2022年1月北京市石景山区高二上期末数学试卷（含答案）

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1、 高二数学试卷第 1 页（共 11 页） 石景山区石景山区 20212022 学年第学年第一一学期高学期高二二期末期末数学数学试卷试卷 本试卷共 6 页，满分为 100 分，考试时间为 120 分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡 第一部分第一部分（选择题（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项题目要求的一项 1直线0 xy的倾斜角为() A. 45 B. 60 C. 90 D. 135 2点(5, 3)

2、到直线20 x的距离等于() A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 3已知 m，n 是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是() A. 若/m，/n，则/mn B. 若，则/ C. 若/m，/m，则/ D. 若m，n，则/mn 4已知平面的法向量为(2, 4, 2) ，平面的法向量为( 1,2, )k，若/ /，则()k A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 5下列双曲线中以2 yx为渐近线的是() A. 2212yx B. 2214yx C. 2212xy D. 2214xy 6. 若(2, 3,1)a，(2,0,3)b，(0,2,2)c，则()abc的值为() 高二数学试卷第

3、 2 页（共 11 页） A. 3 B. 4 C. 7 D. 15 7如图，在棱长为 1的正方体1111ABCDABC D中，M，N 分别为11A B和1BB的中点，那么直线 AM 与 CN 夹角的余弦值为() A. 32 B. 1010 C. 35 D. 25 8已知椭圆 C 的焦点为1( 1,0)F，2(1,0).F过点1F的直线与椭圆 C交于 A，B 两点若 2ABF的周长为 8，则椭圆 C的标准方程为() A. 2211615xy B. 22187xy C. 22143xy D. 22134xy 9已知直线 l：10 kxyk和圆 C：2240 xyx，则直线 l 与圆 C 的位置关系

4、为() A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 10我们知道：用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线的一部分.如图， 在底面半径和高均为 2的圆锥中， AB，CD 是底面圆的两条互相垂直的直径，E 是母线 PB 的中点，已知过 CD 与 E 的平面与圆锥侧面的交线是以 E 为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于(). A. 12 B. 22 C. 2 D. 1 第二部分第二部分（非选择题（非选择题 共共 60 分）分） 高二数学试卷第 3 页（共 11 页） 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共

5、分，共 20 分分 11在棱长为 2的正方体1111ABCDABC D中，M 为1AD的中点，则三棱锥MABC的体积是_. 12如果直线20m xy与直线10 xmy垂直，那么m . 13 正方体1111ABCDABC D的棱长是1， 则直线BC与平面11ABC D所成角的大小为 . 14P为抛物线22yx上一动点，当点P到直线240 xy的距离最短时，P点的坐标是_. 15. 在平面直角坐标系中，到两个定点(0,1)A和(0, 1)B的距离之积等于2的轨迹记作曲线 C.对于曲线 C，有下列四个结论： 曲线 C 是轴对称图形； 曲线 C 是中心对称图形； 曲线 C 上所有的点都在单位圆221x

6、y内； 曲线 C 上所有的点的横坐标 1,1 x. 其中，所有正确结论的序号是_. 三、三、解答题共解答题共 5 小题，共小题，共 40 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16(本小题满分 6 分) 高二数学试卷第 4 页（共 11 页） 已知点(1,3)A，(3,1)B，( 1,0)C.求： （）BC边上的中线所在直线的方程； （）三角形ABC的面积. 17 （本小题满分 8 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，PB平面 ABCD，ABBC，/ADBC，2ADBC，点 E 为棱 PD的中点 （）求证：/CE平面 PAB； （）求证：AD平面 P

7、AB. 18 （本小题满分 8 分） 在平面直角坐标系中，已知点(0,0)O，(1,1)A，(2,0)B，OAB 的外接圆为圆 M， 直线 l的方程为2.ykx （）求圆 M的方程； （）若直线 l与圆 M 相交于 E，F两点，|2EF，求 k的值. 高二数学试卷第 5 页（共 11 页） 19(本小题满分 9 分) 如图 1，在直角梯形 ABCD中，/ABCD，ADDC，且112ABADCD.现以AD 为一边向梯形外作正方形 ADEF，然后沿边 AD 将正方形 ADEF 折起，使EDDC，M 为线段 DE 上的动点，如图2. （）求二面角CBEA的大小； （）设DMDE，若AM所在直线与平面

8、BCE相交，求的取值范围. 20 (本小题满分 9 分) 椭圆2222:1(0)xyEabab，经过点(0, 1)A，且离心率为22. （）求椭圆 E的方程； （） 过椭圆右焦点的直线与椭圆 E交于,P Q两点， 点(2,0)M， O 为坐标原点， 证明：.OMPOMQ 图 2 图 1 高二数学试卷第 6 页（共 11 页） 石景山区石景山区 20212022 学年第一学期高二期末学年第一学期高二期末 数学试卷答案及评分参考数学试卷答案及评分参考 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 1010 个小题，每小题个小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分 题号 1 2 3 4 5 6

