第15讲古典概型与几何概型 专题提升训练(解析版)-2022届高考数学理培优
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1、 第15讲 古典概型与几何概型A组1、 选择题1、 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数是0的概率为( )A B C D【答案】:D【解析】:根据计数原理,个位数与十位数之和为奇数的两位数共有个,其中个位数是0的两位数有个,因此由古典概型可知个位数是0的概率。2、锅中煮有芝麻馅汤圆个,花生馅汤圆个,豆沙馅汤圆个,这三种汤圆的外部特征完全相同从中任意舀取个汤圆,则每种汤圆都至少取到个的概率为( )A B C D【答案】:C【解析】:本题考察古典概型。由题目条件可知总的舀法为:,而所求事件可分为三类,即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆,豆沙馅汤圆取得个数分别按1,1,2;1,2,1;2,1
2、,1三类,故所求概率。3、如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA、OB为直径作两个半圆,在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是() A1 B.C. D.【答案】:A【解析】:本题考察几何概型以及面积的相关计算。如图设阴影部分两块的面积分别为,OAR,则,=,故而所求概率。4、(2016重庆二诊理5)在区间1,4上任取两个数,则所取两个数的和大于3的概率为( )A. B. C. D.【答案】:D【解析】:在区间1,4上任取两个数记作(x,y),则基本事件构成集合,面积,满足条件的事件,如图阴影面积;故所求概率。二、填空题5、 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七
3、个不同的数则这七个数的中位数是6的概率为_。【答案】:【解析】:从0到9十个数字中任取七个不同的数有种取法,要使七个数字的中位数是6,则6,7,8,9必须取,然后再从0,1,2,3,4,5中任取3个数字,有种取法,故所求概率。6、投掷两颗骰子,其向上的点数分别为m和n,则复数(mni)(nmi)为实数的概率为 。【答案】:【解析】:投掷两颗骰子,共向上的点数m、n,用(m,n)记录基本事件,则基本事件构成集合。因为,则它为实数的等价条件是,又m、n均为正整数,从而mn。故所求事件有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)基本事件共6个,中共有36个基本事件,则P。
4、7、已知正方体内有一个内切球O,则在正方体内任取点M,点M在球O内的概率是 。【答案】:【解析】:设正方体棱长为a,则正方体的体积,内切球的体积为,故点M在球O内的概率为。8、若区域,在区域M内的点的坐标为,则的概率是_。【答案】:【解析】:本题考察几何概型及线性规划的综合应用。如图,区域M是以(2,0),(2,0),(0,2),(0,2)为顶点的正方形,其中满足的是直线yx和yx所夹的如图所示的阴影部分,显然阴影部分的面积恰好是区域M面积的一半,故所求的概率为。三、解答题9、某校高三有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试,每人限报一所高校。求这三所高校中每个学校都至少有一名同学报
5、考的概率。【答案】:【解析】:因为每名学生都有3种报考方法,所以5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试的报考方法总数为种。三所高校中每个学校都至少有一名同学报考有两种情形:(1)三所学校报名人数为3,1,1,共有种;(2)三所学校报名人数为2,2,1,共有种;所以三所高校中每个学校都至少有一名同学报考的方法总数为60+90=150种,故所求概率。10、某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本均值;(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人?(3)
6、从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【解析】:本题考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典概型等知识,除应用频率估算概率外,还特别要注意基本公式的应用.(1)样本均值;(2)样本中优秀工人为2名,频率为,由此估计该车间12名工人中有名优秀工人;(3)由于12名工人中有4名优秀工人,任取2人恰有1名优秀工人的概率。 B组一、选择题1、某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛,其中一班有3位,二班有2位,其它班有5位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为( ) A B C D
7、【答案】:B【解析】:10位同学参赛演讲顺序共有种;(1) 一班有3位同学恰好被排在一起有种方法;(2) 将一班的同学捆在一起与其他的5位同学共6个对象排成一列有种方法;(3) 二班的2位同学插入以上6个对象所形成的7个间隙有种方法;根据分布计数原理:一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起共有种方法;故所求概率。2、10张奖券中只有3张有奖,5个人购买,至少有1人中奖的概率是( )A. B. C. D.【答案】:D【解析】:方法一(直接法):本题考察古典概型。由题意知试验所包含的所有基本事件数为,至少有一人中奖包括:一人中奖,两人中奖,三人中奖,其基本事
8、件数为。则所求概率。方法二(正难则反):所求事件的对立事件是没有人中奖,其基本事件数为。则至少有1人中奖的概率。3、已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使APB的最大边是AB”发生的概率为,则=( )A. B. C. D.【答案】:D【解析】:本题的关键是找出使APB的最大边是AB的临界条件。如图,在矩形ABCD中,以AB为半径作圆交CD分别于E,F,当点P在线段EF上运动时满足题设要求,所以E、F为CD的四等分点,设,则在直角三角形ADF中, ,所以。4、(2016全国卷12)从区间随机抽取个数构成个数对其中两数的平方和小于的数共有个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为(
9、)A. B. C. D.【答案】:C【解析】:由题意得在如图所示方格中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影部分中,由几何概型知;故而有,即。二、填空题5、某轻轨列车有4节车厢,现有6位乘客准备乘坐,设每一位乘客进入每节车厢是等可能的,则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0,1,2,3的概率为 。【答案】:【解析】:6位乘客进入车厢的方案共有种,6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0,1,2,3的方案有种,从而所求概率。6、在区间-3,3上随机取一个数x,使得|x+1|-|x-2|1成立的概率为_。【答案】:【解析】:设,则;由,解得,即当时,;由几何概型公式得所求概率为。7、连掷两次骰子得到的点
10、数分别为m和n,设向量与向量的夹角为,则的概率是_。【答案】:【解析】:由题目条件可,因为,则有。满足条件的概率,显然的概率与的概率相等,从而的概率为,因此满足的概率为。8、已知关于x的二次函数。设集合P1,1,2,3,4,5,Q2,1,1,2,3,4,分别从集合P和Q中任取一个数作为a和b的值,函数yf(x)在区间1,)上是增函数的概率为_。【答案】:【解析】:抛物线的对称轴为。因为yf(x)在区间1,)上为增函数,则有且,即且。若a1,则b2,1;若a2,则b2,1,1;若a3,则b2,1,1;若a4,则b2,1,1,2;若a5,则b2,1,1,2,从而该事件包含基本事件数为16,所有基本
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