第12讲空间向量与立体几何综合 专题提升训练(解析版)-2022届高考数学理培优
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1、第12讲 空间向量与立体几何综合A组一、 选择题1、已知是非零向量,若向量是平面的一个法向量,则“”是“向量所在的直线平行于平面”的( )条件A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充分必要 D. 既不充分也不必要答案:B2、已知向量,且与互相垂直,则k的值是()A1 B. C. D. 【解析】 D 与互相垂直,解得,故选D3、在空间直角坐标系中,平面的法向量为, 已知,则P到平面的距离等于 ()A B. C. D. 【解析】B 因为向量在平面OAB的法向量投影的绝对值为P到平面OAB的距离,所以4、如图,空间四边形中,分别是,的中点,则等于( )A BC D【答案】C【解析】试题分析: 如图
2、所示,连结,则由是的中点可得,又,故二、填空题5、若,则为邻边的平行四边形的面积为 【答案】 【解析】因为,所以,故所求的平行四边形的面积为.6、如图,已知正方体棱长为4,点在棱上,且,在侧面内作边长为1的正方形,是侧面内一动点,且点到平面距离等于线段的长,则当点运动时,的最小值是( )A21 B22 C23 D25【答案】B【解析】在上取点,使得,则面,连结,则在平面上,以所在直线为轴,以所在直线为轴,由题意可知,点轨迹为抛物线,其方程为,点坐标为,设,则(其中,当时,故三、解答题7(2017年北京卷理)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD平面ABCD,点M在线段P
3、B上,PD/平面MAC,PA=PD=,AB=4(I)求证:M为PB的中点;(II)求二面角B-PD-A的大小;(III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值【解析】(I)设交点为,连接.因为平面,平面平面,所以.因为是正方形,所以为的中点,所以为的中点.(II)取的中点,连接,.因为,所以.又因为平面平面,且平面,所以平面.因为平面,所以.因为是正方形,所以.如图建立空间直角坐标系,则,.设平面的法向量为,则,即.令,则,.于是.平面的法向量为,所以.由题知二面角为锐角,所以它的大小为.(III)由题意知,.设直线与平面所成角为,则.所以直线与平面所成角的正弦值为.8如图,在四棱锥PABCD中
4、, ,且四边形ABCD为菱形,.(1)求证:;(2)求平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值。【解析】(1)证:取AB边中点G,连接PG,DG,DB。 2分又四边形ABCD为菱形且 为等边三角形 又 又 5分(2)又,G且 z以G为原点,GA,GD,GP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则G(0,0,0),,且, 为的法向量,且 设为的法向量令,则,且 又平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角为锐角,故所求二面角的平面角的余弦值为。 9、如图,在斜三棱柱中,点O是的中点,平面.已知,.(1)求证:; (2)求与平面所成角的正弦值.【解析】建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,则,
5、(1), (2)设,设平面的一个法向量是,则,令,得 与平面所成角的正弦值为. 10、如图,四边形中,面,且.(1)求证:面;(2)若二面角的大小为,求与面所成角的正弦值.【解析】(1)证明:设交于,连接,在中,由余弦定理可得:.,.,又,四边形为平行四边形.又面,面,面.(2)面,分别以所在直线建立如图所示空间直角坐标系,则,设,则,设平面的法向量为,则,即,取,有;易知平面的一个法向量;解得,易知面的一个法向量,;直线与面所成角的正弦为.11、如图,已知边长为6的菱形与相交于,将菱形沿对角线折起,使(1)若是的中点,求证:在三棱锥中,直线与平面平行;(2)求二面角的余弦值;(3)在三棱锥中
6、,设点是上的一个动点,试确定点的位置,使得【解析】(1)证明:因为点是菱形的对角线的交点,所以是的中点,又点是棱的中点,所以是的中位线,因为平面平面,所以平面(2)解:由题意可知,因为,所以,又因为菱形,所以,建立空间直角坐标系,如图所示,则,所以设平面的法向量为,则有,即,令,则,所以因为,所以平面,平面的法向量与平行,所以平面的一个法向量为,因为二面角的平面角是锐角所以二面角的余弦值为(3)解:设,因为是线段上的一个动点,设,即,所以,则,由,得:,即,解得:所以点的坐标为12如图,在四棱锥P-ABCD中,AB/CD,且(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,求二
7、面角A-PB-C的余弦值.【解析】(1)由已知,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB 平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面内做,垂足为,由(1)可知,平面,故,可得平面.以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.由(1)及已知可得,.所以,.设是平面的法向量,则,即,可取.设是平面的法向量,则,即,可取.则,所以二面角的余弦值为.B组一、 选择题1、已知平面的法向量为,点不在内,则直线与平面的位置关系为A B C与相交不垂直 D【答案】D【解析】,而点不在内,故2、在正方体中,若是的中点,则异面直线与所成角的大小
8、是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】如图建系,设正方形棱长为2,则,则,即,即异面直线与所成角为.3、空间四边形中,点在上,且,点为中点,则等于( )A BC D【答案】B【解析】由题意 ;又 ,故选B4、正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于( )A B C D【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则,设为平面的一个法向量,则,取,设与平面所成的角为,则图3二、填空题5、如图3,在棱长为的正方体内(含正方体表面)任取一点,则的概率 .【解析】由几何概型的计算公式得.6、在直三棱柱中,底面ABC为直角三角形,. 已知与分别为和的中点,与分别为线段和上的动点(不包括端点).
9、 若,则线段的长度的最小值为 .【答案】【解析】建立直角坐标系,以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,则(),().所以,.因为,所以,由此推出 .又,从而有 .三、解答题7、如图,在三棱柱中,已知,.(1)证明:;(2)若,求二面角的余弦值.【解析】(1)连结,在中,.又,由勾股定理的逆定理,得为直角三角形.,,平面.平面(2)在中,,则由勾股定理的逆定理,得为直角三角形,.以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则,.设平面的法向量为.由.令,则平面的一个法向量为.设平面的法向量为.由.令,则平面的一个法向量为.设二面角的平面角为,易知为锐角.8、如
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