2022年高三数学小题压轴题专练7：基本不等式（含答案解析）

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1、小题压轴题专练7基本不等式1、 单选题1若，且，则的最小值为A2BCD解：（法一）可变形为，所以，当且仅当即，时取等号，（法二）原式可得，则，当且仅当，即时取“”故选：2已知，则的最大值为A1BCD2解：，则，令，则，令，即，可得，由，当且仅当，时上式取得等号，可得，则的最大值为，故选：3若正实数、满足，则的最小值是ABCD解：设，则，即，且则，当且仅当时，即，时，等号成立，故选：4设，为正数，且，则的最小值为ABCD解：，即，当且仅当，即时等号成立，当时，取得最小值故选：5对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为ABCD2解：，由柯西不等式得，故当最大时，有，时，取得最小值为故选：6已

2、知，则的最小值为A2B4C6D16解：令，则原式当且仅当时取等号故选：7已知直线的方程为，点在上位于第一象限内的点，则的最小值为ABCD解：直线的方程为，点在上位于第一象限内的点，可得，可得，则，当且仅当时，即，上式取得最小值，故选：8已知，则的最小值是ABCD解：由，得，解得且，当时，当且仅当即时取等号；当时，当且仅当即时取等号综上可得，最小值故选：9已知正实数，满足，则当取得最大值时，的最大值为A3BC1D0解：由，可得，当且仅当时，即当时，等号成立，此时，所以，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为1故选：10若，则的最小值为ABCD7解：由，可得，得，由于，则，所以，当且仅当时，即当时

3、，等号成立，因此，的最小值为7，故选：11已知，且，则的最小值为ABCD解法一：，且，（a），（a）当且仅当时取等号，故的最小值为故选：解法二：，且，（a），（a），令（a），得，（a）单调递增，令（a），得，（a）单调递减，当且仅当时函数（a）取得极小值即最小值，故选：12已知，则的最小值为AB9CD10解：根据题意，则，变形可得：，又由，则有：，设，又由，则，则有，解可得或，又由，则，则的最小值为9；故选：13已知，若则当取得最小值时，A2B4C6D8解：，若则，解得则，令，解得，可得，时，取得最小值时，故选：14已知，不等式对于一切实数恒成立，又存在，使成立，则的最小值为ABCD解：由题

4、意，不等式对于一切实数恒成立，可得，即；存在，使成立，则，即，消去，即当且仅当取等号故选：15设，则的最小值是A4B5CD8解：，当且仅当，时等号成立，故选：16已知实数，满足，则的最大值是AB2CD3解：实数，满足，令，则，其最大值是，故选：2、 多选题17在中，三边长分别为，且，则下列结论正确的是ABCD解：对于，即，也就是，中，则成立，故正确；对于，当时，不等式取“”，此时，即，得，故正确；对于，故正确；对于，边长为1，2，2的三角形，满足，当，故错误故选：18已知，且，则的值不可能是A7B8C9D10解：因为，且，所以因为，所以，所以，因为，综上，所以的值不可能是7，8，10故选：19

5、已知，若，且，则下列结论正确的是ABC的最大值为1D的最小值为解：由，可得：，即由，得，化为：，代入，即即，化为：，解得的最小值为，同理可得的最大值为1，故选项正确，错误，故选：20已知，且，那么下列不等式中，恒成立的有ABCD解：对于，且，当且仅当时，等号成立，即选项正确；对于，令，则，在，上单调递减，即选项错误；对于，当且仅当，即时，等号成立，即选项错误；对于，即选项正确故选：3、 填空题21已知，且，则的最大值为，最小值为解：，且，即且，当且仅当时取“ “，当且仅当时取“ “，即，解得：，当且仅当时取“ “，又，当或时取“ “，解得：，当且仅当或时取“ “，故答案为：，22设、是三个正实

6、数，且，则的最大值为3解：，解法一：设，则，；，当且仅当时成立；的最大值为3解法二：由，得，；设，则，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为3故答案为：323若，则的最小值为1；最大值为解：若，则，有基本不等式，（当且仅当，时“”成立），得，又由，得，令，则，令，则，则，令，得或（舍去），当，时，当，函数，在区间当，上单调递增，在区间当，上单调递减，当时，有最大值，最大值是：，又因为，当时，当时，所以，的最小值为：1故答案为：1；24设实数，满足：，则的取值范围为，解：由，可得，由，可得，即有，则，当且仅当取得最小值1；设（a），可得（a）的对称轴为，而，（a）在递增，当时，可得取得最大值；当，且时，由（1），则取得最大值，由，可得时，（b）取得最大值0，则（a），所以，综上可得，的取值范围是，故答案为：，25已知，则的最大值是解：，则，可令，可得，则，由在递增，可得，可得，当且仅当时，上式取得等号，则的最大值是，故答案为：26已知、为正实数，则代数式的最小值是解：令，则，所以代数式当且仅当，即时，等号成立故答案为：27已知实数，满足且，若，则的最小值是解：根据题意，则，又由，则，当且仅当时等号成立，即的最小值为；故答案为：