2022年高三数学小题压轴题专练12:抛物线(1)含答案解析
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1、小题压轴题专练12抛物线(1)一、单选题1已知实数,成等差数列,记直线与曲线的相交弦中点为,若点,分别是曲线与轴上的动点,则的最小值是A2B3C4D5解:因为实数,成等差数列,所以,则直线化为,即,所以直线过定点,又点在曲线上,所以直线与曲线相交的一个交点为,设另一个交点为,设,则,又在曲线上,化简得,即在抛物线上运动,设抛物线的焦点为,设,曲线,得,记圆心所以故选:2已知抛物线,点,是抛物线上任意两点,是的中点,且,则到轴距离的最小值为A9B8C4D3解:法:由题意可知直线的斜率不为零,设,设点,、,则点,点到轴的距离为由,整理得,由韦达定理得,可得,;当且仅当,即当时,等号成立,此时,成立
2、,合乎题意!因此,点到轴的距离的最小值为3,此时,直线的方程为法二:因为:;的中点到轴距离的值为:;即最小值为3故选:3已知抛物线的焦点为,是抛物线上异于坐标原点的任意一点,过点的直线交轴的正半轴于点,且,同在一个以为圆心的圆上,另有直线,且与抛物线相切于点,则直线经过的定点的坐标是ABCD解:设,抛物线的焦点为又,同在一个以为圆心的圆上,直线的斜率直线,直线的斜率为,设点,直线的斜率为,直线的方程为,整理可得,故直线经过的定点的坐标是,故选:4已知直线与椭圆切于点,与圆交于点,圆在点处的切线交于点,为坐标原点,则的面积的最大值为AB2CD1解:设,由,可得四点,共圆,可得以为直径的圆,方程为
3、,联立圆,相减可得的方程为,又与椭圆相切,可得过的切线方程为,即为,由两直线重合的条件可得,由于在椭圆上,可设,即有,可得,且,即有,当即或或或时,的面积取得最大值故选:5已知不过原点的动直线交抛物线于,两点,为坐标原点,为抛物线的焦点,且,若面积的最小值为27,则A2B3C4D6解:当直线的斜率存在时,设直线的方程为,;,两边平方可得,联立消去并整理得:,当直线的斜率不存在时,设直线,设,则,解得,面积的最小值为,依题意,故选:6已知抛物线的焦点到准线的距离为2,直线与抛物线交于,两点,若存在点,使得为等边三角形,则A8B10C12D14解:抛物线的焦点到准线的距离为2,则,即抛物线方程为,
4、其焦点坐标为,则直线过焦点,设点,、,将直线的方程与抛物线的方程联立,消去得,由韦达定理可得,所以,线段的中点为,由于是等边三角形,则,所以,直线的斜率为,得,解得,则点的坐标为,由两点间的距离公式得,得,即,所以,解得,因此,故选:7抛物线与直线交于点,二点,过点作轴的平行线与交于点,过点作抛物线的切线,切点为,切线与直线交于点已知点,则A8BC16D解:联立得:,设,直线,直线联立得的坐标,又,设切点,则过点的抛物线的切线方程为:,即,该切点过点,交点,又,故选:8已知为抛物线的焦点,过作两条夹角为的直线,交抛物线于,两点,交抛物线于,两点,则的最大值为ABCD解:由物线,可得其焦点设,由
5、对称性,不妨设直线的斜率设直线的方程为,联立,化为,直线的方程为,联立,化为,令,可得时,函数取得最大值,的最大值为故选:9已知抛物线和直线在第一象限内的交点为,设,是抛物线上的动点,且满足,记,则A当时,的最小值是B当时,的最小值是C当时,的最小值是D当时,的最小值是解:如右图所示,点,到直线的距离,又抛物线的焦点为,根据抛物线的定义知,故,又点到直线的距离,当时,故选:10已知抛物线,从点,发出,平行于轴的光线与交于点,经反射后过的焦点,交抛物线于点,若反射光线的倾斜角为,则的重心坐标为ABCD解:如图所示,过点作,垂足为,因为,反射光线的倾斜角为,所以,可得,即,将点,代入中,可得,解得
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