第26讲 以三角函数与解三角形为背景的取值范围问题 专题提升训练(解析版)-2022届高考数学理培优
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1、第26讲 以三角函数与解三角形为背景的取值范围问题一、选择题1已知点O是锐角ABC的外心,a,b,c分别为内角A、B、C的对边,A=4 ,且cosBsinCAB+cosBsinBAC=OA,则的值为()A 22 B 22 C 2 D 2【答案】D【解析】如图所示:O是锐角ABC的外心,D、E分别是AB、AC的中点,且ODAB,OEAC,设ABC外接圆半径为R,则|OA|=R,由图得,OA=OD+DA,则ABOA=AB(OD+DA)=ABDA =AB(-12AB)=-12AB2=-12|AB|2,同理可得,ACOA=-12|AC|2,由cosBsinCAB+cosCsinBAC=OA得,cosB
2、sinCABOA+cosCsinBACOA=OA2,所以-12cosBsinC|AB|2-12cosCsinB|AC|2=OA2,则cosB|AB|AB|sinC+cosC|AC|AC|sinB=-2|OA|2,在ABC中由正弦定理得:|AB|sinC=|AC|sinB=2R,代入得,2RcosB|AB|+2RcosC|AC|=-2R2,则cosB|AB|+cosC|AC|=-R,由正弦定理得,|AB|=2RsinC、|AC|=2RsinB,代入得,2RsinCcosB+2RcosCsinBR;所以2sin(C+B),即2sin34=-,解得=-2,故选D2在ABC中,内角A,B,C的对边分别
3、为a,b,c,若ABC的面积为18c2,则ab+ba的最大值为( )A 2 B 4 C 25 D 42【答案】C【解析】由题意得,S=12absinC=18c2,c2=4absinC,又c2=a2+b2-2abcosC,a2+b2=c2+2abcosC,ab+ba=a2+b2ab=c2+2abcosCab =4absinC+2abcosCab=4sinC+2cosC =25sin(C+),则ab+ba的最大值为25,故选C3已知函数f(x)3sin(x)(0,0),f(-3)=0,对任意xR恒有f(x)|f(3)|,且在区间(15,5)上有且只有一个x1使f(x1)3,则的最大值为A 574
4、B 1114 C 1054 D 1174【答案】C【解析】由题意知-3+=k13+=k2+2,k1,k2Z,则=32k+14=k2+4,k1,k2Z,其中k=k2-k1,=k1+k2,又f(x)在(15,5)上有且只有一个最大值,且要求最大,则区间(15,5)包含的周期应最多,所以5-15=2152T,得030,即32k+1430,所以k19.5.分类讨论:.当k=19时,=1174,此时=34可使-3+=k13+=k2+2,k1,k2Z成立,当x15,5时,1174x+342.7,6.6,所以当117x14+34=4.5或6.5时,fx1=3都成立,舍去;.当k=18时,=1114,此时=3
5、4可使-3+=k13+=k2+2,k1,k2Z成立,当x15,5时,1054x+342.5,6,当且仅当105x14+34=4.5或6.5时,fx1=3都成立,综上可得:的最大值为1054.本题选择C选项.4在四边形ABCD中,已知M是AB边上的点,且MA=MB=MC=MD=1,CMD=120,若点N在线段CD(端点C,D除外)上运动,则NANB的取值范围是( )A -1,0) B -1,1) C -34,0) D -12,1)【答案】C【解析】由NANB =MA-MNMB-MN=MN2-MA2=MN2-1,在MCN中,MC=1,MCN=30,MN2=12+NC2-2NC132 =NC2-3N
6、C+1,MN2-1=NC2-3NC=NC-322-34,N在CD上,MC=MD=1,CMD=120,可得CD=3,0NC3,34MN2-10的图象向左平移3个单位,得到函数y=gx的图像,若y=gx在0,4上为增函数,则的最大值为( )A 1 B 2 C 3 D 4【答案】B【解析】由三角函数的性质可得:fx=2sinx2cosx2-23cos2x2+3=sinx-231+cosx2+3=sinx-3cosx=2sinx-3,其图象向左平移3个单位所得函数的解析式为:gx=2sinx+3-3=2sinx,函数的单调递增区间满足:2k-2x2k+2kZ,即2k-2x2k+2kZ,令k=0可得函数
7、的一个单调递增区间为:-2,2,y=gx在0,4上为增函数,则:24,据此可得:2,则的最大值为2.本题选择B选项.7在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A是B和C的等差中项,ABBC0,a=32,则ABC周长的取值范围是( )A 2+32,3+32 B 3,3+32 C 1+32,2+32 D 1+32,3+32【答案】B【解析】A是B和C的等差中项,2A=B+C,A=3,又ABBC0,则cos(-B)0,从而B2,2B23,asinA=bsinB=csinC=32sin3=1,b=sinB,C=sinC=sin(23-B),所以ABC的周长为l=a+b+c=32+sinB+
