2022年北京市通州区高一上期末数学试卷（含答案）

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1、高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 通州区通州区 20212022 学年高一年级期学年高一年级期末末质量检测数学试卷质量检测数学试卷 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合 1,0,1A ， |0Bx x，则ABI （A） 1 （B）1 （C） 1,0 （D）0,1 （2）已知0m ，则“ab”是“ambm”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）已知函数1( )1(0)f xxxx，则 （A）当且仅当1x

2、时，( )f x有最小值为1 （B）当且仅当1x 时，( )f x有最小值为2 （C）当且仅当2x 时，( )f x有最大值为1 （D）当且仅当2x 时，( )f x有最大值为2 （4）下列各式中，正确的是 （A）2.531.71.7 （B）230.80.8 （C）22log 3.4log 8.5 （D）0.30.3log1.8log2.7 （5）计算cos330 （A）32 （B）12 （C）12 （D）32 （6）已知函数( )3sin2cos2f xxx，则( )f x的 （A）最小正周期为，最大值为31 （B）最小正周期为，最大值为2 （C）最小正周期为2，最大值为31 （D）最小正周

3、期为2，最大值为2 （7）已知函数( )yf x表示为 x 2,0) 0 (0,2 y 1 0 2 设(1)fm，( )f x的值域为M，则 高一数学试卷 第 2 页（共 4 页） （A）2m ， 2,0,1M （B）2m ， | 21Myy （C）1m ， 2,0,1M （D）1m ， | 21Myy （8）甲、乙两位同学解答一道题： “已知5sin213，42，求cos4的值.” 甲同学解答过程如下： 解：由42，得22. 因为5sin213， 所以2512cos21()1313. 所以22cos4cos 2sin 2 22125()()1313119169. 乙同学解答过程如下： 解：因

4、为5sin213， 所以2cos4cos2 (2 ) 1 sin 2 251()13 144169. 则在上述两种解答过程中 （A）甲同学解答正确，乙同学解答不正确 （B）乙同学解答正确，甲同学解答不正确 （C）甲、乙两同学解答都正确 （D）甲、乙两同学解答都不正确 （9）已知函数( )sin()f xAx（0A ，0，2）的图象如图所示，则 （A）()( )f xf x （B） 对于任意1x，2 5(,)66x ， 且12xx， 都有12( )()f xf x （C）x R，都有55()()33fxfx （D）175,1212x ，使得( )2f x （10）已知关于x的方程12 3220(

5、)xxxaaR的根为负数，则a的取值范围是 （A）1(0, )2 （B）(0,1) （C）3(0, )2 （D）(0,2) 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）不等式220 xx的解集是 （12）已知32x，3log 18y ，则x ；yx 2xyO236高一数学试卷 第 3 页（共 4 页） （13）已知3cos5 ，且是第三象限角，则tan ；sin2 （14）化简22cos( 2 )2tan(cos21) （15）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：月）的关系式为1(0,1)tSaaa且

6、，图象如图所示. 则下列结论： 浮萍蔓延每个月增长的面积都相同； 浮萍蔓延3个月后的面积是浮萍蔓延5个月后的面积的14； 浮萍蔓延每个月增长率相同，都是50； 浮萍蔓延到3平方米所经过的时间与蔓延到4平方米所经 过的时间的和比蔓延到12平方米所经过的时间少. 其中正确结论的序号是_ 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 13 分） 已知二次函数2( )21f xaxax. （）求( )f x的对称轴； （）若( 1)7f ，求a的值及( )f x的最值. （17） （本小题 14 分） 已知函数( )(0 xf xa a，且1)a

7、的图象经过点1(2, )4 （）求a的值； （）求( )f x在区间1,12上的最大值； （）若( )( )g xf xx，求证：( )g x在区间(0,1)内存在零点 （18） （本小题 15 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y，2 5cos5 （）求1y的值； tS108642321O高一数学试卷 第 4 页（共 4 页） （）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转2后与单位圆交于点22(,)M xy，求2x的值； （）若点N与M关于x轴对称，求tanMON的值. （19）（本小题 13 分） 已知函数

