第24讲 以平面向量为背景的取值范围问题 专题提升训练(解析版)-2022届高考数学理培优
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1、 第24讲以平面向量为背景的取值范围问题专题一、选择题1已知在平面四边形ABCD中,ABBC ,ADCD,BAD=120,AD=1,AB=2,点E为边CD上的动点,则AEBE的最小值为A 2116 B -34 C 54 D 2516【答案】C【解析】如图所示,以D为原点,以DA所在的直线为x轴,以DC所在的直线为y轴,过点B作BNx轴,过点B作BMy轴,ABBC,ADCD,BAD=120,AD=1,AB=2,AN=ABcos60=1,BN=ABsin60=3,DN=1+1=2,BM=2,CM=MBtan30=3,DC=DM+MC=23,A1,0,B2,3,C0,23,设E0,m,AE=-1,m
2、,BE=-2,m-3,0m23,AEBE=2+m2-3m=m-322+54,当m=32时,取得最小值为54,故选C.2已知平面向量满足,则最大值为( )A B C D 【答案】D【解析】设, 与所成夹角为,则:,则向量的夹角为60,设,则,故:,设O到BC的距离为,则,由可知点A落在以O位圆心,4为半径的圆上,A到BC的距离的最大值为,则ABC的面积的最大值为: 故最大值为本题选择D选项.3已知为原点,点的坐标分别是和其中常数,点在线段上,且,则的最大值为( )A B C D 【答案】A【解析】因为点的坐标分别是和所以又由点P在线段AB上,且所以则,当t=0时候取最大为.故选A.4设为单位向量
3、,非零向量.若的夹角为,则的最大值等于( )A 4 B 3 C 2 D 1【答案】C【解析】|= 只考虑x0,则=2,当且仅当=时取等号。的最大值等于2.故答案为:2.5若向量,且,则的最大值是A 1 B C D 3【答案】D【解析】 ,选D.6已知在三角形中, ,边的长分别为方程的两个实数根,若斜边上有异于端点的两点,且,则的取值范围为 ( )A B C D 【答案】C【解析】有题可知.建立如图所示的坐标系,有点.设,则.所以.因为点到边的距离,所以的面积为定值.所以,故,故选C.7已知a,b是单位向量,ab=0.若向量c满足c-a-b=1,则c的取值范围是( )A 2-1,2+1 B 2-
4、1,2+2 C 1,2+1 D 1,2+2【答案】A【解析】设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则(x-1)2+(y-1)2=1. 设x=1+cos, y=1+sin,则c=x2+y2=3+22sin(+4),故2-1c2+1,故选A.8已知非零向量满足,且关于的方程有实根,则向量与夹角的取值范围是( )A B C D 【答案】B【解析】设与的夹角为,因为,所以, 本题选择B选项.9设是单位圆上三点,若,则的最大值为( )A 3 B C D 【答案】C【解析】是半径为1的圆上三点, ,根据余弦定理可知边所对的圆心角为60则=30在中,根据正弦定理可知.的最大值为,故选C.10已知
5、向量与的夹角为, , , , , 在时取最小值,当时, 的取值范围为( )A B C D 【答案】D【解析】解:建立如图所示的平面直角坐标系,则由题意有: ,由向量关系可得: ,则: ,整理可得: ,满足题意时: ,据此可得三角不等式: ,解得: ,即 的取值范围是 .本题选择D选项.11已知平面向量, , , ,且.若为平面单位向量, 的最大值为( )A B 6 C D 7【答案】C【解析】,其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,当与共线时,取得最大值,则的最大值为,故选C.12如图在中, 为边上一点(含端点), ,则的最大值为( )A 2 B 3 C 4 D 5【答案】D【
6、解析】 , , ,因为,所以,即的最大值为 .13已知点是边长为2的正方形的内切圆内(含边界)一动点,则的取值范围是( )A B C D 【答案】C【解析】建立坐标系如图所示,设,其中, ,易知,而,若设,则,由于,所以的取值范围是,故选C.14已知为单位向量,且,向量满足,则的取值范围为( )A B C D 【答案】D【解析】法一:由得,即,所以,则有,又因为,所以,由于,所以有,解得: ,故选则D. 法二:设向量,设向量,则,所以有,即,所以点的轨迹是以为圆心,3为半径的圆,如下图,因为,可以看作圆上动点到原点距离的最大值、最小值,先求圆心到原点的距离为,所以, ,所以,故选择D.15如图
7、,扇形p中,OA=1,AOB=90,M是OB中点,m是弧AB上的动点,N是线段OA上的动点,则PMPN的最小值为A 0 B 1-52 C 5-32 D 1-52【答案】D【解析】 建立如图所示平面直角坐标系,设P(cost,sint),M(0,12),N(m,0),则PM=(-cost,12-sint),PN=(m-cost,-sint),故PMPN=1-(12sint+mcost),因为0m1,所以PMPN=1-(12sint+mcost)1-(12sint+cost);又因为1-(12sint+cost)=1-14+1sin(t+)=1-52sin(t+)(tan=2),所以1-(12si
8、nt+cost)=1-52sin(t+)1-52(当且仅当sin(t+)=1取等号),应选答案D。二、填空题16, 分别为的中点,设以为圆心, 为半径的圆弧上的动点为 (如图所示),则的取值范围是 _.【答案】【解析】以A 为原点,以AB为x轴,以AD 为y轴建立平面直角坐标系,设,则, , , , ,(其中 ),当时, 取得最大值,当在点位置时 , 取最小值 ,则的取值范围.17定义域为a,b的函数y=f(x)的图象的两个端点为A,B,M(x,y)是f(x)图象上的任意一点,其中x=a+(1-)b(R),向量ON=OA+(1-)OB,其中O是坐标原点.若不等式|MN|k恒成立,则称函数f(x
9、)在a,b上“k阶线性近似”.若y=x+1x在1,2上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围是_【答案】32-2,+)【解析】由题意知a=1,b=2,A(1,2),B(2,52);直线AB的方程为y=12x+32;xM=+2(1-)=2-,ON=(1,2)+(1-)(2,52)=(2-,52-2);M,N两点的横坐标相同,且点N在直线AB上;|MN|=|yM-yN|=|x+1x-12x-32|=|x2+1x-32|,x2+1x2x21x=2,x=2时取“=”;又232,|MN|=|x2+1x-32|32-2;要使|MN|k恒成立,k的取值范围是k32-2故答案为:32-2,+)18在ABC中,D
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