8、sin(23-B) =3sin(B+6)+32,又2B23,23B+656,12sin(B+6)32,3l3+32故选B8若函数fx=sin2x-3与gx=cosx-sinx都在区间a,b0ab上单调递减,则b-a的最大值为( )A 6 B 3 C 2 D 512【答案】B【解析】根据正弦函数的单调递减区间为2+2k,32+2k,kZ ,所以f(x)=sin(2x-3) 的单调递减区间为2+2k2x-332+2k,可解得512+kx1112+k g(x)=cosx-sinx=2cos(x+4) ,由余弦函数的单调递减区间为2k,+2k,kZ,所以2kx+4+2k,可解得2k-4x34+2k 因
9、为f(x)与g(x)在a,b(0ab) 上同为单调递减函数,所以其交集为2k+512x34+2k,所以b-amax=34-512=3 所以选B9已知锐角ABC的内角为A,B,C,点M为AB上的一点,cosACM=313,AC=15,CM=313,则AB的取值范围为( )A 1522,152 B 15,152 C 62,15 D 1522,+【答案】A【解析】:AMC中,由余弦定理可得,AM2=AC2-CM2-2AC CMcosACM=72,AM=62,AMC中,由正弦定理得,AMsinACM=MCsinMAC,得sinMAC=22,MAC=4,当ACB=90时,AB=152,当ABC=90时,
10、AB=1522,ABC为锐角三角形,1522AB152,AB的取值范围为1522,152,故选A.10设函数fx=sin2x+3.若x1x20,且fx1+fx2=0,则x2-x1的取值范围为( )A (6,+) B (3,+) C (23,+) D (43,+)【答案】B【解析】(特殊值法)画出fx=sin2x+3的图象如图所示结合图象可得,当x2=0时,fx2=sin3=32;当x1=-3时,fx1=sin(-23+3) =-32,满足fx1+fx2=0由此可得当x1x2|0-(-3)|=3故选B11函数f(x)=2sin(2x+)(00)在-3,2内有且仅有一个最大值,则的取值范围是( )
11、A 34,5) B 1,5) C 1,92) D (0,34【答案】C【解析】fx=4sinxsin2x2+4+cos2x-1=4sinx1-cosx+22+cos2x-1=2sinx1+sinx+1-2sin2x-1=2sinx,因为函数f(x)在-3,2内有且仅有一个最大值,所以2252-32-3,可得10,2, 其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为,若fx1对x-12,3恒成立,则的取值范围是( )A 6,3 B 12,3 C 12,2 D 6,3【答案】D【解析】函数fx=2sinx+10,2,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为,故函数的周期为2=, =2 ,f(x)=2si
12、n(2x+)+1 若fx1对x-12,3恒成立,即当x-12,3时,sin(2x+)0 恒成立,故有2k2(-12)+23+2k+,求得2k+62k+3,kZ, 结合所给的选项,故选D14已知函数fx=2sinx+10,2, 其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为,若fx2对x24,3恒成立,则的取值范围是( )A 6,2 B 6,3 C 12,3 D 12,6【答案】D【解析】因为函数fx=2sinx+10,2, 其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为,所以函数周期为T=,=2,由fx2知sin(2x+)12 ,又x24,3时,2x+12+,23+,且2 ,所以612+23+56解得126,
13、故选D.15的三个内角, , 的对边分别为, , ,若, ,则的取值范围是( )A B C D 【答案】D【解析】由cosAcosBcosC0,可知,三角形是锐角三角形,由题意有sinB=sin2A=2sinAcosA,结合正弦定理有b=2acosA, ,A+B+C=180,B=2A,3A+C=180, ,2A0,tan0,tan+tan=1-tantan2tantan,令tantan=m,则m2+2m-10,0m-1+2,即0tantan3-22,当且仅当=8时取等号,tantan的最大值时3-22.故填:3-2219在ABC中,设角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2a,b,c成等差数列
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