2022年中考数学复习专题26:平面向量(含答案解析)
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1、 2022年中考数学复习专题26:平面向量【一】向量的概念1.向量有关概念:(1)向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模(2)零向量:长度等于0的向量,其方向是任意的(3)单位向量:长度等于1个单位的向量(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量2.有关平面向量概念易错点:(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量解题时,不要把它与函数图象的移动混淆(4)非零
2、向量与的关系:是与同方向的单位向量,是与反方向的单位向量(5)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合,易忽视重合这一条件1.例题【例1】给出下列结论:数轴上相等的向量,它们的坐标相等;反之,若数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量相等;对于任何一个实数,数轴上存在一个确定的点与之对应;数轴上向量的坐标是一个实数,实数的绝对值为线段AB的长度,若起点指向终点的方向与数轴同方向,则这个实数取正数,反之取负数;数轴上起点和终点重合的向量是零向量,它的方向不确定,它的坐标是0.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4【
3、答案】D【解析】向量相等,则它们的坐标相等,坐标相等,则向量相等,正确;实数和数轴上的点是一一对应的关系,即有一个实数就有一个点跟它对应,有一个点也就有一个实数与它对应,正确;数轴用一个实数来表示向量,正负决定其方向,绝对值决定其长度,正确;数轴上零向量其起点和终点重合,方向不确定,大小为0,其坐标也为0,正确.【例2】下列命题中,正确的个数是( )单位向量都相等;模相等的两个平行向量是相等向量;若,满足且与同向,则;若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合;若,则A0个B1个C2个D3个【答案】A【解析】对于,单位向量的大小相等,但方向不一定相同,故错误;对于,模相等的两个平行向量是相等向
4、量或相反向量,故错误;对于,向量是有方向的量,不能比较大小,故错误;对于,向量是可以自由平移的矢量,当两个向量相等时,它们的起点和终点不一定相同,故错误;对于,时,则与不一定平行综上,以上正确的命题个数是02.巩固提升综合练习【练习1】给出下列命题:若则;若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;的充要条件是且;若,则;其中正确命题的序号是 .【答案】【解析】正确ab,a,b的长度相等且方向相同,又bc,b,c的长度相等且方向相同,a,c的长度相等且方向相同,故ac.正确,且,又A,B,C,D是不共线的四点,四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平
5、行四边形,则且,因此,.不正确当ab且方向相反时,即使|a|b|,也不能得到ab,故|a|b|且ab不是ab的充要条件,而是必要不充分条件不正确考虑b0这种特殊情况综上所述,正确命题的序号是.【二】平面向量的线性表示1.平面向量的线性运算技巧:(1)不含图形的情况:可直接运用平行四边形法则和三角形法则求解;(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路:(1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置;(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形
6、式;(3)比较、观察可知所求.3.两个重要结论:(1)位线段的中点;(2)为的重心.4.关于平面向量的线性运算的考查,命题角度主要有两个:一是平面向量的线性运算,二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意:(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解1.例题【例1】在中,为边上的中线,为的中点,则( )A. B. C. D. 【解析】根据向量的运算法则,可得 ,所以,故选A.【例2】在梯形ABCD中,3,则等于(
7、)A B C. D【解析】在线段AB上取点E,使BEDC,连接DE,则四边形BCDE为平行四边形,则;故选D.【例3】已知A,B,C为圆O上的三点,若则与的夹角为_【解析】由可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即BAC90,故与的夹角为90.2.巩固提升综合练习【练习1】在正方形中,为的中点,若,则的值为( )ABCD1【答案】B【解析】由题得,.故选:B【练习2】已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是ABC的重心,动点P满足:,则P一定为ABC的()A重心 BAB边中线的三等分点(非重心)CAB边中线的中点 DAB边的中点【解析】如图所示:设AB的中点是E,O是三角形ABC的重心,2,
8、P在AB边的中线上,是中线的三等分点,不是重心,故选B.【练习3】如图,在平面四边形ABCD中,若点E为边CD上的动点,则的最小值为 ( )A.B.C.D.【答案】A【解析】连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形,而,所以为等边三角形,.设=所以当时,上式取最小值 ,选A.【三】向量共线的应用1.共线向量定理:向量()与共线,当且仅当有唯一一个实数,使得2.平面向量共线定理的三个应用:3.求解向量共线问题的注意事项:(1)向量共线的充要条件中,当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,注意待定系数法和方程思想的运用;(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量
