江苏省盐城市盐都区2021-2022学年九年级上期末质量检测数学试卷（含答案解析）

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1、2021-2022 学年江苏省盐城市盐都区九年级学年江苏省盐城市盐都区九年级上上期末数学试卷期末数学试卷 一、选择题本大题共有一、选择题本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸相应位置上）题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸相应位置上） 1一元二次方程 x2250 的解为（ ） Ax1x25 Bx15，x25 Cx1x25 Dx1x225 2已知点 P 在半径为 8 的O 外，则（ ） AOP8 BOP8 COP8 DOP

2、8 3对于二次函数 y（x1）2+2 的图象，下列说法正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是 x1 C顶点坐标是（1，2） D当 x1 时，y 随 x 增大而减小 4如图，DABCAE，请你再添加一个条件，使得ADEABC则下列选项不成立的是（ ） ADB BEC C D 5已知 x1与 x2分别为方程 x2+2x30 的两根，则 x1+x2的值等于（ ） A2 B2 C D 6如图，在O 中，AOB40，则COD 的度数（ ） A20 B40 C50 D60 7冉冉的妈妈在网上销售装饰品最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15关于这组数据，冉冉得出如下结

3、果，其中错误的是（ ） A众数是 11 B平均数是 12 C中位数是 13 D方差是 8将抛物线 yx22x+3 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到的抛物线必定经过（ ） A（2，2） B（1，1） C（0，6） D（1，3） 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.不需写出解答过程，请将答案直接写在、答题不需写出解答过程，请将答案直接写在、答题纸纸相应位直上）相应位直上） 9甲、乙两地的实际距离是 30 千米，在比例尺为 1：500000 的地图上，甲乙两地的距离是 厘米 10已知关于 x 的二次函数 y（x3）

4、2+5，则函数值 y 的最小值是 11在一个不透明的盒子里装有 5 个黑色棋子和若干白棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 12如图，四边形 ABCD 内接于O 中，若B130，则AOC 13圆锥的母线长为 7cm，侧面积为 21cm2，则圆锥的底面圆半径 r cm 14九章算术是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种 书中有下列问题： “今有邑方不知大小， 各中开门 出北门八十步有木， 出西门二百四十五步见木 问邑方有几何？”意思是：如图，点 M、点 N 分别是正方形 ABCD 的边 AD、AB 的中点

5、，MEAD，NFAB，EF 过点 A，且 ME80 步，NF245 步，已知每步约 40 厘米，则正方形的边长约为 米 15如图，抛物线 yax2+c 与直线 ykx+b 交于 A（1，m），B（2，n）两点，则不等式 ax2kx+cb的解集是 16如图，AB 是半圆的直径，C 为半圆的中点，A（4，0），B（0，2），反比例函数的图象经过点 C，则 k 的值为 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 11 小题，共小题，共 102 分分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）过程或演算步骤） 17用适当的

6、方法解下列方程 （1）x22x20； （2）3x（x2）x2 18如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心，将OAB 放大到原来的 2 倍后得到OAB，其中A、B 在图中格点上，点 A、B 的对应点分别为 A、B （1）在第一象限内画出OAB； （2）求OAB的面积 19如图，在正方形 ABCD 中，已知：点 A，点 B 在抛物线 y2x2上，点 C，点 D 在 x 轴上 （1）求点 A 的坐标； （2）连接 BD 交抛物线于点 P，求点 P 的坐标 20第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又

7、举办过冬奥会的城市为了考查学生对冬奥知识的了解程度，某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有 400 名学生参加活动为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整： 【收集数据】从甲、乙两校各随机抽取 20 名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下： 甲：40，60，60，70，60，80，40，90，100，60，60，100，80，60，70，60，60，90，60，60 乙：70，90，40，60，80，75，90，100，75，50，80，70，70，70，70，60，80，50，70，80 【整理、描述数据】按如表分数段整理、描述这两组样本数据： 分数（分） 4

