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1、2022年中考数学复习专题16:函数中恒成立与存在性问题函数中恒成立问题【一】分离参数法利用分离参数法来确定不等式,( ,为实参数)恒成立中参数的取值范围的基本步骤:将参数与变量分离,即化为(或)恒成立的形式;求在上的最大(或最小)值;解不等式(或) ,得的取值范围.【例1】不等式对任意恒成立,则实数的取值范围( )ABCD【解析】对恒成立,即对恒成立,从而求,的最小值,而故即当时,等号成立,方程在内有根,故,所以,故选D.【例2】已知函数的图象在点(为自然对数的底数)处的切线的斜率为(1)求实数的值;(2)若对任意成立,求实数的取值范围.【解析】(1),又的图象在点处的切线的斜率为,即,;(
2、2)由(1)知,对任意成立对任意成立, 令,则问题转化为求的最大值,令,解得, 当时,在上是增函数;当时,在上是减函数 故在处取得最大值,即为所求. 2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数,其中且,(1)若,且时,的最小值是2,求实数的值;(2)若,且时,有恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1),易证在上单调递减,在上单调递增,且,当时,由,解得(舍去)当时,由,解得.综上知实数的值是.(2)恒成立,即恒成立,.又,恒成立,.令,.故实数的取值范围为.【练习2】若,恒成立,则的最大值为( )ABCD【答案】C【解析】设,则,原不等式等价于恒成立,设是单调递增的,零点为
3、,函数y的最小值为1,故,零点是 在上单调递增,故,故.故选C.【练习3】已知,设函数若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为( )ABCD【答案】C【解析】,即,当时,当时,故当时,在上恒成立;若在上恒成立,即在上恒成立,令,则,当函数单增,当函数单减,故,所以.当时,在上恒成立;综上可知,的取值范围是,故选C.【二】函数性质法利用函数性质求解恒成立问题,常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值。因含有参数,大多要分类讨论. xD,均有f(x)A恒成立,则f(x)minA; xD,均有f(x)A恒成立,则 f(x)maxg(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) 0, F(x)m
4、in 0; xD,均有f(x)g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) 0, F(x) max g(x2)恒成立,则f(x)min g(x)max; x1D, x2E,均有f(x1) g(x2)恒成立,则f(x) max g(x) min.1.例题【例1】定义域为的函数满足,当时,若当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】因为当时,不等式恒成立,所以,当时, 当时,当时, ,因此当时,选B.【例2】若对,且,都有,则的取值范围是( )注:( 为自然对数的底数,即)ABCD【答案】C【解析】因为对于,定义域为 ,所以当满足时,成立化简可得,移项合并后可得,
5、即因为,所以可等价于即满足为减函数,因为为减函数,所以,即,则 ,因为对,且,都有所以 ,即的取值范围为,故选C.【例3】已知函数,对任意x1,),当恒成立时实数m的最大值为1,则实数a的取值范围是 【解析】对任意x1,),有f(x)mx恒成立,即恒成立,即,又当f(x)mx恒成立时实数m的最大值为1,所以.因为所以问题等价转化为在上恒成立,即在上恒成立.设(),当时,因为,所以,因此在上是单调递增函数,所以,即在上恒成立;当时,在上,有;在上,有,所以在上为单调递减函数,在上为单调递增函数.当,有,即在上不恒成立.综合得:实数的取值范围是.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数,当时,不等式
6、恒成立,则实数的取值范围为( )A B C D【答案】D【解析】因为所以即,即当时,恒成立,所以在内是一个增函数,设,则有即 ,设则有,当时,即,当时,即所以当时,最小,即 ,故选D.【练习2】已知定义在上的偶函数在上递减,若不等式对恒成立,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】由题设可得,则原不等式可化为,即,也即在上恒成立,由于,因此,令,则,所以当时,函数单调递减,因,故函数在上单调递减,故,当时,函数,所以,应选答案D.【练习3】若,满足恒成立,则实数的取值范围为_【答案】【解析】(1),显然成立;(2)时,由 ,由在为增 在恒成立,由在为增,综上,故答案为.【三】数形结合