8、( )2sinf xx （）求( )f x的最大值，并写出( )f x取得最大值时自变量x的集合； （） 把曲线( )yf x向左平移3个单位长度， 然后使曲线上各点的横坐标变为原来的2倍 （纵坐标不变） ，得到函数( )g x的图象，求( )g x在 2,2x 上的单调递增区间. （20） （本小题 14 分） 某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第个月的月平均最高气温( )G n可近似地用函数( )cos()G nAnk来刻画，其中正整数n表示月份且1,12n，例如1n 表示1月份，A和k是正整数，0，(0,) 统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，

9、1月份的月平均最高气温为3摄氏度，是一年中月平均最高气温最低的月份，随后逐月递增直到7月份达到最高为33摄氏度. （）求( )G n的解析式； （）某植物在月平均最高气温低于13摄氏度的环境中才可生存，求一年中该植物在该地区可生存的月份数. nN-1-111yxMPO高一数学试卷 第 5 页（共 4 页） （21） （本小题 16 分） 若函数( )f x的自变量的取值范围为 , a b时，函数值的取值范围恰为2 2,b a，就称区间 , a b为( )f x的一个“和谐区间” . （）先判断“函数1( )f xx没有“和谐区间”是否正确，再写出函数( )3(0)g xxx 的“和谐区间”；（

10、直接写出结论即可） （）若( )f x是定义在(, 1)(1,) U上的奇函数，当(1,)x时，21( )logf xx. （i）求( )f x的“和谐区间”； （ii）若函数( )g x的图象是以( )f x在定义域内所有“和谐区间”上的图象，是否存在实数m，使集合3( , )|( )( , )|,0 x yyg xx yyxmx mI恰含有2个元素，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 参考答案及评分标准 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） （1）D （2）C （3）A （4）C （5）B （6）B （7）A （8）D （9）C （10）D 二、填空题（

11、共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） （11）0 x x，或2x （12）3log 2；2 （13）43；2425 （14）2 （15） 三、解答题（共 6 小题，共 85 分） （16）（本题 13 分） 解：（）因为二次函数2( )21f xaxax， 所以对称轴212axa 4 分 （）因为( 1)7f ，所以217aa . 所以2a . 8 分 高一数学试卷 第 6 页（共 4 页） 所以2( )241f xxx 因为20a ， 所以( )f x开口向上，有最小值为(1)1f . 所以a的值是2，( )f x的最小值是1，无最大值. 13 分 （17）（本题 14 分） 解：（

12、）因为函数( )(0 xf xa a，且1)a 的图象经过点1(2,)4， 所以214a . 所以12a . 4 分 （）因为12a ，所以1( )( )2xf x . 所以( )f x在区间1,12上单调递减. 6 分 所以( )f x在区间1,12上的最大值是1()2f . 所以1211()( )222f. 所以( )f x在区间1,12上的最大值是2. 9 分 （）因为( )( )g xf xx， 所以1( )( )2xg xx. 因为(0)10g，1(1)02g ， 所以(0) (1)0gg，又( )yg x在区间0,1上的图象是一条连续不断的曲线， 所以( )g x在区间(0,1)内

13、存在零点 14 分 （18）（本题 15 分） 解：（）因为角的终边与单位圆交于点11(,)P x y，且2 5cos5， 高一数学试卷 第 7 页（共 4 页） 由三角函数定义，得12 55x . 因为22111xy，所以2212 511 ()55y . 因为点11(,)P x y在第一象限， 所以155y . 5 分 （）因为射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转2后与单位圆交于点22(,)M xy， 所以2cos()sin2x. 因为1siny， 所以255x . 9 分 （）因为点N与M关于x轴对称， 所以点N的坐标是52 5(,)55. 连接MN交x轴于点Q，所以tan2MOQ 所以t