8、0 x60 60 x80 80 x100 甲学校 2 人 12 人 6 人 乙学校 3 人 10 人 7 人 （说明：成绩中优秀为 80 x100，良好为 60 x80，合格为 40 x60） 【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如表所示： 学校 平均分 中位数 众数 甲学校 68 60 60 乙学校 71.5 70 a 【得出结论】 （1）【分析数据】中，乙学校的众数 a （2）小明同学说：“这次竞赛我得了 70 分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是 校的学生；（填“甲”或“乙”） （3）根据抽样调查结果，请估计乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的人数； （4）根据

9、以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由（从平均分、中位数、众数中至少选两个不同的角度说明推断的合理性） 21小美家将于周末进行自驾游，由于交通便利，准备将行程分为周六和周日两天进行周六的备选地点为：A盐城大洋湾、B常州淹城春秋乐园、C苏州乐园，周日的备选地点为：D常州恐龙园、E盐城荷兰花海 （1）请用画树状图或列表的方法分析并写出小美家所有可能的游玩方式（用字母表示即可）； （2）求小美家周六和周日恰好在同一城市游玩的概率 22随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆 120 元据统计，三月

10、份的全天包车数为 25 次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到 64 次 （1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； （2）从六月份起，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价 a 元，全天包车数增加 1.6a 次，当租金降价多少元时，公司将获利 8800 元？ 23如图，AB 是O 的直径，BD 切O 于点 B，C 是圆上一点，过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 于点 P，与DO 的延长线交于点 E，且 EDAC，连接 CD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 AB12，OP：AP1：2，求 PC 的长

11、 24某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件 50 元，并且每件的售价不低于进货价经过市场调查，每月的销售量 y（件）与每件的售价 x（元）之间满足如图所示的函数关系 （1）求每月的销售量 y（件）与每件的售价 x（元）之间的函数关系式； （不必写出自变量的取值范围） （2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的 30%设这种防护品每月的总利润为 w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 25如图，小丁家窗外有一堵围墙 AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点 C 射进房间地面的 D 处， 中午太阳光恰好能从窗户的最低点 E 射进房间地面的 F 处，

12、 ABBD 于点 B， CEBD 于点 O，小丁测得 OE1m，CE1.5m，OF1.2m，OD12m，求围墙 AB 的高为多少米 26如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是 RtABC 和 RtBED 边长，易知AEc，这时我们把关于 x 的形如 ax2+cx+b0 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程” 请解决下列问题： （1）当 a3，且 a、b、c 为连续自然数时，写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b0 必有实数根； （3）若 x1 是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b0 的一个根，且四边形 AC

13、DE 的周长是 6，求ABC 的面积 27 九年级学生梁梁在帮爸爸整理书橱时， 发现爸爸当年的数学书上有个相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等即：如图 1，若弦 AB、CD 交于点 P，则 PAPBPCPD梁梁思索片刻，通过连接 AC、BD，很快就证明出来了 【结论证明】 （1）请在图 1 中，根据梁梁的提示作出辅助线，并写出详细的证明过程； 【灵活运用】 （2） 如图 2， O 的弦 AB10cm， 点 P 是 AB 上一点， BP6cm， OP5cm， 则O 的半径为 cm （3） 如图 3， O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 P， 且APC45， 若 PC2

14、+PD28， 则 AB 长为 【问题解决】 （4）在平面直角坐标系中，二次函数 yx2x4 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，点 P是第四象限内抛物线上的一个动点如图 4，过 A，B，P 三点作M，过点 P 作 PEx 轴，垂足为 D，交M 于点 E点 P 在运动过程中线段 DE 的长是否变化，若有变化，求出 DE 的取值范围；若不变，求 DE 的长 参考答案参考答案 一、选择题本大题共有一、选择题本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正

