2022年1月北京市平谷区高二上期末数学试卷（含答案）

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1、平谷区 20212022 学年度第一学期质量监控 高二数学试卷 20221 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的只有一项是符合要求的 1. 直线310 xy的倾斜角为（ ） A. 30o B.150o C. 060 D. 120o 2. 下列直线中，与直线320 xy垂直的是（ ） A. 320 xy B. 320 xy C. 320 xy D. 320 xy 3.圆2220 xyx和圆2240 xyy的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交

2、D. 外离 4.甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是 0.9 和 0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（ ） A0.72 B0.26 C0.7 D0.98 5 在平面直角坐标系xOy中，抛物线2: (0)C yax a上点(1,)Mm到焦点的距离 为 3，则焦点到准线的距离为（ ） 6.甲乙两名运动员在某项体能测试中的 6 次成绩统计如表： 12,x x分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，12,s s分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ） A12xx，12ss B12xx，12ss C12xx，12ss D12xx，12ss 7. 已知实数x，y满足2224

3、200 xyxy，则y的最小值是 A B C1 D 甲甲 9 8 16 15 15 14 乙乙 7 8 13 15 17 22 284A3 B2 C7 D6 8已知三棱锥OABC，点,M N分别为,AB OC的中点，且,OAOBOCuuu ruuu ruuu rabc，用a，b，c表示MNuuuu r，则MNuuuu r等于( ) A1()2b+ca B1()2abc C1()2abc D1()2cab 9. 一个盒子里有 3 个分别标有号码为 1，2，3 的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取 2 次，则在两次取得小球中，标号最大值是 3 的概率为（ ） A. 19 B. 2

4、3 C. 59 D. 13 10已知点P是椭圆方程2213xy上的动点，,M N是直线l：yx上的两个动点，且满足|MNt，则 A存在实数t使MNP为等腰直角三角形的点P仅有一个 B存在实数t使MNP为等腰直角三角形的点P仅有两个 C存在实数t使MNP为等腰直角三角形的点P仅有三个 D存在实数t使MNP为等腰直角三角形的点P有无数个 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 35 分分 11点( 2,0)到直线1yx的距离为_. 12抛物线上的点到其焦点的最短距离为_. 13若直线10axy 与直线10 xay 平行，则_a . 14某部门计划对

5、某路段进行限速，为调查限速 60 km/h 是否合理，对通过该路段的 300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按40,50)，50,60)，60,70)，70,80分组，绘制成如图所示频率分布直方图.则_a ；这 300 辆汽车中车速低于限速 60 km/h 的汽车有 辆. 2=4xy车速O40 50 60 70 800.0100.0350.030a频率组距O B A M N C 15.若双曲线22221(0 0)xyabab，的渐近线方程为32yx ，则该双曲线的离心率为_；若2a，则双曲线的右焦点到渐近线的距离为_. 16某中学拟从 4 月 16 号至 30 号期间，选择连续两天举行春季运动

6、会，从已往的气象记录中随机抽取一个年份，记录天气结果如下： 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 雨 雨 阴 晴 晴 晴 雨 估计运动会期间不下雨的概率为_. 17已知曲线C的方程是22|xyxy，给出下列四个结论： 曲线C恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ； 曲线C有 4 条对称轴； 曲线C上任意一点到原点的距离都不小于 1； 曲线C所围成图形的面积大于 4； 其中，所有正确结论的序号是_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 65 分解答应写出文字说明，

7、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18 （本小题共 13 分） 如图，在直三棱柱111ABCABC中，90BAC， 12,ABACAAE是BC中点. （I）求点1A到平面1AEC的的距离； （II）求平面1AEC与平面11ABB A夹角的余弦值； EC1B1A1CBA19 （本小题共 13 分） 立德中学举行冬令营活动期间， 对20位参加活动的学生进行了文化和体能测试， 满分为 150分， 其测试成绩都在 90 分和 150 分之间， 成绩在(90,110认定为 “一般” ， 成绩在(110,130认定为“良好” ，成绩在(130,150认定为“优秀” 成绩统计人数如

8、下表： 一般 良好 优秀 一般 0 2 1 良好 3 b 1 优秀 2 3 a 例如，表中体能成绩良好且文化成绩一般的学生有 2 人 （I）若从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生概率为12 求a，b的值； （II）在（I）的情况下，从体能成绩优秀的学生中，随机抽取 2 人，求至少有一个人文化的成绩为优秀的概率； （III）若让使参加体能测试的成绩方差最小，写出b的值 （直接写出答案） 20 （本小题共 12 分） 已知椭圆 C：22221yxab（0ab）的离心率为32，并且经过点3( 1,)2P ， （）求椭圆 C 的方程； （） 设点P关于坐标原点O的对称点为Q

9、， 点00(,)M xy0(1 )x 为椭圆C上任意一点，直线,PM QM的斜率分别为1k，2k，求证：12k k为定值 体能 文化 21 （本小题共 13 分） 某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评， 根据男女学生人数比例， 使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生， 记录他们的分数， 将数据分成 7 组： 20,30） ， 30,40） ， ， 80,90，并整理得到如下频率分布直方图： （）已知样本中分数在40,50）的学生有 5 人，试估计总体中分数小于 40 的人数； （）试估计测评成绩的 75%分位数； （）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于

10、70 的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例 22.（本小题满分 14 分） 如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF 平面ABF四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且/AD BC，90BAF，1ABAD，3BC （）求证：BFAD； （）求直线CE与平面BDF所成角的正弦值； （）线段BD上是否存在点M，使得直线/CE平面AFM? 若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由 E D C B A F 平谷区 2020 2021 学年度第二学期质量监控 高二数学参考答案 20221 一、一、选择题共选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5 5

