2022年广东省深圳市普通高中高三年级第一次调研考试数学试题(含答案)
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1、第1页 共8页 2022 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学 参考答案与评分标准 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B D C D C 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分。 题号 910 11 12 答案 BD AC ABD BCD 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.2;14.2;15.2
2、 5+2;16. 32. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分) 解:解: (1)由14 3nnnaa+= ,得14 3nnnaa+=+ ,1 分等式两边同时减去13n+,得113(3 )nnnnaa+=,2 分 又因为131a = , 3 分所以数列3 nna 是以1为首项,1为公比的等比数列. 4 分 (2)由(1)得,3( 1)nnna = ,即3( 1)nnna =+ , 5 分11223( 1) 3( 1) . 3( 1) nnnS =+ + + 6 分 1212(33.3 )( 1)( 1).( 1) )nn=+ +
3、 + 7 分 3 (1 3 )1 1( 1) 1 31( 1)nn =+ 8 分 13( 1)42nn+ =, 9 分所以13( 1)42nnnS+ =, (nN). 10 分18 (12 分) 解:解:(1)由题意得,随机变量X可取的值为1 2 3,易知(1)0.3P X =,(2)0.6P X =,所以(3)0.1P X =, 3 分则随机变量X的分布列如下: X123P0.30.60.1所以8 . 11 . 036 . 023 . 01)(=+=XE. 5 分(2)由(1)可知,参与者每轮得1分,2分,3分的概率依次为0.3,0.6,0.1, 第2页 共8页 记参与者第i轮的得分为iX,
4、则其前n轮的累计得分为Y =1X+2X+nX. 若参与者取球1次后可领取纪念品,即参与者得2分,则(2)0.6P Y =; 6 分若参与者取球2次后可领取纪念品,即参与者获得的分数之和为4分,有“1+3” 、“3+1”的情形, 则(4)2 0.3 0.10.06P Y = =; 8 分若参与者取球3次后可领取纪念品,即参与者获得的分数之和为6分, 有“1+2+3” 、 “3+2+1”的情形,则(6)2 0.3 0.1 0.60.036P Y = =;10 分记“参与者能够领取纪念品”为事件A,则 ( )(2)(4)(6)P AP YP YP Y=+=+=0.6 0.06 0.0360.696=
5、+=. 12 分 19 (12 分) (1)解法 1:由余弦定理,得2222cosBCABACAB ACBAC=+, 即22222(6 2)2 2 6 2522BC =+ =,2 13BC =, 所以1132BMCMBC=, 2 分在ABM中,由余弦定理,得22229cos213BMAMABAMBMABM AMAM+=, 在ACM中,由余弦定理,得222259cos213CMAMACAMCMACM AMAM+=, BMA与CMA互补,则coscos0BMACMA+=,解得5AM =, 4 分在ABM中,由余弦定理,得2224cos25ABAMBMBAMAB AM+=, 因为(0)2BAM, 5
6、 分所以23sin1 cos5BAMBAM=. 6 分 解法解法 2:由题意可得,| | cos4512AB ACABAC= =, 由AM为边BC上的中线,则1()2AMABAC=+, 两边同时平方得,22211125442AMABACAB AC=+=,故| 5AM =,2 分 因为M为BC边中点,则ABM的面积为ABC面积的12, 所以111sinsin222ABAMBAMABACBAC=, 4 分即,1112 5 sin2 6 2sin45222BAM = , 化简得,3sin5BAM=. 6 分 解法解法 3:以A为坐标原点,以AC所在直线为x轴,以过点A的垂线为y轴,建立平面直角坐标系