15、确选项的字母代号填写在答题纸相应位置上）题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸相应位置上） 1一元二次方程 x2250 的解为（ ） Ax1x25 Bx15，x25 Cx1x25 Dx1x225 【分析】利用直接开平方法解方程得出答案 解：x2250， 则 x225， 解得：x15，x25 故选：B 2已知点 P 在半径为 8 的O 外，则（ ） AOP8 BOP8 COP8 DOP8 【分析】根据点 P 与圆 O 的位置关系即可确定 OP 的范围 解：点 P 在圆 O 的外部， 点 P 到圆心 O 的距离大于 8， 故选：A 3对于二次函数 y（x1）2+2 的图象，下列说法正确的是

16、（ ） A开口向下 B对称轴是 x1 C顶点坐标是（1，2） D当 x1 时，y 随 x 增大而减小 【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标、及增减性，则可判断四个选项，可求得答案 解：y（x1）2+2， 抛物线开口向上，故 A 不正确； 对称轴为直线 x1，故 B 正确； 顶点坐标为（1，2），故 C 不正确； 对称轴为直线 x1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，故 D 不正确； 故选：B 4如图，DABCAE，请你再添加一个条件，使得ADEABC则下列选项不成立的是（ ） ADB BEC C D 【分析】根据DABCAE，可以得到DAEBAC，然后即可判断添加各个

17、选项中的条件是否可以使得ADEABC，本题得以解决 解：DABCAE， DAB+BAECAE+BAE， DAEBAC， 当添加条件DB 时，则ADEABC，故选项 A 不符合题意； 当添加条件EC 时，则ADEABC，故选项 B 不符合题意； 当添加条件时，则ADEABC，故选项 C 不符合题意； 当添加条件时，则ADE 和ABC 不一定相似，故选项 D 符合题意； 故选：D 5已知 x1与 x2分别为方程 x2+2x30 的两根，则 x1+x2的值等于（ ） A2 B2 C D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可直接求解 解：x1与 x2分别为方程 x2+2x30 的两根， x1+x

18、22 故选：A 6如图，在O 中，AOB40，则COD 的度数（ ） A20 B40 C50 D60 【分析】首先得到，进而得到AOBCOD，即可选择正确选项 解：， ， AOBCOD， AOB40， COD40， 故选：B 7冉冉的妈妈在网上销售装饰品最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ） A众数是 11 B平均数是 12 C中位数是 13 D方差是 【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择 解：数据 11，10，11，13，11，13，

19、15 中，11 出现的次数最多是 3 次，因此众数是 11，于是 A 选项不符合题意； （11+10+11+13+11+13+15）712，即平均数是 12，于是选项 B 不符合题意； 将这 7 个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是 11，因此中位数是 11，于是 C 符合题意； S2（1012）2+（1112）23+（1312）22+（1512）2，因此方差为，于是选项D 不符合题意； 故选：C 8将抛物线 yx22x+3 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到的抛物线必定经过（ ） A（2，2） B（1，1） C（0，6） D（1，3） 【分析】直接将原函数写成顶点式，再

20、利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可 解：yx22x+3 （x2+2x）+3 （x+1）21+3 （x+1）2+4， 将抛物线 yx22x+3 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位， 得到的抛物线解析式为：yx2+2， 当 x2 时，y（2）2+24+22，故（2，2）不在此抛物线上，故 A 选项不合题意； 当 x1 时，y（1）2+21+21，故（1，1）在此抛物线上，故 B 选项符合题意； 当 x0 时，y02+20+22，故（0，6）不在此抛物线上，故 C 选项不合题意； 当 x1 时，y12+21+21，故（1，3）不在此抛

21、物线上，故 D 选项不合题意； 故选：B 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.不需写出解答过程，请将答案直接写在、答题纸不需写出解答过程，请将答案直接写在、答题纸相应位直上）相应位直上） 9甲、乙两地的实际距离是 30 千米，在比例尺为 1：500000 的地图上，甲乙两地的距离是 6 厘米 【分析】设地图上，甲乙两地的距离是 xcm，根据比例尺的定理列出方程，解之可得 解：设地图上，甲乙两地的距离是 x cm， 根据题意，得： 解得：x6， 即地图上，甲乙两地的距离是 6cm， 故答案为：6 10已知关于 x 的二次函数