11、0 0 分分. . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D D B A D C B 二、填空题二、填空题: :本大题共本大题共 7 7 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3535 分分. . 题号 11 12 13 14 15 16 17 答案 22 1, 1 0.025,180 132，3 47 注：第 14，15 题第一空 3 分,第二空 2 分；第 17 题全部选对得 5 分，不选或有错选得分，其它得 3 分。 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 65 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证

12、明过程或演算步骤 18 （本小题共 13 分） 解： （I）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，1AA为z轴建立空间直角坐标系 所以111(0,0,0),(0,0,2), (2,0,0),(2,0,2), (0,2,0),(0,2,2), (1,1,0),AABBCCE 因为1(1,1,0),(0,2,2)AEACuuu ruuuu r，3 分 设平面1AEC的法向量为( , , )nx y zr， 则有100AE nACnuuu r ruuuu r r，得00 xyyz， 令1,y 则1,1xz，所以可以取(1, 1,1)n r， 6 分 设点1A到平面1AEC的距离为d，则1|22 3|3

13、3AA ndnuuuu rrr， 所以点1A到平面1AEC的的距离的距离为2 339 分 （II） 因为AC 平面1ABB A1,取平面1ABB A1的法向量为 (0,2,0)AC uuu r 设平面1AEC与平面11ABB A的夹角为， 0所以|3cos|cos,|3|AC nAC nAC nuuuu r u u ruuu r ruuu rr 平面1AEC与平面11ABB A夹角的余弦值33 13 分 19 （本小题共 13 分） 解： （I）设事件A：从20位学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生 由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(7)a人 则72( )205aP

14、 A 解得 3a 所以5b 4 分 （II）体能成绩为优秀的学生共有 5 人，在这 5 人中，文化成绩一般的人记为1a；文化成绩良好的人记为1b；文化成绩优秀的人记为123,c c c从文化成绩优秀的学生中，随机抽取 2人的样本空间1 11 11 21 31 11 21 31 21 32 3,ab ac ac ac bc bc bc cc cc c c ，设事件B：至少有一个人文化的成绩为优秀，1 11 21 31 11 21 31 21 32 3,Bac ac ac bc bc bc cc cc c c ( )9( )( )10n BP Bn 所以， 体能成绩优秀的学生中， 随机抽取 2 人

15、， 至少有一个人文化成绩为优秀的概率是910。 10 分 （III）8b 13 分 20 （本小题共 12 分） 解： （1）由题意22222233()2121abcaabc 解得24a ，21b . 所以椭圆 C 的方程为2214xy. 6 分 （2）设点P关于坐标原点O的对称点为Q，所以Q的坐标为3(1,)2. 010321ykx，020321ykx，所以，2000122000333224111yyyk kxxx 又因为点00(,)M xy0(1)x 为椭圆 C 上的点，所以220014xy. 2200122200311(1)1444.114xxkkxx 12 分 21 （本小题共 13

16、分） 解：（）由频率分布直方图知,分数在50,90）的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9，在样本中分数在50,90）的人数为 1000.9=90(人)，在样本中分数在40,90）的人数为 95 人，所以分数在40,90）的人数为 4000.95=380(人)，总体中分数小于 40 的人数为 20 人 5 分 （）测试成绩从低到高排序，占人数 75%的人分数在70,80）之间，所以估计测评成绩的75%分位数为0.750.470 10708.7578.750.80.49 分 （）由频率分布直方图知，分数不小于 70 分的人数共有 60 人，由已知男女各占 30 人，从 而

17、 样 本 中 男 生 有 60 人 ， 女 生 有 40 人 ， 故 总 体 中 男 生 与 女 生 的 比 例 为60340213 分 22.（本小题满分 14 分） 解： （）证明：因为ADEF为正方形， 所以AFAD 又因为平面ADEF 平面ABF， 且平面ADEF I平面ABCDAF， 所以AD 平面ABF BF 平面ABF 所以BFAD4 分 （）由（）可知，AD 平面ABF，所以ABAD，AFAD 因为90BAF，所以,AB AD AF两两垂直 分别以,AB AD AF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图） 因为1ABAD，3BC ， 所以(0,0,0),(1,0,0),(1

18、,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)ABCDEF， 所以( 1,0,1),( 1,1,0)BFBD uuu ruuu r，( 1, 2,1)CE uuu r 6 分 设平面BDF的一个法向量为( , , )x y zn， 则0,0.BFBDuuu ruuu rnn 即0,0. xzxy 令1x ，则1y ，1z ； 所以(1,1,1)n8 分 设直线CE与平面BDF所成角为， 则| 1 2 1|22sin|cos,|3363 2CE uuu rn 直线CE与平面BDF所成角为的正弦值为23.10 分 （）设 BMBD，易知(0,1) 设111,M x y z，则1111,

19、( 1,1,0)xy z， 所以1111,0 xyz ，所以1, ,0M ， 所以1, ,0AM uuuu r 设平面AFM的一个法向量为000(,)xy zm，则0,0.AMAFuuuu ruuu rmm 因为0,0,1AF uuu r，所以000(1)0,0. xyz zDyxDE D C B A F M 令0 x，则01y，所以( ,1,0) m 在线段BD上存在点M， 使得/CE平面AFM等价于存在(0,1)， 使得0CEuuu rm 因为1, 2,1CE uuu r，由0CEuuu rm， 所以2(1)0 ， 解得2(0,1)3， 所以线段BD上存在点M，使得/CE平面AFM，且23BMBD.14 分