物线C的方程， 得222p，即2p . 所以抛物线C的方程为24yx. 准线方程为1.x （）解法一: 依题意,直线 l 的斜率存在且不为 0，所以设直线 l 的方程为(1) (0)yk xk. 联立2(1),4yk xyx, 化简得 2222(24)0k xkxk. 易知2242(2

17、4)416160kkk. 设1122(,),(,)M x yN xy，则212224kxxk. 则221222244422kkMNxxkk. 高二数学 第 10 页（共 11 页） 易知( 1, 2 ),(1,0)QkF ，所以244QFk. 因为| 2 2 |MNQF，所以222442 2 44kkk. 得21k ，即1k . 所以直线l的方程为10 xy 或10 xy . 解法二: 依题意,直线 l 的斜率存在且不为 0，所以设直线 l 的方程为(1) (0)yk xk. 联立2(1),4yk xyx,化简得2222(24)0k xkxk. 易知2242(24)416160kkk. 设11

18、22(,),(,)M x yN xy，则212224kxxk，121x x . 易知( 1, 2 ),(1,0)QkF ，因为| 2 2 |MNQF，所以|2 2|MNQF. 所以122 22xx，即124 2xx. 即2121 2()44 2xxx x，故22224()44 2kk. 得21k ，即1k . 所以直线l的方程为10 xy 或10 xy . （19） （共 11 分） 解:（）依题意，6,23ceca， 得6a ，2222bac. 得22162xy. （）设点(,0)Cm, 则点(,0)2mP . 联立方程22,36yxmxy, 高二数学 第 11 页（共 11 页） 可得，2

19、246360 xmxm. 依题意，223616(36)0mm, 得2 22 2m. 又因为0m ，所以2 20m或02 2m. 设11(,)A x y, 22(,)B xy, 122(,)B xy, 得1232mxx . 设向量11(,)2mPAxyuuu r, 122(,)2mPBxyuuur, 则有11212()()22mmPA PBxxy yuuu r uuur 1212()()()()22mmxxxm xm 2123()24mxxm 2233044mm. 所以1PAPB. 所以190APB. 设AB的中点为00(,)M xy, 则120+324xxmx , 004myxm. 342104PMmmkm , 由题意可知1ABk，故PMAB, 所以| |PAPB. 因为点 B 关于 x 轴的对称点为1B，所以1| |PBPB. 所以1|PAPB. 所以1APB为等腰直角三角形. 注：本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分注：本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分. .