第07讲以函数与导数为背景的取值范围问题 专题提升训练(解析版)-2022届高考数学理培优
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1、第07讲 以函数与导数为背景的取值范围问题专题A组一、选择题1已知函数fx=sinx,0x1log2017x,x1,若a,b,c互不相等,且fa=fb=fc,则a+b+c的取值范围是( )A (1,2017) B (1,2018) C 2,2018 D (2,2018)【答案】D【解析】由正弦函数图像得a+b=212=1 ,所以0log2017c11c0|x+2|,-3x0(a0且a1),若函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称,则a的取值范围是( )A (0,1) B (1,3) C (0,1)(3,+) D (0,1)(1,3) 【答案】D【解析】y=logax关于y轴对称函数为y
2、=loga-x,0a1时,y=loga-x与y=|x+2|,-3x0的图象有且仅有一个交点,函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称,0a1时,要使y=loga-x与y=|x+2|,-3x0的图象有且仅有一个交点,则loga31,1a3,综上所述,a的取值范围是,0,11,3,故选D.3已知函数f(x)=xex,要使函数g(x)=kf(x)2-f(x)+1的零点个数最多,则k的取值范围是A k-e2 B k-e2-e D k-e2【答案】B【解析】因为f(x)=xex,所以fx=x+1ex,可得f(x)在-,-1上递减,在-1,+递增,所以,f(x)=xex有最小值f-1=-1e,且x0
3、时,fx0,所以,-1et0g-1e=k1e2+1e+10=1-4k0-1e12k0,解得k-e2-e,故选B.4已知函数f(x)=|lnx|,0x2,f(4-x),2x4,若当方程f(x)=m有四个不等实根x1,x2,x3,x4(x1x2x3x4)时,不等式kx3x4+x12+x22k+11恒成立,则实数k的最小值为( )A 98 B 2-32 C 2516 D 3-12【答案】B【解析】当2x4时,04-x2,所以fx=f4-x=ln4-x,由此画出函数fx的图象如下图所示,由于f2=ln2,故0mf(x+1)成立的x的取值范围是( )A (-,1) B (1,+) C (-13,1) D
4、 (-,-13)(1,+)【答案】D【解析】f-x=e-x+ex-1x2+1,所以f-x=fx,fx为R上的偶函数,又fx=ex-e-x+2xx2+12,当x0时,fx0,故fx在0,+上为增函数.因f2x=f2x,fx+1=fx+1,由f2xfx+1 得到2xx+1,故3x2-2x-10,x1,选D.6设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,当x0时,xlnxf(x)0成立的x的取值范围是( )A (-2,0)(0,2) B (-,-2)(2,+) C (-2,0)(2,+) D (-,-2)(0,2)【答案】D【解析】根据题意,设gx=lnxfxx0,其导数gx=lnxfx+lnx
5、fx=1xfx+lnxfx ,又由当x0时,lnxfx-1xfx,则有 gx=1xfx+lnxfxg1=0,又由lnx0,则fx0,在区间1,+上,gx=lnxfx0,则fx0,则fx在0,1和1,+上,fx0,x2-4fx0x2-40fx0或x2-40fx0,解可得x-2或0xx1时,不等式f(x1)x2-f(x2)x10恒成立,则实数a的取值范围为A (-,e B (-,e) C (-,e2) D (-,e2【答案】D【解析】不等式f(x1)x2-f(x2)x10即x1fx1-x2fx2x1x2x10可得x1fx1-x2fx2x1fx1恒成立,构造函数gx=xfx=ex-ax2,由题意可知
6、函数gx在定义域内单调递增,故gx=ex-2ax0恒成立,即aex2x恒成立,令hx=ex2xx0,则hx=exx-12x2,当0x1时,hx1时,hx0,hx单调递增;则hx的最小值为h1=e121=e2,据此可得实数a的取值范围为(-,e2.本题选择D选项.8设f(x)=lnx+1x,若函数y=f(x)-ax2恰有3个零点,则实数a的取值范围为( )A 0,e23 B e23,e C 1e,1 D 0,1ee23【答案】A【解析】y=fx-ax2恰有3个零点,则lnx+1x3=a恰有3个根,令gx=lnx+1x3,即gx 与y=a恰有3个交点,gx=lnx+1x3=-lnx-1x3,x0,
7、1elnx+1x3,x1e,+,当x0,1e时,gx=3lnx+2x40,当xe-23,+时,gx1+334 B a1+334 C 0a1+334 D 1+334a0),函数h(n)=1+2n+n-24在区间(-,0)递增,在区间(0,134)递减,在区间(134,+)递增,且n0,h(n)+,可知无上界,即时,方程a=h(n),(n0)有三解,故选A.10对于函数f(x)和g(x),设xR|f(x)=0,xR|g(x)=0,若存在、,使得|1,则称f(x)与g(x)互为“零点关联函数”若函数f(x)=ex1+x2与g(x)=x2axa+3互为“零点关联函数”,则实数a的取值范围为()A 73