22、y（x3）2+5，则函数值 y 的最小值是 5 【分析】根据二次函数的性质即可求解 解：y（x3）2+5， 当 x3 时，函数值 y 有最小值，最小值为 5， 故答案为：5 11在一个不透明的盒子里装有 5 个黑色棋子和若干白棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 10 【分析】设白色棋子的个数为 x 个，根据概率公式列出算式，求出 x 的值即可得出答案 解：设白色棋子的个数为 x 个，根据题意得： ， 解得：x10， 经检验 x10 是原方程的解， 答：白色棋子的个数为 10 个； 故答案为：10 12如图，四边形 ABCD 内接于O 中，若

23、B130，则AOC 100 【分析】根据圆内接四边形的性质求出D，再根据圆周角定理计算即可 解：四边形 ABCD 内接于O，B130， D180B50， 由圆周角定理得：AOC2D100， 故答案为： 13圆锥的母线长为 7cm，侧面积为 21cm2，则圆锥的底面圆半径 r 3 cm 【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到2r721，然后解方程即可 解：根据题意得2r721， 即得 r3， 所以圆锥的底面圆半径 r 为 3cm 故答案为 3 14九章算术是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古

24、算书）中最重要的一种 书中有下列问题： “今有邑方不知大小， 各中开门 出北门八十步有木， 出西门二百四十五步见木 问邑方有几何？”意思是：如图，点 M、点 N 分别是正方形 ABCD 的边 AD、AB 的中点，MEAD，NFAB，EF 过点 A，且 ME80 步，NF245 步，已知每步约 40 厘米，则正方形的边长约为 112 米 【分析】根据题意，可知 RtAEMRtFAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长 解：设正方形的边长为 x 步， 点 M、点 N 分别是正方形 ABCD 的边 AD、AB 的中点， AMAD，ANAB， AMAN， 由题意可得，RtAEMRtF

25、AN， ， 即 AM28024519600， 解得：AM140， AD2AM280 步2804011200 厘米112 米； 故答案为：112 15如图，抛物线 yax2+c 与直线 ykx+b 交于 A（1，m），B（2，n）两点，则不等式 ax2kx+cb的解集是 1x2 【分析】将 ax2kx+cb 化为 ax2+ckx+b，根据图象求解 解：由图象可得在 A，B 之间的图象抛物线在直线下方，点 A 横坐标为1，点 B 横坐标为 2， 1x2 时，ax2+ckx+b，即 ax2kx+cb， 故答案为：1x2 16如图，AB 是半圆的直径，C 为半圆的中点，A（4，0），B（0，2），反比

26、例函数的图象经过点 C，则 k 的值为 9 【分析】 过点 C 作 CECA， 垂足为 E， 交 AB 于点 D， 连接 CF， 证BOADFC， 推，求出 CD，DF，再根据 CEBO，ADEABO，推，进而求出 C 点坐标 解：过点 C 作 CECA，垂足为 E，交 AB 于点 D，连接 CF， CEA90， C 为半圆的中点， CFE90， A（4，0），B（0，2）， OA4，OB2， 在 RtAOB 中，根据勾股定理得 AB2， FCE+CDFBAO+ADE90， CDEEDA， FCEBA0， BOACFD， BOADFC， ， CD2.5，DF， DA， BOACEA90， CE

27、BO， ADEABO， ， DE0.5AE1， OE3，CE3， C（3，3）， 反比例函数的图象经过点 C， k9， 故答案为：9 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 11 小题，共小题，共 102 分分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）过程或演算步骤） 17用适当的方法解下列方程 （1）x22x20； （2）3x（x2）x2 【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得， 解：

