第08讲导数及其应用 专题提升训练(解析版)-2022届高考数学理培优
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1、第08讲 导数及其应用A组一、选择题1(2018年高考全国3卷理)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( )A. A B. B C. C D. D【答案】D【解析】当x=0时,y=2,排除A,B.y=-4x3+2x=-2x(2x2-1),当x(0,22)时,y0,排除C故正确答案选D.2已知定义在上的函数,是的导函数,若,且,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集是( )A B C D【答案】C【解析】:设,则,在定义域上单调递增,又,不等式的解集为故选:C.3设函数,其中,若仅有一个整数,使得,则的取值范围是( )A B C D【答案】D.【解析】:,由题意得,的单调性为先递减后递增,故,即
2、在上单调递减,在上单调递增,又,只需,即实数的取值范围是,故选D.4(2017年高考全国3卷文)已知函数有唯一零点,则a=A. B. C. D. 1【答案】C【解析】函数的零点满足,设,则,当时, ;当时, ,函数单调递减;当时, ,函数单调递增,当时,函数取得最小值,为.设,当时,函数取得最小值,为,若,函数与函数没有交点;若,当时,函数和有一个交点,即,解得.故选C.5.曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A B C D【答案】A【解析】:因,故切线的斜率,切线方程,令得;令得,故围成的三角形的面积为,应选A。6. 曲线在点处的切线方程是( )A B C D【答案】A解析:
3、,曲线在点处的切线方程是,故选A.二、填空题7已知函数的导函数的图象关于原点对称,则 。【答案】解析:依题意关于原点对称,时为奇函数,符合题意。8已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是_答案解析:,由题意在上有两个根,设,若,则在为增函数,最多只能有一解,不合题意,故,当或者时,当时,时,因此,由题意,所以三、解答题9已知函数其中.(1)当时,求在点处的切线方程;(2)求的单调区间;(3)当时,判断函数零点的个数.(只需写出结论).解析:(1)当时,所以切线方程为.(2)的定义域:,令,当时,令,得,令,得,的增区间为,的减区间为.当时,恒成立,在上单调递增,当时,或;,所以的增区间为,的减
4、区间为.当时,或,所以的增区间为,的减区间为.(3)当时,零点的个数为.10设函数(其中为自然对数的底数,且),曲线在点处的切线方程为()求的值;()若对任意,与有且只有两个交点,求的取值范围解析:()由,得,由题意得,;()令,则任意,与有且只有两个交点,等价于函数在有且只有两个零点,由,得,当时,由得,由得,此时在上单调递减,在上单调递增,(或当时,亦可),要使得在上有且只有两个零点,则只需,即,当时,由得或,由得,此时在上单调递减,在和上单调递增此时,此时在至多只有一个零点,不合题意,当时,由得或,由得,此时在和上单调递增,在上单调递减,且,在至多只有一个零点,不合题意,综上所述,的取值
5、范围为11已知,函数,.(1)求的极小值;(2)若在上为单调增函数,求的取值范围;(3)设,若在(是自然对数的底数)上至少存在一个,使得成立,求的取值范围.解析:(1)由题意,所以时,;当时,.所以在上是减函数,在上是增函数,故.(2)因为,所以,由于在内为单调递增函数,所以在上恒成立,即在上恒成立,故,所以的取值范围是.(3)构造函数,当时,由得,所以在上不存在一个,使得.当时,.因为,所以,所以在上恒成立,故在上单调递增,所以要在上存在一个,使得,必须且只需,解得,故的取值范围是.另外:(3)当时,当时,由,得.令,则,所以在上递减,.综上,要在上存在一个,使得,必须且只需.12对于函数的
6、定义域为,如果存在区间,同时满足下列条件:在上是单调函数;当的定义域为时,值域也是,则称区间是函数的“区间”对于函数(1)若,求函数在处的切线方程;(2)若函数存在“区间”,求的取值范围解析:(1)时,则,函数在处的切线方程为,即(2),列表如下:0减增极大值减设函数存在“区间”是(i)当时,由上表可知,两式相减得,即,所以,代入,得,欲使此关于的方程组在时有解,需使与的图象有两个交点,在是减函数,在是增函数,且,所以此时满足存在“区间”的的取值范围是(ii)当时,由上表可知,即,设,当时,为增函数,当时,为减函数,欲使此关于的方程有两解,需使与在有两个交点,所以有,解得所以此时满足存在“区间
7、”的的取值范围是(iii)当时,由上表可知,两式相减得,此式不可能成立,所以此时不存在“区间”综上所述,函数存在“区间”的的取值范围是B组一、 选择题1(2018年高考全国2卷理)函数fx=ex-e-xx2的图象大致为A. A B. B C. C D. D【答案】B【解析】x0,f(-x)=e-x-exx2=-f(x)f(x)为奇函数,舍去A,f(1)=e-e-10舍去D;f(x)=(ex+e-x)x2-(ex-e-x)2xx4=(x-2)ex+(x+2)e-xx3x2,f(x)0,所以舍去C;因此选B.2已知等比数列的前项的和为,则的极大值为( )A2 B3 C D【答案】D解析:因,即,故
8、题设,所以,由于,因此当时, 单调递增;当时, 单调递减,所以函数在处取极大值,应选D.3设函数是函数的导函数,则使得成立的的取值范围是( )A B C D【答案】A解析:令,由得,所以在定义域上递增,即是,可得,使得成立的的取值范围是,故选A。4定义在上的可导函数,当时,恒成立, 则的大小关系为( )A B C D答案A解析:构造函数 ,当 时,即函数单调递增,则,同理,由,可知.故本题选A5己知定义在上的可导函数的导函数为,满足,且为偶函数,则不等式的解集为( )A B C D答案D解析:因为函数满足为偶函数且,所以且,令,则在上恒成立,即函数在上单调递减,又因为,所以由,得,即不等式的解
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