2022年高三数学小题压轴题专练13：抛物线（2）含答案解析

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1、小题压轴题专练13抛物线（2）一、单选题1如图，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为ABCD解：，联立，解得，在第二象限，设，则，由，得，又，化简得：，即，解得：或（舍可得故选：2已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，双曲线的左顶点与椭圆的左顶点重合，点是双曲线在第一象限内的点，且满足，则双曲线离心率为ABCD解：由椭圆方程可得，由双曲线的左顶点与椭圆的左顶点重合，得在中，易知，由余弦定理可得：，解得求得，设，则，得，解得，代入双曲线方程，可得从而，双曲线离心率为故选：3如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的交

2、点，若，则与的离心率之积的最小值为ABCD解：设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，由椭圆与双曲线的定义，可得，解得：，四边形为平行四边形，即，则与的离心率之积与的离心率之积的最小值为故选：4点为抛物线的焦点，为其准线，过的一条直线与抛物线交于，两点，与1交于已知点在线段上，可以排成一个等差数列，则所有可能值的和为A2B3C4D5解：在线段上，当时，作于，于，成等差数列，不妨设，由抛物线的定义知，即，当时，同理可设，由抛物线的定义知，即，化简可得，综上，所有可能值的和为5故选：5已知、为椭圆和双曲线的公共焦点，为其一个公共点，且，则的最大值为ABCD解：由题意可知，设椭圆的方程为：，双曲线方程为

3、：，因为、为椭圆和双曲线的公共焦点，且，所以，不妨设点在第一象限，设，由椭圆的定义及双曲线的定义可得，所以，所以在中，由余弦定理得：，所以，即，当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为，故选：6光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出如图，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点出，经两次反射后又回到了点，历时秒，若，则与的离心率之比为ABCD解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，在左图中，由椭圆定义可得：，

4、由双曲线定义可得：，得：，的周长为：；在右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线过，的周长为，又两次时间分别为，且，光线速度相同；，椭圆与双曲线焦点相同，故选：7已知双曲线的右焦点到其中一条新近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为A1B2C3D4解：双曲线的渐近线方程为，右焦点，到其一条渐近线的距离等于，可得，解得，即有，由题意可得，解得，即有抛物线的方程为，如图，过点作于点，作准线于点，连接，根据抛物线的定义得，设到的距离为，到直线的距离为，根据平面几何知识，可得当、三点共线时，有最小值到直线的距离为的

5、最小值是2，由此可得所求距离和的最小值为2故选：8点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），过、分别作抛物线的准线的垂线段，垂足分别为、，若，则直线的斜率为A1BC2D解：由抛物线方程，可得直线方程为，设，则，得，得，又直线过焦点，联立得，解得设抛物线准线交轴于，则在中，可得，由抛物线的性质，可得，则，则，则直线的斜率为故选：9已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，其准线为，过的直线交抛物线于，两点，作，垂足分别为，若，且的面积为，则抛物线的方程为ABCD解：如图所示，过点作交直线于点，交轴于点设点，、，当焦点在轴的正半轴时，设抛物线，由知，由抛物线的定义得，即，且，化简得

6、由可解得，在中，解得，此时抛物线的方程为同理，当焦点在轴的负半轴时，可得，此时抛物线的方程为综上所述，抛物线的方程为故选：10已知点是曲线上任意一点，过点向轴引垂线，垂足为，点是曲线上任意一点，则的最小值为ABCD解：由抛物线的方程可得准线方程为：，焦点，由题意及抛物线的性质可得，即求的最小值，设，则，设函数，则，恒成立，所以单调递增，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以的最小值为，当，三点共线时由最小值，且为，故选：2、 多选题11抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，直线与抛物线相交于，两点，点，下列结论正确的是A抛物线的方程为B的最小值为6C当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切D若