9、 7 8 9 10 答案 D A D C B A D C A C 二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 5 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 4 分，共分，共 2020 分分 三、三、解答题：解答题：本大题共本大题共 5 5 个小题，共个小题，共 4 40 0 分分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤骤 16(本小题满分 6 分) 解:（）因为(1,3)A，(3,1)B，( 1,0)C， 所以线段 BC 的中点坐标为1(1, )2， 1 分 所以 BC 边上的中线所在的直线的斜率不存在， BC边上的中线所在的直线方程为1x. 3 分 （）直线

10、BC的方程为011031yx ，即410 xy， 题号 11 12 13 14 15 答案 23 0或-1 4 1 1( , )2 2 高二数学试卷第 7 页（共 11 页） 则点 A到直线 BC的距离22|13 41|10 171714 d， 又22|(3 1)(1 0)17BC ， 故110 17175217ABCS. 6 分 17(本小题满分 8 分) 证明：（）取 PA中点 F，连接 EF，BF，因为 E为 PD中点，F 为 PA 中点， 所以/EFAD，且12EFAD. 又因为/BCAD，且12BCAD， 所以/EFBC，且EFBC . 所以四边形 BCEF 为平行四边形， 所以/C

11、EBF， 因为CE平面 PAB，BF平面 PAB 所以/CE平面.PAB 4 分 （）因为PB平面 ABCD，AD平面 ABCD 所以PBAD 又因为ABBC，/ADBC 高二数学试卷第 8 页（共 11 页） 所以ADAB， 又IABPBB，AB、PB平面 PAB 所以AD平面.PAB 8 分 18(本小题满分 8 分) 解： （）圆 M经过点(0,0)O、(1,1)A、(2,0)B， 所以OAAB，| |OAAB， 2 分 所以圆心为(1,0)M，半径为1r， 3 分 则圆 M 的方程为22(1)1xy； 4 分 （）设圆心(1,0)M到直线 l的距离为 d， 因为直线 l与圆 M 相交于

12、 E，F 两点，|2EF， 所以222|()2EFdr，得222()12d，则22d6 分 所以2|2|221kk， 解得1k或7k. 8 分 19(本小题满分 9 分) 解： 因为EDDC， 所以， 易得,DA DC DE 两两垂直， 以 D 为坐标原点，,uuu r uuu r uuu rDA DC DE方 向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图 所示空间直角坐标系， 则(0,2,0)C，(1,0,0)A，(1,1,0)B，(0,0,1)E. 高二数学试卷第 9 页（共 11 页） （）(0,1,0)uuu rAB，(1,1, 1)uuu rEB，(1, 1,0)uuu rCB，

13、 设平面ABE的法向量1111( ,)u u rnx y z 1110u u ruuu ru u r uuu rnABnABy， 111110u u ruuu ru u r uuu rnEBnEBxyz， 令11x，得110,1yz. 所以平面ABE的法向量1(1,0,1)u u rn. 2 分 设平面CBE的法向量2222(,)uu rnxy z 222220uu ruuu ruu r uuu rnEBnEBxyz 22220uu ruuu ruu r uuu rnCBnCBxy 令21x，得221,2yz. 所以平面CBE的法向量2(1,1,2)uu rn. 3 分 1212121023c

14、os,226u u r uu ru u r uu ru u r uu rnnn nn n 5 分 二面角CBEA为钝角，所以二面角CBEA的大小为56. 6 分 （）因为DMDE，所以(0,0, )M且0,1, ( 1,0, ) uuuu rAM， 因为AM所在直线与平面BCE相交， 高二数学试卷第 10 页（共 11 页） 所以2120 uuuu r uu rAM n，解得12， 8 分 所以的取值范围为110, )( ,122U. 9 分 20(本小题满分 9 分) 解： （）由题设知，22ca，1b， 1 分 结合222abc，解得2a， 所以椭圆的方程为2212xy. 3 分 （）证明

15、：由（）可得椭圆的右焦点为(1,0)， 当直线 PQ斜率存在时，设直线 PQ的方程为(1)yk x，11(,)P x y，22(,)Q xy， 代入椭圆方程2212xy， 可得2222(21)4220kxk xk，易知0 ， 2122421kxxk，21222221kx xk， 5 分 则12121212(1)(21)222MPMQyyk xk xkxxkxx 122112121222k xxk xxxx 221211(2)(2)234kx xkxxxxk 32221222212421210(2)(2)kkxxkkkk， 高二数学试卷第 11 页（共 11 页） 则OMPOMQ； 8 分 当直线 PQ斜率不存在时，PQ垂直 x 轴，由对称性易知OMPOMQ， 综上，.OMPOMQ 9 分