2022年中考数学复习专题30:不等式的解法与基本不等式(含答案解析)
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1、2022年中考数学复习专题30:不等式的解法与基本不等式一、不等式的解法【一】一元二次不等式的解法 1.例题【例1】已知集合Ax|x2x20,By|y2x,则AB等于()A.(1,2) B.(2,1)C.(0,1) D.(0,2)【答案】D【解析】由题意得Ax|x2x20x|1x0, ABx|0x2(0,2).故选D.【例2】解关于x的不等式ax2(a1)x10).【解析】原不等式变为(ax1)(x1)0,所以(x1)1时,解为x1;当a1时,解集为;当0a1时,解为1x.综上,当0a1时,不等式的解集为.【例3】 已知不等式ax2bx10的解集是,则不等式x2bxa0的解集是_【答案】x|x
2、3或x2【解析】由题意,知,是方程ax2bx10的两个根,且a0,所以解得即不等式x2bxa0为x25x60,解得x3或x2.【例4】(1)已知函数f(x)mx2mx1.若对于xR,f(x)0恒成立,求实数m的取值范围.(2)已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3,f(x)5m恒成立,求实数m的取值范围.(3)若mx2mx10对于m1,2恒成立,求实数x的取值范围.【解析】(1)当m0时,f(x)10恒成立.当m0时,则即4m0.综上,4m0,故m的取值范围是(4,0.(2)要使f(x)m5在x1,3上恒成立,即m2m60时,g(x)在1,3上是增函数,所以g(x)maxg(3),即7m
3、60,所以m,所以0m;当m0时,60恒成立;当m0时,g(x)在1,3上是减函数,所以g(x)maxg(1),即m60,所以m6,所以m0,又因为m(x2x1)60, 所以m.因为函数y在1,3上的最小值为,所以只需m 即可. 所以m的取值范围是.(3)设g(m)mx2mx1(x2x)m1,其图像是直线,当m1,2时,图像为一条线段,则即解得x3.【解析】(1)不等式两边同乘以1,原不等式可化为x22x30.方程x22x30的解为x13,x21.而yx22x3的图象开口向上,可得原不等式x22x30的解集是x|3x1(2)由题意或解得x1.故原不等式的解集为x|x1【练习2】解关于x的不等式
4、12x2axa2(aR)【解析】因为12x2axa2,所以12x2axa20,即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0,解得x1,x2.当a0时,0,解集为x|xR,且x0;当a,解集为.综上所述:当a0时,不等式的解集为;当a0时,不等式的解集为x|xR,且x0;当a0时,不等式的解集为.【练习3】已知不等式ax23x64的解集为x|x1或xb(1)求a,b;(2)解不等式0(c为常数)【解析】(1)由题知1,b为方程ax23x20的两根,即所以a1,b2.(2)不等式等价于(xc)(x2)0,当c2时,解集为x|xc或x2;当c2时,解集为x|x2或xc;当c2时,解集为x|x2
5、【二】分式不等式的解法 分式不等式(1)将分母含有的表达式称为分式,即为的形式(2)分式若成立,则必须满足分母不为零,即 (3)对形如的不等式,可根据符号特征得到只需 同号即可,所以将分式不等式转化为 (化商为积),进而转化为整式不等式求解1.例题【例1】 解不等式:【解析】解法1:化为两个不等式组来解:x或,原不等式的解集是解法2:类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理;或者因为两个数(式)相除异号,那么这两个数(式)相乘也异号,可将分式不等式直接转化为整式不等式求解,原不等式的解集是.【例2】解不等式解:原不等式可化为:,所以原不等式的解集为说明:转化
6、为整式不等式时,一定要先将右端变为02.巩固提升综合练习【练习1】解下列不等式:(1) (2) 【解析】(1)原不等式可化为:,所以原不等式的解集为(2) ,原不等式可化为:,所以原不等式的解集为【练习2】解不等式:(1) (2) (3)【解析】(1)或 不等式的解集为 (2) 不等式的解集为 (3)思路:观察发现分母很成立,所以考虑直接去分母,不等号的方向也不会改变,这样直接就化为整式不等式求解了解: 不等式的解集为 【名师点睛】分式不等式在分母符号不定的情况下,千万不要用去分母的方式变形不等式(涉及到不等号方向是否改变),通常是通过移项,通分,将其转化为再进行求解 二、基本不等式运用基本不
7、等式求最值,把握三个条件(易错点)(1)“一正”各项为正数;(2)“二定”“和”或“积”为定值;(3)“三相等”等号一定能取到【一】配凑型 1.例题【例1】(1)已知0x0时,y,当且仅当等号成立,即x5时,ymax.【练习2】已知,则的最小值为()ABCD【答案】A【解析】由题意知,可得:,则,当且仅当时,等号成立,则的最小值为。故选:A【二】条件型 1.例题【例1】(1)已知正数、满足,则的最小值为( )A8B12C10D9(2)已知,当时,不等式恒成立,则的取值范围是( )ABCD【答案】(1)D (2)B【解析】(1)正数、满足,根据不等式性质得到:等号成立的条件为 故答案为:D.(2
8、)因为,所以.因为不等式恒成立,所以,整理得,解得,即.2.巩固提升综合练习【练习1】已知正实数,满足,则的最小值为( )A4B6C9D10【答案】C【解析】,当且仅当时,即时取“=”. 故答案选C【练习2】已知,且,若不等式恒成立,则实数的范围是( )ABCD【答案】D【解析】由得:,即, ,(当且仅当,即时取等号)(当且仅当时取等号)本题正确选项:【练习3】已知正数、满足,则的最小值为( )ABCD【答案】B【解析】,所以,则,所以,当且仅当,即当时,等号成立,因此,的最小值为,故选:【练习4】已知,则的最小值为()ABCD【答案】A【解析】由题意知,可得:,则,当且仅当时,等号成立,则的
9、最小值为。故选:A【三】换元型 1.例题【例1】已知,且,则的最小值为( )ABC5D9【答案】A【解析】由得,解得.所以,当且仅当,即时等号成立.故本小题选A.2.巩固提升综合练习【练习1】若正数满足,则的最大值为()ABCD【答案】B【解析】正数满足,解得,当且仅当时,等号成立,的最大值为故选:B【练习2】已知正实数a,b满足a2b40,则u的最小值为_【答案】【解析】a2b40,ba24,aba2a4.又a,b0,u3333 【四】实际应用 1.例题【例1】某工厂建造一个无盖的长方体贮水池,其容积为,深度为.如果池底每的造价为150元,池壁每的造价为120元,要使水池总造价最低,那么水池
10、底部的周长为_.【答案】160【解析】设水池底面一边的长度为,则另一边的长度为,由题意可得水池总造价,则,当且仅当,即时,有最小值297600,此时另一边的长度为,因此,当水池的底面周长为时,水池的总造价最低,最低总造价是元,故答案为1602.巩固提升综合练习【练习1】某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比如果在距离车站10 km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站()A5 km处 B4 km处 C3 km处 D2 km处【解析】设仓库建在离车站x km处,则土地费用y1(k10
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