14、antan2MONMOQ 222tan2 21 tan1 2MOQMOQ43 . 所以tanMON的值是43. 15 分 （19）（本题 13 分） 解：（）因为1sinx1， 所以22sin2x. 所以( )f x的最大值2，( )f x取得最大值时自变量x的集合是 |2 , 2x xkkZ. 5 分 高一数学试卷 第 8 页（共 4 页） （）因为把曲线( )yf x向左平移3个单位长度，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数( )g x的图象， 所以1( )2sin()23g xx. 因为22x ， 所以2143233x. 因为正弦曲线在2 4,33上的单调递增区

15、间是 ,2 2， 所以12232x. 所以533x . 所以( )g x在 2,2x 上的单调递增区间是5 ,33. 13 分 （20）（本题 14 分） 解：（）因为1月份的月平均最高气温最低，7月份的月平均最高气温最高， 所以最小正周期2 (7 1)12T . 所以26T. 所以cos()16 ，7cos()16. 因为(0,)，所以56. 因为1月份的月平均最高气温为3摄氏度，7月份的月平均最高气温为33摄氏度， 所以3Ak，33Ak. 所以15A ，18k . 所以( )G n的解析式是5( )15cos()1866G nn，1,12n，n为正整数. 8 分 （）因为5( )15cos

16、()1866G nn，1,12n，n为正整数. 所以( )G n在区间上1,7单调递增，在区间7,12上单调递减. 因为某植物在月平均最高气温低于13摄氏度的环境中才可生存， 高一数学试卷 第 9 页（共 4 页） 且35(3)15cos()1810.566G，45(4)15cos()181866G， 所以该植物在 1 月份，2 月份，3 月份可生存. 又(11)(3)10.5GG， 所以该植物在 11 月份，12 月份也可生存. 所以一年中该植物在该地区可生存的月份数是5. 14 分 （21）（本题 16 分） 解：（）正确；1,2. 4 分 （）（i）因为当(1,)x时，21( )logf

17、 xx， 所以当(, 1)x 时，(1,)x ，所以21()log ()fxx. 因为( )f x是定义在(, 1)(1,) U上的奇函数， 所以()( )fxf x. 所以当(, 1)x 时，21( )log ()f xx. 设1ab，因为( )f x在(1,)上单调递减， 所以212( )logf aaa，212( )logf bbb. 所以22logaa，22logbb. 所以a，b是方程22logxx的两个不相等的正数根，即a，b是方程22xx的两个不相等的正数根. 所以2a ，4b . 所以( )f x在区间(1,)上的“和谐区间”是2,4. 同理可得，( )f x在区间(, 1)

18、上的“和谐区间”是 4, 2. 所以( )f x的 “和谐区间”是 4, 2和2,4. 9 分 （ii）存在，理由如下： 因为函数( )g x的图象是以( )f x在定义域内所有“和谐区间”上的图象， 所以221,2,4,log( )1, 4, 2.log ()xxg xxx 若集合3( , )|( )( , )|,0 x yyg xx yyxmx mI恰含有2个元素， 高一数学试卷 第 10 页（共 4 页） 等价于函数( )g x与函数3,0yxmx m的图象有两个交点， 且一个交点在第一象限， 一个交点在第三象限. 因为( )g x与3,0yxmx m都是奇函数， 所以只需考虑( )g x与3,0yxmx m的图象在第一象限内有一个交点. 因为21( )logg xx在区间2,4上单调递减， 所以曲线( )yg x的两个端点为(2,1)A，1(4, )2B. 因为0m ， 所以3yxmx的零点是xm ，0 x ，或xm. 所以当3yxmx的图象过点(2,1)A时，72m ； 当3yxmx的图象过点1(4, )2B时，1278m . 所以当7 127 ,28m时，( )g x与3,0yxmx m的图象在第一象限内有一个交点. 所以( )g x与3,0yxmx m的图象有两个交点. 所以m的取值范围是7 127 ,28. 16 分