7、, 则(2 2)B ,(6 2 0)C,7 22()22M, 2 分所以( 22)AB =,7 22()22AM =,3 分所以84cos2 55|AB AMBAMABAM=, 4 分 第3页 共8页 因为(0)2BAM,所以23sin1 cos5BAMBAM=. 6 分(2)解法解法 1:在ABN中,由余弦定理,得2222cos45BNABANAB AN=+, 所以10BN =, 7 分由AM,BN分别为边BC,AC上的中线可知P为CAB重心, 易证,22 1033BPBN=,21033APAM=, 9 分在ABP中,由余弦定理,得22213 10cos250PAPBABAPBPA PB+=
8、, 显然,MPNAPB=, 所以13 10coscos50MPNAPB= 12 分解法解法 2:因为BN为边AC上的中线, 所以12BNBAANABAC=+= +, 7 分11() ()22AM BNABACABAC=+ +2211113244ABAB ACAC= +=, 9 分 222211()1024BNABACABAB ACAC= +=+=,即|10BN =,10 分 所以1313 10cos50|510AM BNMPNAMBN= 12 分解法解法 3:以A为坐标原点,以AC所在直线为x轴,以过点A的垂线为y轴,建立平面直角坐标系, (2,2)B,(6 2,0)C,(3 2,0)N,7
9、22(,)22M, 8 分所以7 22(,)22AM =,(2 2,2)BN =,10 分所以1313 10cos50|510AM BNMPNAMBN= 12 分 20 (12 分) 解:解:(1)如图所示,取EC的中点F,连接MFNF, 因为MF,分别为ED和EC的中点,所以MFDC,1 分因为AB DC,所以MFAB, 因为AB 平面ABE,MF 平面ABE,所以MF平面ABE,2 分 第4页 共8页 同理可得NF平面ABE,3 分因为MFNFF=,MF 平面MNF,NF 平面MNF, 所以平面MNF平面ABE,4 分因为MN 平面MNF,所以MN平面ABE, 5 分 (2)解法解法 1:
10、如图所示,过E作EOAB交AB于O, 因为平面EAB 平面ABCD,平面EAB平面=ABCD AB,EO平面ABE, 所以EO平面ABCD,故EO为四棱锥-E ABCD的高,6 分 要使四棱锥EABCD体积最大,则E为弧AEB的中点,所以O与AB的中点,7 分 取CD的中点G,连接OG,因为AB CD,1=2ADDCCBAB=,所以OGAB, 因为EO平面ABCD,所以,EOAB EOOG,所以EO ABOG,两两垂直,8 分以O为原点,分别以AB为x轴,以OE为y轴,以OG为z轴建立空间直角坐标系, 设1=2ADDCCBAB a=,所以= 2AEEBa=,易得(00)Aa, ,( 0 0)E
11、 a, ,33(0,)44Naa, 则有( , ,0)AEa a=,73(0)44ANaa=, , 9 分设平面AEN的一个法向量( , , )nx y z=,则00AE nAN n=,即073044axayayaz+=+=, 令1=x,则平面AEN的一个法向量为7 3(11)3n =, ,10 分平面ABE的一个法向量为(0,0,1)m=,则7 37 553cos,=55553n mm nn m, 11 分由图可知二面角NAEB的平面角为锐角, 所以二面角NAEB的余弦值为7 5555. 12分(2)解法解法 2:如图所示,过E作EOAB交AB于O, 因为平面EAB 平面ABCD,平面EAB
12、平面=ABCD AB,EO平面ABE, 所以EO平面ABCD,故EO为四棱锥-E ABCD的高,6 分要使四棱锥EABCD体积最大,则E为弧AEB的中点,所以O与AB的中点,7 分分别过C,N作AB的垂线交点分别为Q和P,过P作PGEB,交AE于G,连接NG, 因为平面EAB 平面ABCD,平面EAB平面=ABCD AB,NP平面ABCD, 所以NP平面EAB, 8 分 你好怎 么 办 你好怎 么 办 你好怎 么 办 你好怎 么 办 第5页 共8页 因为AE 平面EAB,所以NPAE, 因为AB为直径,所以AEEB,PGEB,所以AEPG, 因为NPGPP=,NP平面NPG,GP平面NPG,所
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