第10讲直线平面垂直问题 专题提升训练(解析版)-2022届高考数学理培优
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1、 第10讲 直线、平面垂直问题A组一、 选择题1、若 是两条不同的直线, 垂直于平面 ,则“ ”是“ 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若,因为垂直于平面,则或;若,又垂直于平面,则,所以“ ”是“ 的必要不充分条件,故选B2、下列说法错误的是( )A若直线平面,直线平面,则直线不一定平行于直线B若平面不垂直于平面,则内一定不存在直线垂直于平面C若平面平面,则内一定不存在直线平行于平面D若平面平面,平面平面,则一定垂直于平面【答案】C3、已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题,错误的命题是( )(A)若,则
2、 (B)若,则(C)若,则 (D)若,则/【答案】D【解析】A中,过直线作平面分别与交于,则由线面平行的性质知,所以,又由线面平行的性质知,所以,正确;B中,由,知垂直于两个平面的交线,则所成的角等于二面角的大小,即为,所以,正确;C中,在内取一点,过分别作直线垂直于的交线,直线垂直于的交线,则由线面垂直的性质知,则,由线面垂直的判定定理知,正确;D 中,满足条件的也可能在内,故D错,故选D4、已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m,n满足 则( )Aml Bmn Cnl Dmn【答案】C【解析】由题意知,故选C二、填空题5、【2016高考新课标2理数】是两个平面,是两条直线,有下列四个命题:
3、(1)如果,那么.(2)如果,那么.(3)如果,那么.(4)如果,那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号)【答案】【解析】对于,则的位置关系无法确定,故错误;对于,因为,所以过直线作平面与平面相交于直线,则,因为,故正确;对于,由两个平面平行的性质可知正确;对于,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的有.6、三棱锥中, , 是斜边的等腰直角三角形, 则以下结论中: 异面直线与 所成的角为; 直线平面; 面面 ; 点到平面的距离是. 其中正确结论的序号是_ .【答案】三、解答题7、如图,在三棱柱中,已知,.(1)证明:;(2)若,求三棱锥的体积.【解
4、析】(1)在中,.又,由勾股定理的逆定理,得为直角三角形.又,,平面.平面(2)易知.在中,,则由勾股定理的逆定理,得为直角三角形,.又,平面.为三棱锥的高.8、如图,是四棱柱,底面是菱形, 底面,是的中点求证:平面平面;若四面体的体积,求棱柱的高【解析】设平面,连接,则与的对应边互相平行,且,所以2分,是的中点3分,连接、,因为底面,所以,是菱形,且,所以面,因为、分别是、 的中点,所以是矩形,所以平面平面(即平面),所以,面面因为底面,所以是棱柱的高,平面,平面底面,在底面上作,垂足为,面面,所以面,所以,其中,所以,解得,即棱柱的高为9、如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧棱底面,
5、且侧棱的长是,点分别是的中点.()证明:平面;()证明:平面;()求三棱锥的体积.【解析】()证明:作的中点,连接, 分别是的中点 又在正方形中,是的中点, 四边形是平行四边形,又平面,平面平面()证明:四边形是边长为的正方形,是的中点,又侧棱底面,面;又;是等腰三角形, 是的中点,;同理是等腰三角形, 是的中点, 面平面()解:侧棱底面,面;由()知:平面;是三棱锥到平面的距离分别是的中点;,;四边形是边长为的正方形,是的中点三角形是等边三角形; 10、如图,在四棱锥中,平面,四边形中,且,点为中点求证:平面平面;求点到平面的距离【解析】证明:取中点,连接是中点,又,四边形为平行四边形,平面
6、,平面平面,平面平面由知,平面,即点到平面的距离为在中,由,得,点到平面的距离为B组一、选择题1、已知,为三条不同直线,为三个不同平面,则下列判断正确的是( ) A .若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则【答案】C.【解析】A:,可能的位置关系为平行,相交,异面,故A错误;B:根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误;C:根据线面平行的性质可知C正确;D:若,根据线面垂直的判定可知D错误,故选C2、设是空间三条直线,是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不正确的是( ) A. 当时,若,则 B. 当且是在内的射影时,若,则 C. 当时,若,则 D.当且时,若,则 【答案】C【解析】A 选项的
7、逆命题为“当时,若,则”,正确;B. 选项的逆命题为“当且是在内的射影时,若,则”,正确;C. 选项的逆命题为“当时,若,则”,错误:D. 选项的逆命题为“当且时,若,则 ”正确3、如图,在正方体中,点为线段的中点设点在线段上,直线与平面所成角为,则的取值范围是( )图A B C D【解析】易于证明平面平面,所以直线在平面上的射影为线段所在直线,于是即直线与平面所成角(或补角).利用极端情况,本题只要计算,利用余弦定理知,于是.故选.4、已知正的顶点在平面上,顶点在平面的同一侧,为的中点,若在平面上的射影是以为直角顶点的三角形,则直线与平面所成角的正弦值的范围是( )A. B. C. D. 【
8、答案】B.【解析】如图所示,设B到平面,C到平面的射影,D到平面的射影分别为E,F,P,设,则,由题意可知,由,由函数在上单调递减,上单调递增,可知,故选B二、填空题5、三棱柱的底面是边长为的正三角形,侧棱与底边所成的角均为.若顶点在下底面的投影恰在底边上,则该三棱柱的体积为 .【答案】【解析】如图所示,过点作直线交于点,则为中点.过点作交于点,连接.因为,所以,所以.因为,且,所以,所以.所以.6、一个直径的半圆,过作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一点,使,为半圆上一个动点,分别为在上的射影.当三棱锥的体积最大时,的余弦值为_.【答案】【解析】如下图所示,平面,平面,又由,平面,平面,又由
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