8、,3 B 2,73 C 2,3 D 2,4【答案】C【解析】:f(x)=ex-1+x-2,f(x)为单调递增的函数,且x=1是函数唯一的零点,由fx,g(x)互为“零点相邻函数”,则g(x)的零点在0,2之间。(1)当g(x)有唯一的零点时,=0,解得a=2,解得x=1满足题意;(2)当g(x)在0,2之间有唯一零点时,g0g20,解得 a73,3;(3)当g(x)在0,2之间有两个点时,0,g0g20,解得 a(2,3综上所述,解得a2,3。故选C。11定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf(x)2恒成立,则使x2f(x)-f(1)x2-1成立的
9、实数x的取值范围为( )A x|x1 B (-,-1)(1,+)C (-1,1) D (-1,0)(0,1)【答案】B【解析】fx是R上的偶函数,则函数gx=x2fx-x2也是R上的偶函数,对任意的实数x,都有2f(x)+xf(x)2恒成立,则gx=x2fx+xfx-2.当x0时,gx0,当x0,即偶函数gx在区间-,0上单调递增,在区间0,+上单调递减,不等式x2f(x)-f(1)x2-1即x2fx-x212f1-12,据此可知gxg1,则x1.即实数x的取值范围为(-,-1)(1,+).本题选择B选项.12对于函数f(x)和g(x),设xf(x)=0;xg(x)=0,若所有的,,都有-1,
10、则称f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”.f(x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3互为“零点相邻函数”,则实数a的取值范围是( )A 2,4 B 2,73 C 73,3 D 2,3【答案】D【解析】:f(x)=ex-1+x-2,f(x)为单调递增的函数,且x=1是函数唯一的零点,由fx,g(x)互为“零点相邻函数”,则g(x)的零点在0,2之间。(1)当g(x)有唯一的零点时,=0,解得a=2,解得x=1满足题意;(2)当g(x)在0,2之间有唯一零点时,g0g20,解得 a73,3;(3)当g(x)在0,2之间有两个点时,0,g0g20,解得 a(2,3综上所述,解得a2,
11、3。故选D。13已知函数f(x)=-x2+2x+4x,g(x)=11x3x-1-2x3x,实数a,b满足ab0.若x1a,b,x2-1,1,使得f(x1)=g(x2)成立,则b-a的最大值为( )A 3 B 4 C 5 D 25【答案】A【解析】由g(x)=11x3x-1-2x3x =113x-23x可知函数gx在区间-1,1上单调递增,函数的最大值gxmax=g1=3,函数的最小值为gxmin=g-1=-113-32=-316,f(x)=-x2+2x+4x =-2-x+4x,结合函数平移的结论和对勾函数的性质绘制函数图象如图所示,当x=-2时,函数有极小值f-2=2,当x=2时,函数有极大值
12、f2=-612-ex,x1,若函数gx=fx-mx-1有两个零点,则实数m的取值范围是A -2,0 B -1,0 C -2,00,+ D -1,00,+【答案】D【解析】若函数gx=fx-mx-1有两个零点,则函数fx的图象与y=m(x-1)有且仅有两个交点,在同一坐标系内画出函数fx的图象与y=m(x-1)的图象如下:由图可得:当m0时,满足条件;由m=-1时,y=2-ex与y=m(x-1)相切得:-1m 0时,满足条件;故m(-1,0)(0,+),故选:D15已知函数f(x)=ex-1,x0-x2-2x+1,x0,若关于x的方程f2(x)-3f(x)+a=0(aR)有8个不等的实数根,则a
13、的取值范围是( )A 0,14 B 13,3 C (1,2) D 2,94【答案】D【解析】绘制函数f(x)=ex-1,x0-x2-2x+1,x0的图象如图所示,令fx=t,由题意可知,方程t2-3t+a=0在区间1,2上有两个不同的实数根,令gt=t2-3t+a1t0g2=4-6+a0g32=94-92+a0,据此可得:2a94.即a的取值范围是2,94.本题选择D选项.二、填空题16已知函数fx=xx-1lnx,偶函数gx=kx2+bexk0的图像与曲线y=fx有且仅有一个公共点,则k的取值范围为_.【答案】k(0,1)(1,+)【解析】gx=kx2+bexk0为偶函数,b=0gx=kx2
14、令fx= gx,可得k=x-1xlnx,令hx=x-1xlnx,则hx=lnx-x+1xlnx20恒成立,limx+hx=limx+x-1xlnx=limx+1lnx+1=0k=hx只有一解则k的取值范围为(0,1)(1,+)17已知关于x的不等式logm(mx2x12)0在1,2上恒成立,则实数m的取值范围为_【答案】(12,58)(32,+) 【解析】当0m1时,函数f(x)=logm(mx2-x+12)外层单调递减,内层二次函数:当12m1,即12m0,解得:12m58;当12m=1,即m=12时,f(1)无意义;当112m2,即14m12时,二次函数在区间内先递减后递增,函数先递增后递
15、减,则需f(1)0,f(2)0,无解;当12m2,即00,无解.当m1时,函数f(x)=logm(mx2-x+12)外层单调递增,12m0,解得:m32.综上所述:12m32.18已知函数fx=lnx,x0ax2+x,x0,若函数y=fx的图象上恰好有两对关于y轴对称的点,则实数a的取值范围为_【答案】0,1【解析】已知函数fx=lnx,x0ax2+x,x0,若函数y=fx的图象上恰好有两对关于y轴对称的点,即x0时,y=lnx与y=ax2-x,有两个交点,y=lnx恒过(1,0),y=ax2-x中1a是函数的零点,所以必须满足01a,解得a(0,1) 故答案为:(0,1)19已知函数f(x)
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