2022年中考数学复习专题19:三角恒等变换(含答案解析)
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1、2022年中考数学复习专题19:三角恒等变换【一】公式顺用、逆用及其变形用 1.两角和差公式:cos()cos cossin sin. cos()cos cossin sin.sin()sin coscos sin. sin()sin coscos sin.tan(). tan()(,均不等于k(kZ)).2.二倍角公司sin 22sin cos; cos 2cos2sin22cos2112sin2; tan 2.变形1:降幂公式: cos2,变形2:半角公式:(1cos 22cos2, 1cos 22sin2)sin ,cos,tan特别注意:两角和与差的正切公式有两种变形形式tan tan
2、 tan()(1tan tan )或1tan tan .当为特殊角时,常考虑使用变形形式,遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式.1.例题【例1】计算:(1)cos(15); (2)cos 15cos 105sin 15sin 105.【解析】(1)方法一原式cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45.方法二原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)原式cos(15105)cos(90)cos 900.【例2】(1)计算:cos2sin2;【解析】原式cos .(2)计算:;【解析】222.(3)计算:cos 20c
3、os 40cos 80.【解析】原式2sin 20cos 20cos 40cos 80sin 40cos 40cos 80sin 80cos 80sin 160.【例3】(1)_.【解析】 原式tan(4515)tan 60.(2)化简:tan 23tan 37tan 23tan 37.【解析】方法一tan 23tan 37tan 23tan 37tan(2337)(1tan 23tan 37)tan 23tan 37tan 60(1tan 23tan 37)tan 23tan 37.方法二tan(2337),tan 23tan 37tan 23tan 37,tan 23tan 37tan 2
4、3tan 37.(3)已知sin ,3,求cos和tan .【解析】sin ,且3,cos .由cos 2cos21,得cos2.,cos .tan 2.2.巩固提升综合练习【练习1】化简cos 15cos 45cos 75sin 45的值为()A. B. C D【解析】B cos 15cos 45cos 75sin 45cos 15cos 45sin 15sin 45cos(1545)cos(30).【练习2】_.【解析】1原式tan(3075)tan 451.【练习3】在ABC中,AB,且tan Atan Btan Atan B,则角C的值为()A. B. C. D.【解析】Atan At
5、an Btan Atan Btan(AB)(1tan Atan B)(tan Atan B1)(*)若1tan Atan B0,则cos Acos Bsin Asin B0,即cos(AB)0.0AB,AB与题设矛盾由(*)得tan(AB),即tan C.又0C,C.【练习4】若sin cos ,则sin 2= .【解析】由题意,得(sin cos )2,12sin cos ,即1sin 2,sin 2.【二】拆凑角问题 三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或
6、差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”1.例题【例1】已知,则 的值为()A B. C. D【答案】A【解析】sin,coscossin.【例2】已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点. 若角满足sin(),则cos 的值为_【答案】或 【解析】由角的终边过点,得sin ,cos .由sin(),得cos().由(),得cos cos()cos sin()sin ,所以cos 或cos .【例3】若,则( )ABCD【答案】D【解析】2.巩固提升综合练习【练习1】已知,则_.【答案】【解析】tantantantan.【练习2】若,A,则sin A的值为()
7、A. B.C.或 D.【答案】B【解析】A,A,cos(A) ,sin Asin(A)- sin(A)coscos(A)sin.【练习3】已知sin(-310)=35,则cos(+5)=( )A.-45B.45C.-35D.35【答案】C【解析】因为sin(-310)=35,则cos(+5)=cos2+(-310)=-sin(-310)=-35故应选C【练习4】若sin()=,则cos()=()ABCD【答案】C【解析】令,则,所以,故选C【练习5】已知,则的值为( )ABCD【答案】C【解析】由题意得:本题正确选项:【三】常值代换 常数“1”的代换:1=sin2+cos2,1=2cos2-c
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