2022年1月北京市大兴区高二上期末数学试卷（含答案）

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1、大兴区大兴区 20212022 学年度学年度高二高二第一学期期末检测第一学期期末检测数学数学试试题题 第一部分第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题一、选择题共共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项题目要求的一项。 （1）椭圆22154xy的焦距为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）6 （2）双曲线2214yx 的离心率等于 （A）52 （B）2 （C）5 （D）4 （3）与直线10 xy 关于x轴对称的直线方程为 （A）10 xy （B）10 xy （C）10

2、 xy （D）10 xy （4）直线yx与直线1yx间的距离等于 （A）12 （B）22 （C）1 （D）2 （5）如图，在平行六面体1111ABCDABC D中，1ABADAAuuu ruuu ruuur等于 （A）1ACuuuu r （B）1ACuuu u r （C）1D Buuuu r （D）1DBuuuu r D1C1B1A1DCBA（6）已知数列na满足14a ，142nnaa，则2022a等于 （A）1 （B）2 （C）4 （D）4 （7）已知向量(1 0 1)， ，a，( 2 2 1) ，b，(3 4) z，c，若， ，abc共面，则z等于 （A）9 （B）5 （C）5 （D）9

3、 （8）已知等比数列na的公比为q，则“na是递增数列”的一个充分条件是 （A）10a （B）1q （C）100aq， （D）1001aq， （9）已知数列na的前 n 项和226nSnn，若数列nna中第k项最大，则k等于 （A）6 （B）7 （C）6 或 7 （D）8 （10）如图，公园里的一条顶点为O的抛物线形小路依次穿过两个边长分别为, ()a b ab 的正方形草坪，直线 AE 为抛物线的对称轴，O为AD的中点，则ba等于 （A）21 （B）32 （C）2 （D）21 第二部分第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题二、填空题共共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5

4、分，共分，共 2525 分分 （11）等比数列na中，若258a a ，则34a a （12）双曲线221xy的焦点到其渐近线的距离等于 立方立方壍堵壍堵阳马阳马鳖臑鳖臑D1C1CBADD1DABCD1C1CBDBCC1D1A1AB1（13）圆22(1)(1)1xy上的点到原点距离的最小值等于 （14）若当且仅当8n 时，等差数列na的前n项和nS取得最大值，则数列na的通项公式可以是 （写出满足题意的一个通项公式即可） （15） 九章算术 商功 ： “斜解立方，得两壍堵（qin d） 斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑（bi no） 阳马居二，鳖臑居一，不易之率也 ”文中所述可用下图表示： 则几

5、何体 “鳖臑” 的四个面中， 直角三角形的个数为 ； 若上图中的 “立方”是棱长为 1 的正方体，则1BC的中点到直线1CD的距离等于 三、解答题三、解答题共共 6 6 小题，共小题，共 8585 分分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题共 14 分） 已知等差数列na中，142104aaa，. （）求na的通项公式； （）求13519aaaaL的值. （17） （本小题共 14 分） 已知等比数列na的前 n 项和为nS，23S ，236aa. （）求数列na的通项公式. （）求数列( 1)nna的前n项和nT. （18） （本

6、小题共 14 分） 如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，DE 平面ABCD，CF/DE， 22DEDCCF. （）求证：BF/ADE平面； （）求直线BD与平面AEF所成角的大小. （19） （本小题共 14 分） 已知椭圆 E:12222byax（0 ba）离心率为12，且经过点(03)， （）求椭圆 E 的标准方程； （）设直线1x 与椭圆 E 在 x 轴上方的交点为 M，O 为坐标原点，若平行于 OM 的直线 l 与椭圆恰有一个公共点，求此公共点的坐标 （20） （本小题共 14 分） 已知抛物线 C 经过点(12)，且其对称轴为 x 轴. （）求抛物线 C 的标准方程； （

7、）已知直线1 0()xaya R与抛物线 C 交于AB，两点，判断以AB为直径的圆与抛物线的准线 l 的位置关系，并加以证明 （21） （本小题共 15 分） 治理垃圾是A地改善环境的重要举措去年A地产生的垃圾量为 200 万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续 5 年，每年的垃圾排放量比上一年减少 20 万吨，从第 6 年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%. （）写出A地的年垃圾排放量与治理年数*()n nN的表达式； EABCFD（）设nA为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量，证明数列nA为递减数列； （）通过至少几年的治理，A地的年平均垃圾排放量能够低于 10

8、0 万吨？ 20212022 学年第学年第一一学期期学期期末末检测试题参考答案与评分标准检测试题参考答案与评分标准 高高二二数学数学 一、选择题一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C B C A D D B D 二、填空题二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） （11）8 （12）1 （13）21- （14）答案不唯一，只需满足8900aa，例如172nan等 （15）4（3 分） ，64（2 分） 三、解答题三、解答题（共 6 小题，共 85 分） （16） （共 14 分） 解：()设等差数列na的

9、公差为 d，1 分 由题意得 1114310adaad， 5 分 解得12a ，2d ， 7 分 所以2nan 9 分 （）因为1319aaa， ， ，构成首项为1a,公差为2d的等差数列， 19a是其第 10 项，所以 3 分 13519aaaaL 110(101)1022ad 201092 200 5 分 （17） （共 14 分） 解： （）设等比数列na的公比为q，1 分 由题意得 1121136aa qa qa q， 5 分 解得11a ，2q ， 7 分 所以12nna 9 分 （）由于1( 1)1 ( 2)nnna ， 所以( 1)nna是首项为1，公比为2的等比数列，2 分 1