28、（1）x22x20， x22x2， x22x+12+1，即（x1）23， x1， x11+，x21； （2）3x（x2）x2， 3x（x2）（x2）0， （x2）（3x1）0， 则 x20 或 3x10， 解得 x12，x2 18如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心，将OAB 放大到原来的 2 倍后得到OAB，其中A、B 在图中格点上，点 A、B 的对应点分别为 A、B （1）在第一象限内画出OAB； （2）求OAB的面积 【分析】（1）根据原点 O 为位似中心，将OAB 放大到原来的 2 倍后得到OAB，即可在第一象限内画出OAB； （2）根据网格利用割补法即可求OAB的面积 解

29、：（1）如图，OAB即为所求； （2）OAB的面积为：4624242610 19如图，在正方形 ABCD 中，已知：点 A，点 B 在抛物线 y2x2上，点 C，点 D 在 x 轴上 （1）求点 A 的坐标； （2）连接 BD 交抛物线于点 P，求点 P 的坐标 【分析】（1）根据题意设 A（a，2a），则 B（a，2a），代入抛物线的解析式即可求得 a1，得到 A（1，2）； （2）根据待定系数法求得直线 BD 的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组即可求得 P点的坐标 解：（1）由题意可设 A（a，2a），则 B（a，2a）， 点 A 在抛物线 y2x2上， 2a2a2， a1

30、 或 a0（舍去）， A（1，2）； （2）设直线 BD 的解析式 ykx+b， B（1，2），D（1，0）， ，解得， 直线 BD 为 yx+1， 由解得或， P 点的坐标为（，） 20第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市为了考查学生对冬奥知识的了解程度，某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有 400 名学生参加活动为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整： 【收集数据】从甲、乙两校各随机抽取 20 名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下： 甲：4

31、0，60，60，70，60，80，40，90，100，60，60，100，80，60，70，60，60，90，60，60 乙：70，90，40，60，80，75，90，100，75，50，80，70，70，70，70，60，80，50，70，80 【整理、描述数据】按如表分数段整理、描述这两组样本数据： 分数（分） 40 x60 60 x80 80 x100 甲学校 2 人 12 人 6 人 乙学校 3 人 10 人 7 人 （说明：成绩中优秀为 80 x100，良好为 60 x80，合格为 40 x60） 【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如表所示： 学校 平均分 中位数 众数

32、甲学校 68 60 60 乙学校 71.5 70 a 【得出结论】 （1）【分析数据】中，乙学校的众数 a 70 （2） 小明同学说： “这次竞赛我得了 70 分， 在我们学校排名属中游略偏上！ ” 由表中数据可知小明是 甲 校的学生；（填“甲”或“乙”） （3）根据抽样调查结果，请估计乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的人数； （4）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由（从平均分、中位数、众数中至少选两个不同的角度说明推断的合理性） 【分析】（1）根据众数的定义即可得出答案； （2）根据两个学校竞赛成绩的中位数进行判断即可； （3）根据乙学校成绩在 80 分及以上的人数所占

33、的百分比，估计总体的优秀所占的百分比，进而计算相应的人数即可； （4）比较两个学校的平均数、中位数的大小，进而得出结论 解：（1）乙学校竞赛得分出现次数最多的是 70 分，共出现 6 次，因此众数是 70，即 a70； 故答案为：70； （2）甲学校的中位数是 60，而乙学校的中位数是 70， 由于小明的竞赛是 70 分，在学校排名属中游略偏上，所以小明是甲学校的学生， 故答案为：甲； （3）400140（人）， 答：乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的大约有 140 人； （4）乙校，理由如下： 乙校的平均分高于甲校的平均分 21小美家将于周末进行自驾游，由于交通便利，准备将行程分为周六和周日

34、两天进行周六的备选地点为：A盐城大洋湾、B常州淹城春秋乐园、C苏州乐园，周日的备选地点为：D常州恐龙园、E盐城荷兰花海 （1）请用画树状图或列表的方法分析并写出小美家所有可能的游玩方式（用字母表示即可）； （2）求小美家周六和周日恰好在同一城市游玩的概率 【分析】（1）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数即可； （2）根据（1）求得所有情况与符合条件的情况，求其比值即可 解：（1）根据题意列表如下： A B C D AD BD CD E AE BE CE 小美家所有可能选择游玩的方式有：（A，D），（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）； （2）小美家周六和周日恰好在同一

