第11讲立体几何中球的综合问题 专题提升训练(解析版)-2022届高考数学理培优
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1、第11讲 立体几何中球的综合问题A组一、选择题1.(2019年高考全国卷理)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为AB CD【答案】D【解析】:由及是边长为2的正三角形可知,三棱锥为正三棱锥,则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心.连接BO并延长,交AC于G,则,又,可得AC平面PBG,则PBAC.因为E,F分别是PA,AB的中点,所以.又,即EFCE,所以PBCE,得PB平面PAC.所以PBPA,PBPC.又因为,是正三角形,所以,故所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直. 把三棱锥
2、补形为正方体,则正方体外接球即为三棱锥的外接球,其直径为正方体的体对角线的长度,即, 半径为,则球O的体积为故选D2(2018年高考全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )A B C D【答案】B【解析】过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为,底面圆的直径为,所以该圆柱的表面积为故选B3三棱柱的各个顶点都在球的球面上,且平面。若球的表面积为,则这个三棱柱的体积是( )A B C D1【答案】C【解析】平面,三棱柱内接球,为距形的中心, 设球半径为,则,即,三棱柱的高,三棱柱的体积,故选C。4球
3、的球面上有四点,其中四点共面,是边长为2的正三角形,面面,则棱锥的体积的最大值为( )A B C D4【答案】A【解析】设球心和的外心为,延长交于点,则由球的对称性可知,继而由面面可得所在的平面,所以是三棱锥的高;再由四点共面可知是的中心,故,当三棱锥的体积最大时,其高为,故三棱锥的体积的最大值为,应选A。5如图所示,直四棱柱内接于半径为的半球,四边形为正方形,则该四棱柱的体积最大时,的长为( )A B C D【答案】D【解析】设,则,所以直四棱柱的体积为,令,则,则,故,所以当时,即时,体积最大.故应选D.6在正三棱锥中,是的中点,且,底面边长,则正三棱锥的外接球的表面积为( )A B C
4、D【答案】B【解析】根据三棱锥为正三棱锥,可证明出ACSB,结合SBAM,得到SB平面SAC,因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直最后利用公式求出外接圆的直径,结合球的表面积公式,可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积取AC中点,连接BN、SN,N为AC中点,SA=SC,ACSN,同理ACBN,SNBN=N,AC平面SBN,SB平面SBN,ACSB,SBAM且ACAM=A,SB平面SACSBSA且SBAC,三棱锥S-ABC是正三棱锥,SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直底面边长侧棱SA=2,正三棱锥S-ABC的外接球的直径为:,正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是,故选:B二、填空题7
5、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 【答案】【解析】设正方体边长为,则 ,外接球直径为.8底面是同一个边长为的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球,它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面,球的半径为。设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分别为,则的值是 。【答案】.【解析】如下图所示,右图为左图的纵切面图.如图可知,底面为正三角形,D为BC的中点,则,故和即为二面角;设交平面ABC于点P,易知P点在AD上,且为的重心.,,.9已知三棱锥的所有棱长都相等,现沿三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为,则三棱锥的内切球的表面积为
6、 .【答案】【解析】三棱锥展开后为等边三角形,设边长,则,则因此三棱锥的棱长为,三棱锥的高,设内切球的半径为,则,求的表面积.10.已知球的表面上有四点,且两两互相垂直,若,求这个球的表面积和体积 解:设过的平面截球所得截面圆心为,与球面另一交点为.因为,所以是圆的直径,且.因为,所以平面,又平面,所以.如图,过作平面,则直线为平面和平面的交线,点,连接,在圆中,为直角,所以为圆的直径.设圆的半径为,在中,即,所以.所以三、解答题11.棱长为的正方体容器中盛满水,把半径为的铜球放入水中刚好被淹没,然后再放入一个铁球,使它淹没水中,要使流出的水量最多,这个铁球半径应该为多大? 解:过正方体对角线
7、的截面图如图所示,.设小球半径为,在中,解得为所求.12.过球面上一点的三条弦,满足,求此球的表面积 解:由题意知,四面体是球的内接正四面体.设是的中心,则球心在上.如图,连接,设球半径为,则,在中,而,故,表面积为13.将半径为R的四个球,两两相切地放在桌面上,求上面一个球的球心到桌面的距离。解:设四个球心分别为A,B,C,D,则四面体A-BCD是棱长为2R的正四面体,如图所示,过A作AH面BCD与H,则H为BCD的中心,连接BH并延长交CD于M,连接AM,则BMCD,AMCD且AM=R,HM=,所以AH=R,故上面一球的球心到桌面距离为。B组一、选择题1已知三棱锥,在底面中, 面,则此三棱
8、锥的外接球的表面积为( )A B C D【答案】D【解析】底面三角形内,根据正弦定理,可得,满足勾股定理,,底面,所以,那么平面,所以,那么直角三角形有公共斜边,所以三棱锥的外接球的球心就是的中点,是其外接球的直径,,所以外接球的表面积,故选D.2如图, 在菱形中, 为对角线的中点, 将沿折起到的位置,若 ,则三棱锥的外接球的表面积为( )A B C D【答案】A【解析】设分别是等边三角形的外心,则画出图象如下图所示,由图象可知,,故,,外接球面积为.3已知三棱锥SABC,满足SASB,SBSC,SCSA,且SA=SB=SC,若该三棱锥外接球的半径为,Q是外接球上一动点,则点Q到平面ABC的距
9、离的最大值为( )A3 B2 C D【答案】D【解析】因为三棱锥中,且,所以三棱锥的外接球即为以为长宽高的正方体的外接球,因为该三棱柱外接球的半径为,所以正方体的对角线长为,所以球心到平面的距离为,所以点到平面的距离的最大值为,故选D4已知从点出发的三条射线,两两成角,且分别与球相切于,三点若球的体积为,则,两点间的距离为( )(A) (B) (C)3 (D)【答案】B【解析】连接交平面于,由题意可得:和为正三角形,所以因为,所以,所以又因为球的体积为,所以半径,所以 二、填空题5已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是球的直径若平面平面,三棱锥的体积为9,则球的表面积为_【答案】【解析】取的中
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