10、 (1( 2) )1( 2)nnT 1( 2)3n ( 2)13n 5 分 （18） （共 14 分） 解： （）方法方法 1：设 G 为 DE 的中点，连接 FG，AG， 由已知CFDE/，且CFDG， 所以四边形 CFGD 是平行四边形，1 分 又 ABCD 为正方形， 所以 ABFG 为平行四边形， 2 分 所以/BFAG， 3 分 又AG 平面ADE，BF 平面ADE，4 分 所以BF/ADE平面. 5 分 方法方法 2：因为CFDE/，所以CF /平面ADE， 又CBDA/，所以CB /平面ADE， CBCFCI， 所以平面BCF /平面ADE， 所以BF/ADE平面. （）因为AB

11、CD为正方形，DE 平面ABCD， 以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系（如图） 1 分 所以 (2,0,0)(0,0,2)AE，(0,2,1)(2,2,0)FB，2 分 (2,2,0)DB uuu r，( 2,0,2)AE uuu r，( 2,2,1)AF uuu r，3 分 设平面AEF的一个法向量为( , , )x y zn， 则00AEAFuuu ruuu r，nn 4 分 即220220 xzxyz，. 令2z ，得21xy，. 于是(2,1,2)n. 5 分 设直线BD与平面AEF所成角为，则 |sin|cos,| |DBDBDBnnnuuu ruuu ruuu r， 7 分 即(

12、2,1,2) (2,2,0)2sin|232 2， 8 分 所以直线BD与平面AEF所成的角为4. 9 分 （19） （共 14 分） 解： （）由已知3b ， 1 分 又2212aba，2 分 解得2a ， 3 分 所以椭圆 E 的方程为22143xy.4 分 （）将1x 代入椭圆方程22143xy， 解得32y ，或32y ， 所以3(1, )2M，直线 OM 的斜率为32.2 分 设与直线 OM 平行的直线3:2l yxm， 3 分 由题意2214332xyyxm，得223330 xmxm.5 分 因为 l 与椭圆 E 恰有一个公共点， 所以关于x的方程223330 xmxm有两个相等的

13、实数根， 所以22912(3)0mm ， 6 分 解得2 3m ，或2 3m ， 8 分 当2 3m 时，3x ，l 与椭圆公共点的坐标为3(3,)2， 当2 3m 时，3x ，l 与椭圆公共点的坐标为3( 3,)2.10 分 （20） （共 14 分） 解： （）因为抛物线顶点在原点，对称轴为 x 轴，且经过第四象限， 设抛物线 C 的方程为22(0)ypx p，2 分 又抛物线经过点(1, 2)， 所以2( 2)21p，解得2p ， 3 分 于是抛物线 C 的方程为24yx 4 分 （）以 AB 为直径的圆与抛物线 C 的准线 l 相切证明如下： 证法证法 1：由2410yxxay ，得2

14、440yay2 分 由于0 ，设1122( ,)(,)A x yB xy， 则124yya，124y y 4 分 由于221212|()()ABxxyy， 112211xayxay， 所以221212|(1)()4ABayyy y，5 分 即2| 4(1)ABa 6 分 设以 AB 为直径的圆的圆心为00(,)M xy， 则1202xxx，即012()12axyy，7 分 于是2021xa 8 分 由于抛物线 C 的准线 l 的方程为1x ， 所以圆心 M 到准线 l 的距离等于20|1| 2(1)xa，9 分 又以 AB 为直径的圆的半径为2|2(1)2ABa， 10 分 所以，以 AB 为

15、直径的圆与抛物线 C 的准线 l 相切 证法证法 2：由于直线1xay恒过抛物线的焦点(1,0)F， 过点 A，B 分别作抛物线24yx的准线1x 的垂线，垂足分别为 D，E 由抛物线的定义，得| |ADAF，| |BEBF 所以| | |ABAFBFADBE 设 AB 中点为 M，过点 M 作抛物线24yx准线1x 的垂线，垂足为 N， 显然/MNx轴，所以 MN 是直角梯形 ADEB 的中位线， 于是11|(|)|22MNADBEAB， 因此，点 N 在以 AB 为直径的圆上， 又MNl， 所以以 AB 为直径的圆与抛物线 C 的准线 l 相切 （21） （共 15 分） 解： （）设治理

16、n年后，A地的年垃圾排放量构成数列na. 当5n时，na是首项为120020180a ，公差为20的等差数列， 所以1(1)18020(1)20020naandnn；1 分 当5n时，数列na是以5a为首项，公比为34的等比数列， 所以5553100( )4nnnaa q， 3 分 所以，治理n年后，A地的年垃圾排放量的表达式为 520020153100( )6.4nnnnan， ， 4 分 （）设nS为数列na的前n项和， 则nnSAn 1 分 由于111(1)1(1)nnnnnnSSnSnSAAnnn n 2 分 1()(1)(1)nnnn SanSn n 1(1)nnnaSn n 111

17、21()()()(1)nnnnaaaaaan n 3 分 由（）知， 15n时，20020nan，所以na为递减数列， 4 分 6n时，53100( )4nna，所以na为递减数列， 5 分 且65aa， 6 分 所以na为递减数列， 于是11121000nnnnaaaaaa， ， 因此10nnAA， 7 分 所以数列nA为递减数列 （）由于nA是递减数列，且5140100A ， 所以，5 年内年平均垃圾排放量不可能低于 100 万吨 6n时，由于5700S ， 所以567nnSaaaAn 531000300( )4nn 2 分 53103( )4100nn 因为960751000649100A， 3 分 510310030( )1004A ， 4 分 综上所述，至少经过 10 年治理A地年平均垃圾排放量才能低于 100 万吨