35、城市游玩的有（A，E），（B，D）两种， 则小美家恰好在同一城市游玩的概率 22随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆 120 元据统计，三月份的全天包车数为 25 次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到 64 次 （1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； （2）从六月份起，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价 a 元，全天包车数增加 1.6a 次，当租金降价多少元时，公司将获利 8800 元？ 【分析】（1）设全天包

36、车数的月平均增长率为 x，则四月份的全天包车数为：25（1+x）；五月份的全天包车数为：25（1+x）2，又知五月份的全天包车数为：64 次，由此等量关系列出方程，求出 x 的值即可； （2）每辆全天包车的租金全天包车数量8800 列出方程，求解即可 解：（1）设全天包车数的月平均增长率为 x， 根据题意可得：25（1+x）264， 解得：x10.660%，x22.6（不合题意舍去）， 答：全天包车数的月平均增长率为 60%； （2）根据题意可得：（120a）（64+1.6a）8800， 化简得：a280a+7000， 解得：a110，a270 答：当租金降价 10 元或 70 元时，公司将获

37、利 8800 元 23如图，AB 是O 的直径，BD 切O 于点 B，C 是圆上一点，过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 于点 P，与DO 的延长线交于点 E，且 EDAC，连接 CD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 AB12，OP：AP1：2，求 PC 的长 【分析】（1）连接 OC，证明BODCOD，可得OCDOBD90，进而可得 CD 是O 的切线； （2）根据 AB12，OP：AP1：2，可得 OP2，AP4，再根据勾股定理即可求 PC 的长 【解答】（1）证明：如图，连接 OC， BD 切O 于点 B， OBD90， OAOC， OACOCA， EDAC， BODOAC

38、，CODOCA， BODCOD， 在BOD 和COD 中， ， BODCOD（SAS）， OCDOBD90， CD 是O 的切线； （2）解：AB12，AB 是O 的直径， OBOA6， OP：AP1：2， OP2，AP4， APC90，OC6， PC4 24某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件 50 元，并且每件的售价不低于进货价经过市场调查，每月的销售量 y（件）与每件的售价 x（元）之间满足如图所示的函数关系 （1）求每月的销售量 y（件）与每件的售价 x（元）之间的函数关系式； （不必写出自变量的取值范围） （2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的 30%设这种防护

39、品每月的总利润为 w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】（1）由图象可知每月销售量 y（件）与售价 x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为ykx+b（k0，x50），用待定系数法求解即可； （2）由题意得 w 关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案 解： （1）由图象可知每月销售量 y（件）与售价 x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为 ykx+b（k0，x50）， 将（60，600），（80，400）代入，得： 解得：， 每月销售 y（件）与售价 x（元）的函数关系式为 y10 x+1200； （2）由题意得： w（10

40、x+1200）（x50） 10 x2+1700 x60000 10（x85）2+12250， 100， 当 x85 时，w 随 x 的增大而增大， 该防护品的每件利润不允许高于进货价的 30%， x50（1+30%），即 x65， 当 x65 时，w 取得最大值：最大值10（6585）2+122508250 售价定为 65 元可获得最大利润，最大利润是 8250 元 25如图，小丁家窗外有一堵围墙 AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点 C 射进房间地面的 D 处， 中午太阳光恰好能从窗户的最低点 E 射进房间地面的 F 处， ABBD 于点 B， CEBD 于点 O，小丁测得 O

41、E1m，CE1.5m，OF1.2m，OD12m，求围墙 AB 的高为多少米 【分析】根据垂直的定义得到FOE90，推出 ABEO，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论 解：EOBF， FOE90， ABBF，COBF， ABEO， ABDCOD，ABFEOF， ， OE1m，CE1.5m，OF1.2m，OD12m， ， 解得：AB3 答：围墙 AB 的高度是 3m 26如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是 RtABC 和 RtBED 边长，易知AEc，这时我们把关于 x 的形如 ax2+cx+b0 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程” 请解决下列问题： （