9、共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线;(3)直线的向量式参数方程:三点共线(为平面内任一点,)1.例题【例1】设两个非零向量与不共线(1)若,求证:三点共线;(2)试确定实数,使和共线【答案】(1)见解析;(2)k1.【解析】(1)证明:ab,2a8b,3(ab),2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5,共线又它们有公共点B,A,B,D三点共线(2)假设kab与akb共线,则存在实数,使kab(akb),即(k)a(k1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,kk10.消去,得k210,k1.【例2】已知点,则与向量的方向相反的单位向量是( )A.B.C
10、.D.【解析】,向量的方向相反的单位向量为,2.巩固提升综合练习【练习1】设P是ABC所在平面内的一点,且2,则PAB与PBC的面积的比值是()A. B. C. D.【解析】因为2,所以,又PAB在边PA上的高与PBC在边PC上的高相等,所以.【练习2】设向量,不平行,向量与平行,则实数_【解析】因为向量与平行,所以,则所以【四】平面向量基本定理及应用1.平面向量基本定理:如果是一平面内的两个不共线向量,那么对于这个平面内任意向量,有且只有一对实数,使.其中,不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2.平面向量基本定理的实质及解题思路:(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行
11、四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算;(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决1.例题【例1】如图所示,矩形的对角线相交于点,为的中点,若,则等于( )ABCD【答案】A【解析】由平面向量基本定理,化简,所以,即,【例2】在中,点满足,当点在射线(不含点)上移动时,若,则 的 取值范围为_【答案】【解析】因为点在射线(不含点)上,设,又,所以,所以 , ,故的取值范围. 2.巩固提升综合练习【练习1】如图,在平行四边形ABCD中,E和F分别在边CD和BC上,且3 ,3 ,若mn,其中m,nR,则mn_.
12、【解析】由题设可得,又mn,故mmnn(mn)(mn),而(),故mn. 故应填答案.【练习2】如图,在中,是的中点,在边上,与交于点.若,则的值是_.【解析】如图,过点D作DF/CE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC中点,知BF=FE=EA,AO=OD.,得即故.【五】平面向量的坐标运算1.平面向量的坐标运算:(1)若,则;(2)若,则;(3)设,则,.2.平面向量坐标运算的技巧:(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标(2)解
13、题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解1.例题【例1】已知向量,则( )A B2 C5 D50【答案】A【解析】由已知,所以,故选A【例2】在平面直角坐标系中,向量n(2,0),将向量n绕点O按逆时针方向旋转后得向量m,若向量a满足|amn|1,则|a|的最大值是()A21 B21 C3 D.1【解析】由题意得m(1,)设a(x,y),则amn(x3,y),|amn|2(x3)2(y)21,而(x,y)表示圆心为(3,)的圆上的点,求|a|的最大值,即求该圆上点到原点的距离的最大值,最大值为21.【例3】在平面直角坐标系中,O为原点,A(1,0),B(0,),
14、C(3,0),动点D满足|1,则|的取值范围是()A4,6B1,1 C2,2 D1,1【解析】法一:设出点D的坐标,利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解设D(x,y),则由|1,C(3,0),得(x3)2y21.又(x1,y),|.|的几何意义为点P(1,)与圆(x3)2y21上点之间的距离,由|PC|知,|的最大值是1,最小值是1.故选D.法二:根据向量的平行四边形法则及减法法则的几何意义,模的几何意义求解如图,设M(1,),则,取N(1,),.由|1,可知点D在以C为圆心,半径r1的圆上,|,|max|11,|min1.2.巩固提升综合练习【练习1】在矩形ABCD中,AB1,AD2
15、,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若,则的最大值为()A3B2C. D2【解析】如图所示,建立平面直角坐标系:设A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),P(x,y),根据等面积公式可得圆的半径r,即圆C的方程是(x2)2y2,(x,y1),(0,1),(2,0),若满足,即,1y,所以y1,设zy1,即y1z0,点P(x,y)在圆(x2)2y2上,所以圆心到直线的距离dr,即,解得1z3,所以z的最大值是3,即的最大值是3.【练习2】如图,正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若,则()A2 B. C. D.【解析】法一如图以AB,AD为坐标轴建立平面直角坐标系
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