7、过，的抛物线的两条切线交准线于点，则，两点的纵坐标之和最小值为2解：由题设知：，解得：，抛物线方程为，故选项错误；连接交抛物线于点，此时的值最小为4，故选项错误；如右图所示，设为的中点，过点作抛物线的准线于点，交轴于点，过点作轴于点，故以为直径的圆与轴相切，故选项正确；设点，由即得：，则切线的方程为，即，同理可得切线的方程为，由解得：，由题意知在准线上，当时，为最小值，选项正确，故选：12过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则A以线段为直径的圆与直线轴相离B以线段为直径的圆与轴相切C当D的最小值为4解：的焦点，准线方程为，设，在准线上的射影为，由，可得线段为直径的圆与准线相切，

8、与直线轴相交，故错；当直线的斜率不存在时，显然以线段为直径的圆与轴相切；当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，设，可得，设，可得的横坐标为，的中点的横坐标为，当时，的中点的横坐标为，显然以线段为直径的圆与轴相交，故错；以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，设，可得，可得，又，可得，则，故正确；显然当直线垂直于轴，可得取得最小值4，故正确故选：13抛物线的焦点为，为其上一动点，设直线与抛物线相交于，两点，点，下列结论正确的是A的最小值为3B抛物线上的动点到点的距离最小值为3C存在直线，使得，两点关于对称D若过、的抛物线的两条切线交准线于点，则、两点的纵坐标之和最小值

9、为2解：由题意可得抛物线的准线方程为：，中：过作准线的垂线交抛物线于，交准线于，由抛物线的性质可得，所以，当，三点共线时最小且为，故正确；中，设抛物线上的动点，则，所以的最小值为，所以不正确；中，假设存在这样的直线，则可得直线的方程为：，设，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，可得，所以的中点，由题意可得点在直线上，所以，解得，不满足的条件，所以不正确；中，设的坐标，设直线的方程为：，设，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，即，因为，所以在处的切线方程为，同理可得在处的切线方程：，由可得，所以，所以，当时，取等号，也满足判别式大于0，符合条件，所以的纵坐标最小值之和为2，故正确故选：14已

10、知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，则下列结论正确的是A点的坐标为B若，三点共线，则C若直线与的斜率之积为，则直线过点D若，则的中点到轴距离的最小值为2解：抛物线中的，则焦点坐标为，故错误，设直线的方程为，联立方程可得，消可得，故正确，设直线的方程为，联立方程可得，消可得，直线与的斜率之积为，即，解得，直线的方程为，即直线过点；故正确，的中点到轴距离，当且仅当时取等号，故的中点到轴距离的最小值为2，故正确综上所述：结论正确的是故选：3、 填空题15已知抛物线焦点为，准线方程，直线与抛物线交于，两点，连接并延长交抛物线于点，若中点的纵坐标为，则当最大时，16解：因为抛物线的准线方程，所以，所以，所

11、以抛物线的方程是不妨设，由抛物线定义得因为，所以，所以，当且仅当时取等号所以当最大时，为等边三角形，此时，关于轴对称，不妨设，消去，得，所以，所以所以故答案为：1616已知抛物线，其焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于点、（其中在轴上方），两点在抛物线的准线上的投影分别为，若，则3解：设准线与轴交于点，两点在抛物线的准线上的投影分别为，轴，由抛物线的定义知，即，解得，为等边三角形，是顶角为的等腰三角形，故答案为：317已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为4，若点为抛物线准线上的动点，给出以下命题：当为正三角形时，的值为2；存在点，使得；若，则等于3；的最小值为，则等于4或12其中正确的是解：对于，当为正三角形时，故与轴平行，到准线的距离等于，即，故正确；对于，而在抛物线上，故不正确；对于，若，则，三点共线，且，由三角形的相似比可得，得，故正确；对于，设，则，关于准线对称，故，点横坐标为，不妨设在第一象限，则点纵坐标为，故的最小值为，解得或，由，故，故不正确故答案为：18已知直线与轴交于点，为直线上异于点的动点，记点的横坐标为，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（用区间表示）解：由题意知，设直线的方程为，若在第一象限，由，知，当与椭圆相切时，取得最大值，联立，得，解得或（舍负）；若在第二象限，由，知，当与椭圆相切时，取得最小值，联立，得，解得或（舍正）综上所述，故答案为：