42、1）当 a3，且 a、b、c 为连续自然数时，写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b0 必有实数根； （3）若 x1 是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b0 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是 6，求ABC 的面积 【分析】（1）根据题意得出 a3，b4，c5，然后得出“勾系一元二次方程”即可； （2）根据题意得出方程的值0 即可； （3）根据题意得出 ab 的值，再根据面积公式求值即可 解：（1）当 a3，b4，c5 时， 则“勾系一元二次方程”为：3x2+5x+40； （2）根据题意得（c）24ac2c24ab， a2+b2c2，

43、 2c24ab2（a2+b2）4ab2（ab）20， 即0， “勾系一元二次方程”ax2+cx+b0 必有实数根； （3）当 x1 时，有 ac+b0， 即 a+bc， 2a+2b+c6， 即 2（a+b）+c6， 3c6， c2， a2+b2c24，a+b2， （a+b）2a2+b2+2ab， ab2， SABCab1 27 九年级学生梁梁在帮爸爸整理书橱时， 发现爸爸当年的数学书上有个相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等即：如图 1，若弦 AB、CD 交于点 P，则 PAPBPCPD梁梁思索片刻，通过连接 AC、BD，很快就证明出来了 【结论证明】 （1）请在图 1

44、 中，根据梁梁的提示作出辅助线，并写出详细的证明过程； 【灵活运用】 （2） 如图 2， O 的弦 AB10cm， 点 P 是 AB 上一点， BP6cm， OP5cm， 则O 的半径为 7 cm （3） 如图 3， O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 P， 且APC45， 若 PC2+PD28， 则 AB 长为 4 【问题解决】 （4）在平面直角坐标系中，二次函数 yx2x4 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，点 P是第四象限内抛物线上的一个动点如图 4，过 A，B，P 三点作M，过点 P 作 PEx 轴，垂足为 D，交M 于点 E点 P 在运动过程中线段 DE 的

45、长是否变化，若有变化，求出 DE 的取值范围；若不变，求 DE 的长 【分析】（1）连接 AC，BD，证明APCDPB，即可求解； （2） 连接 OA， 过点 O 作 OEAB 交于 E 点， 在 RtOEP 中， OE2cm， 在 RtOAE 中， OA7cm，OA 即为半径； （3）过点 O 作 OGCD 交于 G，连接 OC，由垂径定理可得，CGDG，则有（CG+GP）2+（CGGP）28，求出 CO2，即可求 AB4； （4） 设 P （m，m2m4） ，求出 D （m，0） ，由相交弦定理可得 PDDEADDB，即可求 DE2，所以 DE 为定值 【解答】证明：（1）连接 AC，BD

46、，如图 1， 由同弧所对的圆周角相等， CB，AD， APCDPB， AP：DPCP：BP， APBPCPDP； （2）如图 2，连接 OA，过点 O 作 OEAB 交于 E 点， AB10cm， AE5cm， BP6cm， AP4cm， EP1cm， OP5cm， 在 RtOEP 中，OE2cm， 在 RtOAE 中，OA7cm， O 的半径为 7cm， 故答案为：7； （3）如图 3，过点 O 作 OGCD 交于 G，连接 OC， APC45， OGPG， 由垂径定理可得，CGDG， PCCG+GP，DPCGGP， PC2+PD28， （CG+GP）2+（CGGP）28， 2CG2+2GP28， CG2+GO24， CO24， CO2， AB4， 故答案为：4； （4）点 P 在运动过程中线段 DE 的长不变，理由如下： 令 y0，则x2x40， x4 或 x2， A（2，0），B（4，0）， 令 x0，则 y4， C（0，4）， 设 P（m，m2m4）， PEx 轴， D（m，0）， ADm+2，BD4m，PD（m2m4）m2+m+4， PDDEADDB， DE2， DE 是定值 2， 点 P 在运动过程中线段 DE 的长不变，是定值 2