7、法对于参数不能单独放在一侧的,即不能用分离参数法解决问题时,可以利用函数图象来解:利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.(1)对于一次函数有: (2) 对于二次函数,上恒成立;上恒成立.1.例题【例1】已知函数,在恒有,求实数的取值范围.【解析】令,则对恒成立,而是开口向上的抛物线.当图象与x轴无交点满足,即,解得.当图象与x轴有交点,且在时,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得: ,解得,故由知.【例2】已知函数f(x)若对于tR,f(t)kt恒成立,则实数k的取值范围是_【答案】
8、,1【解析】令yx32x2x,x0,即(x1)(3x1)0,解得x1.又因为x1,所以x.令y0,得x1,所以y的增区间是(,),减区间是(,1),所以y极大值.根据图像变换可作出函数y|x32x2x|,x1的图像又设函数ylnx(x1)的图像经过原点的切线斜率为k1,切点(x1,lnx1),因为y,所以k1,解得x1e,所以k1.函数yx32x2x在原点处的切线斜率k21.因为tR,f(t)kt,所以根据f(x)的图像,数形结合可得k1.2.巩固提升综合练习【练习1】已知定义在上的奇函数满足:当时,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是( )A BC. D【答案】A【解析】当时,在上是
9、增函数对任意实数恒成立对任意实数恒成立,结合二次函数图象可得,故选A.【练习2】若不等式对任意恒成立,实数x的取值范围是 . 【答案】【解析】可转化为,设,则是关于m的一次型函数,要使恒成立,只需,解得.【练习3】已知函数 若不等式对任意上恒成立,则实数的取值范围为( )ABCD【答案】C【解析】由题意得:设,易得,可得,与x轴的交点为,当,由不等式对任意上恒成立,可得临界值时,相切,此时,可得,可得切线斜率为2,可得切点坐标(3,3),可得切线方程:,切线与x轴的交点为,可得此时,综合函数图像可得;同理,当,由相切,(1)当,可得,可得切线斜率为-2,可得切点坐标(1,3),可得切线方程,可
10、得,综合函数图像可得,(2)当,相切,可得,此时可得可得切线斜率为-2,可得切点坐标,可得切线方程:,可得切线与x轴的交点为,可得此时,综合函数图像可得,综上所述可得,故选C.函数中存在性问题. ,使得成立,则;. ,使得成立,则 ;. ,使得成立,设, ;. ,使得成立,设,;. , , 使得成立,则;. , ,均使得成立,则., ,均使得成立,则.(其中、 )1.例题【例1】 已知函数f(x)x,若存在x,使得f(x)2,则实数a的取值范围是_【答案】 (1,5)【解析】解法1 当x1,2时,f(x)2,等价于|x3ax|2,即2x3ax2,即x32axx32,得到x2ax2,即minam
11、ax,得到1a5.解法2 原问题可转化为先求:对任意x1,2,使得f(x)2时,实数a的取值范围则有x|x2a|2,即|ax2|.(1) 当a4时,ax2225,得到a5.(2) 当a1时,x2a,有ax211,得到a1.(3) 当1a0矛盾那么有a1或a5,故原题答案为1a0,x0.(1) 对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;(2) 对任意,任意,都有恒成立,求实数的取值范围;(3) 对任意,存在,使成立,求实数的取值范围;(4) 存在,任意,使成立,求实数的取值范围【解答】(1) 因为对任意x1,2,都有f (x)g(x)恒成立,即对任意x1,2,x22ax1恒成立,所以a0,所以(x)
12、min(1),所以a0,所以实数a的取值范围是.(2)函数f (x)x22ax1(xa)21a2在区间1,2上的最小值有以下三种情况:当0a1时,f (x)minf (1)22a;当1a2时,f (x)minf (a)a22a211a2;当a2时,f (x)minf (2)54a.函数g(x)的最大值为.当0,即22a,解得0a;当1a,无解;当a2时,f (x)min54a,无解综上可知,实数a的取值范围是.(3)函数f (x)x22ax1(xa)21a2在区间1,2上的最小值有以下三种情况:当0a1时,f (x)minf (1)22a;当1a2时, f (x)minf (a)a22a211
