2022年高三数学小题压轴题专练2：函数的零点（2）含答案解析

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1、小题压轴题专练2函数零点（2）1、 单选题1已知函数，则方程的实根个数为A2个B3个C4个D5个解：方程，（1）分别画出，的图象由图象可得：时，两图象有一个交点；时，两图象有一个交点；时，两图象有一个交点（2）分别画出，的图象由图象可知：时，两图象有一个交点综上可知：方程实数根的个数为4故选：2已知，且，若关于的方程有三个不等的实数根，且，其中，为自然对数的底数，则的值为ABC1D解：恒成立，可设，满足，满足，再令，可得时，函数递减；时，函数递增，可得函数在处取得最大值，且为，由关于的方程有三个不等的实数根，且，可得有两个不等实根，且，且，可得，故选：3已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范

2、围为A，B，C，D，解：，可得，由题意可得函数有且只有零点0，可得，设，当时，设，可得在递增，即有，可得，即在递增，由，设，可得，即有恒成立；当，可得，可得，即在递增，由，且，可得，即有恒成立可得实数的取值范围为或故选：4函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点，则实数的取值范围为A，BC，D解：函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于：函数 与函数只有唯一一个交点，（1），（1），函数 与函数唯一交点为，又，且，在上恒小于零，即在上为单调递减函数，又 是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，可得函数 与函数的大致图象如图：要使函数 与函数只有唯一一个交点，则（1）（1），（1），（1），解得

3、，又，实数的范围为，故选：5已知函数，若函数在区间，内有3个零点，则实数的取值范围是ABC或D或解：当时，当时，当时，此时，当时，此时，当时，此时，当时，此时，当时，此时，由，得，设，作出在，上的图象如图：要使与有三个交点，则或，即或，即实数的取值范围是或，故选：6定义在上的奇函数满足，当时，且时，有，则函数在，上的零点个数为A9B8C7D6解：当时，是奇函数，当时，有，（2），（4）（2），若，则，则，即，即当时，当时，此时，当时，此时，由，得：当时，由，即是的一个零点，当时，由得，即，作出函数与在，上的图象如图：由图象知两个函数在，上共有7个交点，加上一个，故函数在，上的零点个数为8个，故

4、选：7已知函数，则方程的实数根个数不可能A5个B6个C7个D8个解：如图所示：函数，即因为当时，求得，或，或1，或3则当时，由方程，可得，或，或1，或3又因为，或，所以，当时，只有一个 与之对应，其它3种情况都有2个值与之对应故此时，原方程的实数根有7个根当时，与有4个交点，故原方程有8个根当时，与有3个交点，故原方程有6个根综上：不可能有5个根，故选：8有两个零点，有两个零点，若，则实数的取值范围是ABCD解：由得，则，则方程的两个根为，由得，则方程的两个根为，由，得，即，即，得，或，当时，当时，当时，做出函数和的图象如图：要使与的交点横坐标，和与交点的横坐标，满足，则直线必须在和之间，即，

5、即实数的取值范围是，故选：9关于的方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围ABCD解：依题意可知，由方程有四个根，所以函数与的图象有四个交点，由图可知，解得，由解得；由解得；所以设，即，所以的取值范围是，故选：10已知函数，若函数恰有两个非负零点，则实数的取值范围是ABCD解：显然，满足，因此，只需再让有另外一个唯一正根即可，即为作出，图象如下：说明：射线与线段是的部分图象，因为要分三种情况分析，故的图象作了三个（只做出轴右侧部分），分别对应、（1）对于第一种情况：因为，所以当（如图象与在，上的图象有交点时，只需（1）即可；（2）对于第二种情况：（图象与在，上的图象切于点，设切点为，因为，则，

6、解得；（3）当（图象与相交于点，且满足（2），即时，只需，时，恒成立即可所以，恒成立即可，且只能在处取等号，即，在，上恒成立，故在，上递增，所以（3），故此时即为所求综上可知，的范围是故选：2、 多选题11已知函数为自然对数的底数），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的值不可能为ABC6D解：设，可得，即有为偶函数，由题意考虑时，有两个零点，当时，即有时，由，可得，由，相切，设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，可得切线的方程为，由切线经过点，可得，解得或（舍去），即有切线的斜率为，由图象可得时，直线与曲线有两个交点，综上可得的范围是，不可能是，故选：12定义在上的函数满足，且当时，记集合，若

7、函数在时存在零点，则实数的取值可能是ABCD解：令函数，因为，为奇函数，当时，在，上单调递减，在上单调递减存在，得，即，；，为函数的一个零点；当时，函数在时单调递减，由选项知，取，又，要使在时有一个零点，只需使，解得的取值范围为，故选：13关于函数，下列结论正确的有A当时， 在，处的切线方程为B当时，存在唯一极小值点C对任意，在上均存在零点D存在，在上有且只有一个零点解：，则，当时，则，因为，所以切线过点，斜率为2，所以切线方程为，故正确；：由可知，当时，作出和的图象，如图所示：由图易知：存在使得，故当时，是单调递减的；当，时，是单调递增的，所以存在唯一的极小值点，故正确；，令，即，当时，上式

8、显然不成立，故上述方程可化为，令，则，令，则，所以当时，单调递减；当时，单调递增，存在极小值，时，单调递增；时，单调递减，存在极大值，故选项中任意均有零点错误，选项中存在有且仅有唯一零点，此时，正确故选：14已知函数，若关于的方程有四个不等实根，则下列结论正确的是A BC D的最小值为10解：作出的图像如下：若时，令，得，即或，所以或，解得或，令，得，即或，所以或，解得或若时，令，得，解得或，令，得，即，解得，当时，有四个实数根，故正确，由图可知，对于选项，有4个根，故正确对于选项：因为，所以当，即，当，即，故错误，对于选项：因为，所以，所以，故错误，对于选项：令，由于，则，所以，因为，所以，

9、所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为10，故正确故选：3、 填空题15已知函数，若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围为【解答】解：由题得函数的图象和直线有六个交点，显然有，当时，函数在单调递减，在单调递增，且，由题得，三点的高度应满足或，所以或，或，综合得故答案为：16已知函数为自然对数的底数）有两个不同零点，则实数的取值范围是解：由，当时，由零点存在性定理可知，使得方程成立；当时，令，则且，令且，则，当且时，又当或时，此时在和，上单调递减；当时，此时单调递增，（1），且极小值唯一，要使有两个不同零点，只需函数与有两个交点，（1），的取值范围为17已知关于的方程在区间，上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为解：因为方程，所以变形为，令，则有，因为在上单调递增，所以即为，故当时，有两个不相等的实数根，在中，则有，即，解得，所以实数的取值范围为故答案为：18.已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是解：若函数有四个零点，需和有四个交点，当时，作出函数和的图象如下图所示，直线恒过定点，设于相切于点，则，由，得，所以，解得，即当时，函数与有两个交点，当时，若与有两个交点，需有两个不相等的实根，当时，无解；当时，由对勾函数图象可得，当，即时，与有两个交点，故与有两个交点，综上可得，当时，函数有四个零点故答案为：