2022年1月北京市房山区高二上期末数学试卷（含答案）

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1、 高二数学 期中检测试卷 1 / 10 房山区 2021-2022 学年度第一学期期末学业水平调研 高二数学 本调研卷共 4 页，共 150 分。时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在调研卷上作答无效。调研结束后，将答题卡交回，调研卷自行保存。 第一部分第一部分（选择题 共 50 分） 一、选择题共一、选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项目要求的一项。 （1）设 A(3 2 1)，()1 0 5B，则 AB 的中点M的坐标为 （A）( 22 4)， ，

2、 （B） ( 11 2)， ， （C）(231)， （D） (462)， （2）直线320lxy：的倾斜角为 （A）30 （B）60 （C）120 （D）150 （3）如图，在正方体1111ABCDABC D中，M N P Q， ， ，分别为1111DDAD C D CC，的中点，则异面直线MN与PQ所成的角大小等于 （A）30 （B）45 （C）60 （D）90 （4）若平面，平面的法向量为n r（2， 1， -4），则平面的一个法向量可以是 （A）（2， 0， 1） （B）（-2， -1， 4） （C）（1， 2， -1） （D）12（1， ， -2） （5） “3m1”是“方程223xy

3、mm11表示椭圆”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）圆心为( 2 3) ，且与y轴相切的圆的方程为 高二数学 期中检测试卷 2 / 10 （A）22(2)(3)9xy （B）22(2)(3)9xy （C）22(2)(3)4xy （D）22(2)(3)4xy （7）已知 A 为抛物线 C：22(0)ypx p上一点，点 A 到抛物线 C 的焦点F的距离为 8，到y轴的距离为 6，则 p 的值为 （A）1 （B）2 （C） 3 （D）4 （8）已知半径为 1 的动圆P经过坐标原点，则圆心P到直线+(R)20mx ym的距离的最大值为

4、（A） 1 （B） 2 （C）3 （D）4 （9）已知12F F，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，若2POF为等边三角形，则椭圆C的离心率为 （A）31 （B） 31 （C）312 （D）312 （10）如图，正方体1111ABCDABC D中，M是1AD的中点，则 （A）直线MB与直线11B D相交，直线MB 平面1ABC （B）直线MB与直线1DC平行，直线MB 平面11AC D （C）直线MB与直线AC异面，直线MB 平面11ADC B （D）直线MB与直线1AD垂直，直线MB/平面11B DC 第二部分第二部分（非选择题 共 100 分） 二、填空题共二、填空题共 6

5、 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。 （11）如图长方体1111ABCDABC D，若1(2 2 1)AC uuuu r，则1B Duuuu r的坐标为 . 2222:1(0)xyCabab 高二数学 期中检测试卷 3 / 10 （12）已知二次函数22yx的图象是一条抛物线，则其准线方程为 . （13）若双曲线22221(00)xyabab，的离心率为5，则其渐近线方程为 . （14） 九章算术是我国古代数学名著，其中提到的“阳马”是指底面为矩形，有一侧棱垂直于底面的四棱锥在阳马PABCD的表面三角形中，直角三角形的个数为 . （15）如图，正方体1111

6、ABCDABC D的棱长为1，E，F分别是棱11BC，1DD上的点，如果BE平面11AB F，则1C E与1D F长度之和为 . （16）心脏线，也称心形线，是一个圆上的固定一点在该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名心脏线的平面直角坐标方程可以表示为2222+0 xyaya xya，则关于这条曲线的下列说法： 曲线关于x轴对称； 当1a 时，曲线上有4个整点（横纵坐标均为整数的点） ； a越大，曲线围成的封闭图形的面积越大； 与圆222()xaya始终有两个交点. 其中，所有正确结论的序号是 . 三、解答题三、解答题共共 5 5 小题，共小题，共 7

7、070 分分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （17） （本小题 14 分） 在平面直角坐标系中，ABC三个顶点坐标分别为22A，6 6B，0 6C，. （I）设线段AB的中点为M，求中线CM所在直线的方程； 高二数学 期中检测试卷 4 / 10 （）求边AB上的高所在直线的方程. （18） （本小题 14 分） 已知圆M：2220 xyx与圆N：2280 xyxa外切. （I）求实数a的值； （）若直线20 xy与圆M交于A，B两点，求弦AB的长. （19） （本小题 14 分） 如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD， 1P

8、DDC，2AD ，M为BC的中点. （I）求证：ADPC； （）求平面PAM与平面PCD所成的角的余弦值 （20） （本小题 14 分） 如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为2，点E为1BB的中点 （I）求证：1/BC平面1AD E； （）求点1C到平面1ADE的距离； （III）判断11BC的中点M是否在平面1ADE上？说明理由. （21） （本小题 14 分） 已知椭圆2222:1(0)xyCabab上任意一点到两个焦点1(3 0)F ，2( 3 0)F，的距离的和为 4. 经过点(1 0)D，且不经过点(1 1)M，的直线与椭圆C交于PQ，两点，直线MQ与直线4x交于点E，直线

9、PE与直线MD交于点N. （I）求椭圆C的标准方程，并写出左、右顶点的坐标； （）求证：EMN的面积为定值. 高二数学 期中检测试卷 5 / 10 参考答案 第一部分选择题（每小题 5 分，共 50 分） 一、在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。 第二部分 非选择题（共 50 分） 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） （11）( 2 21)， （12）18y （13）2yx （14）4 （15）1 （16）， (含得 0 分，部分得 3 分，全对得 5 分) 三、解答题（共 5 小题，共 70 分） （17） （本小题 14 分）7+7 解： （I）解：由题意，ABCV三个顶