13、a2;当a2时,f (x)minf (2)54a.函数g(x)的最小值为当0,即22a,解得0a;当1a,无解;当a2时,f (x)min54a,无解综上可知,实数a的取值范围是.(4)函数g(x)的最大值为.函数f (x)x22ax1(xa)21a2在区间1,2上的最大值有以下三种情况:当0a时,解得0a0 的图象过点 1,0若对任意的 x10,2,存在 x20,2,使得 fx1+fx232a,求 ba 的取值范围.【解析】 由题意,对任意的 x10,2,存在 x20,2,使得 fx1+fx232a .所以 fminx+fmaxx32a .因为 a+b+c=0 ,所以 fx=ax2+bx-a
14、-b ,其对称轴为 x=-b2a .当 -b2a0 时,fx 在 0,2 上单调递增,所以 fminx+fmaxx=f0+f2=-a-b+3a+b=2a32a .所以 ba0 符合题意. 当 0-b2a1 即 -2ba0 时, fx 在 0,-b2a 上递减,在 -b2a,2 上递增且 f032a 得:-2ba0 符合题意.当 1-b2a2 即 -432a 得:-4-2ba-4+2所以 -4ba32a .所以 ba-4 符合题意.综上所述:所以 ba-2 .【练习2】 已知函数 fx=12ax2-2a+1x+2lnxaR(1)若曲线 y=fx 在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行,求 a
15、的值;(2)求 fx 的单调区间;(3)设 gx=x2-2x,若对 x10,2,均存在 x20,2,使得 fx10由题意知 f1=f3,即 a-2a+1+2=3a-2a+1+23,解得 a=23(2) fx=ax-1x-2xx0 当 a0 时,因为 x0,所以 ax-10,在区间 2,+ 上,fx0,故 fx 的单调递增区间是 0,2,单调递减区间是 2,+当 0a2,在区间 0,2 和 1a,+ 上,fx0,在区间 2,1a 上 fx12 时,01a0,在区间 1a,2 上,fx0,故 fx 的单调递增区间是 0,1a 和 2,+,单调递减区间是 1a,2(3) 由题意知,在 0,2 上有
16、fxmaxgxmax由已知得 gxmax=0,由(2)可知,当 a12 时,fx 在 0,2 上单调递增,故 fxmax=f2=2a-22a+1+2ln2=-2a-2+2ln2,所以 -2a-2+2ln2ln2-1,故 ln2-112 时,fx 在 0,1a 上单调递增;在 1a,2 上单调递减,故 fxmax=f1a=-2-12a-2lna由 a12 可知 lnaln12ln1e=-1,所以 2lna-2,即 -2lna2,所以 -2-2lna0,所以 fxmaxln2-1课后自我检测1已知函数的图象在点(为自然对数的底数)处的切线的斜率为(1)求实数的值;(2)若对任意成立,求实数的取值范
17、围. (2)由(1)知,对任意成立对任意成立, 令,则问题转化为求的最大值,令,解得, 当时,在上是增函数;当时,在上是减函数 故在处取得最大值,即为所求. 2.已知函数,其中且,(1)若,且时,的最小值是2,求实数的值;(2)若,且时,有恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).(2)恒成立,即恒成立,.又,.令,.故实数的取值范围为.3.设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是( )A B C D【答案】D【解析】令.由题意知存在唯一整数,使得在直线的下方.,当时,函数单调递减,当,函数单调递增,当时,函数取得最小值为.当时,当时,直线过定点,斜率为,故且,解得.4.已知函数f(x)x3ax210,若在区间1,2内至少存在一个实数x,使得f(x)e,即a1e;又a10,a1,实数a的取值范围是(1e,1.故选B.9.已知函数,若有且只有两个整数, 使得,且,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知, ,即, ,设,由,可知,在上为减函数,在上为增函数, 的图象恒过点,在同一坐标系中作出的图象如下:若有且只有两个整数,使得,且,则,即,解得,故选C.10.已知对任意的,总存在唯一的,使得成立(为自然对数的底数),则实数的取值范围是( )A B C D 【答案】D【解析】
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