10、点坐标分别为22A，6 6B，0 6C， 设AB中点坐标为00 xy， 由中点公式可得02642x，02622y ， -3分 即AB中点M的坐标为4 2，又由斜率公式，可得62104MCk ，-3 分 所以中线CM所在直线的方程为60yx，即60 xy.-1 分 （）解：由22A，6 6B，可得6( 2)262ABk ，-3 分 所以AB上的高所在直线的斜率为12k ，-3 分 则AB上的高所在直线的方程为1602yx ，即2120 xy.-1 分 （18） （本小题 14 分）8+6 解： （）圆M：2211()xy，圆心M （1，0），半径11r ，-2 分 圆N：2280 xyxa，圆心

11、N （4，0），半径21616ra a；-2 分 因为圆M与圆N相外切，所以12MNrr，即3116a ，-2 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A B D D C A D 高二数学 期中检测试卷 6 / 10 解得12a .-2 分 （）由（1）可知，圆M：2211()xy，圆心M （1，0），半径11r ，. 所以圆心M到直线20 xy的距离1 2222d，-3 分 即221122 122ABrd，故弦AB的长为2.-3 分 （19） （本小题 14 分）4+10 解： （）证明：PD 底面ABCD，PDAD，-1 分 或向量坐标 ABCD是矩形，ADC

12、D，-1 分 或向量坐标 CDPD= DI， AD 平面PDC， -1 分 或点积 0 PC 平面PDC， AD PC -1 分 （）解：以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， -1 分 1PDDC，2AD ，M为BC的中点. (0 0 0)D，(2 0 0)A，(1 1 0)M，(0 0 1)P， (2 01)PA=，uu r，(1 11)PM =，uuu r， -2 分 设平面PAM的法向量为()nx y z，r， 00n PA=n PM =，r uurr uuur即200 xz=x+ yz=， -1 分 令= 2z，则=1=1x

13、y， (1 1 2)n ，r -1 分 平面PCD的法向量为(1 0 0)m，u r， -2 分 2222221 1 0 1 0 2cos| |100112m nm nmn ，u r ru rru rr，-2 分 高二数学 期中检测试卷 7 / 10 平面PAM与平面PCD所成的角的余弦值66 -1 分 （20） （本小题 14 分）4+6+4 解： （）正方体1111ABCDABC D中，11/AB C D且11ABC D， 所以，四边形11ABC D为平行四边形，11/BCAD， -2 分 或向量，点积为零 1BC Q平面1ADE，1AD 平面1ADE， -1 分 1/BC平面1ADE；

14、-1 分 （）以点A为坐标原点，AD、AB、1AA所在直线分别 为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， -1 分 则0,0,0A、10,0,2A、12,0,2D、0,2,1E，12,0,2AD uuuu r，0,2,1AE uuu r， 设平面1ADE的法向量为nxyzr， ，由100n ADn AE uuuu vvuuu vv，得22020 xzyz，-1分 令2z ，则2x，1y ，则2,1, 2n r. -1 分 110, 2,0C D uuuur， -1 分 110, 2,02,1, 2234 14C D ndn uuuur rr. -2 分 因此，点1C到平面1ADE的

15、距离为23. （）方法一：方法一： 如图，连结ME. 高二数学 期中检测试卷 8 / 10 MEQ，分别是111BC B B，的中点， 1/ME BC. -1 分 由（）可知，11/BCAD，-1 分 1/ME AD. -1 分 1M E A D，共面. 即点M在平面1ADE上. -1 分 方法二：方法二： 1 2 2M，所以1 2 2AM uuuu r，. -1 分 又因为平面1ADE的法向量为2 12n r， ，-1 分 所以点M到平面1ADE的距离： |224|03|AM ndnuuuu r rr -1 分 点M在平面1ADE上. -1 分 方法三：方法三： 1 2 2AM uuuu r

16、，-1 分 平面1ADE的法向量为2 12n r， ，-1 分 2+240AM nuuuu r r. AMnuuuu rr. -1 分 又AQ平面1ADE，点M在平面1ADE上. -1 分 （21） （本小题 14 分） 解： （）依题意得，3c ，-1 分 24a，2a， -1 分 221bac 椭圆C的方程为22:14xCy -1 分 左、右顶点的坐标分别为( 2 0) ，(2 0)， -1 分 （）当PQ，两点的坐标分别为( 2 0) ，(2 0)，时， 高二数学 期中检测试卷 9 / 10 直线MQ的方程为2yx ，点(42)E， ， 直线PE的方程为1(2)3yx ， 直线PE与直线

17、MD1x： 交于点(11)N， . -1 分 EMN的面积为114 12 3322MN .-1 分 依题意可设PQ的方程为(1)yk x， 代入2214xy得2222(41)84(1)0kxk xk -1 分 2 222( 8)4(41)4(1)0kkk 设1122()()P xyQ xy， 则2122841kxxk，21224(1)41kx xk. -2 分 直线MQ的方程为2211(1)1yyxx ， 令4x得点223(1)(41)1yEx， -1 分 下面证明(11)N， ，11()P xy，223(1)(41)1yEx，三点在一条直线上 1xQ1，11(1)yk x，22(1)yk x 21213(1)21114 1PNENyyxkkx1212(1) 1(1) 12113k xk xxx 12112113xx 121222(1)(1)3xxxx 高二数学 期中检测试卷 10 / 10 12121222() 13xxx xxx2222228224104(1)83() 14141kkkkkk -2 分 EMN的面积为114 12 3322MN 是定值. -2 分