2022年中考数学复习专题3:空间几何体外接球和内切球(含答案解析)
《2022年中考数学复习专题3:空间几何体外接球和内切球(含答案解析)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年中考数学复习专题3:空间几何体外接球和内切球(含答案解析)(37页珍藏版)》请在七七文库上搜索。
1、2022年中考数学复习专题3:空间几何体外接球和内切球【一】高过外心空间几何体(以为例)的高过底面的外心(即顶点的投影在底面外心上):(1) 先求底面的外接圆半径,确定底面外接圆圆心位置;(2) 把垂直上移到点,使得点到顶点的距离等于到的距离相等,此时点是几何体外接球球心;(3) 连接,那么,由勾股定理得:.1.例题【例1】已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上,则球的表面积为( )ABCD【答案】C【解析】正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上,PAAB2,连结AC,BD,交于点O,连结PO,则PO面ABCD,OAOBOCOD,OP,O是球心,球O的半径r,球O的表面积为S4r28故选:
2、C2.巩固提升综合练习【练习1】在三棱锥中.,则该三棱锥的外接球的表面积为( )ABCD【答案】B【解析】因为,由余弦定理可求得,再由正弦定理可求得的外接圆的半径,因为,所以P在底面上的射影为的外心D,且,设其外接球的半径为,则有,解得,所以其表面积为,故选B.【二】高不过外心高不过心顶点的投影不在底面外心上,以侧棱垂直于底面为例:题设:已知四棱锥,(1)先求底面的外接圆半径,确定底面外接圆圆心位置;(2)把垂直上移到点,使得,此时点是几何体外接球球心;(3)连接,那么,由勾股定理得:.1.例题【例1】(1)长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=3,AA1
3、=1,则球的表面积为_(2)已知正三棱柱的底面边长为3,外接球表面积为,则正三棱柱的体积为( )A.B.C.D.(3)已知,是球的球面上的五个点,四边形为梯形,面,则球的体积为( )ABCD【答案】(1)8 (2)D (3)A【解析】(1)因为长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上,所以球的直径等于长方体的对角线长,设球的半径为R,因为AB=2,AD=3,AA1=1,所以4R2=22+32+12=8,球的表面积为4R2=8,故答案8.(2)正三棱柱的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为:外接球表面积为 外接球的球心在上下两个底面的外心MN的连线的中点上,记为O点,如图所示在三
4、角形中, 解得 故棱柱的体积为: 故答案为:D.(3)取中点,连接且 四边形为平行四边形,又 为四边形的外接圆圆心设为外接球的球心,由球的性质可知平面作,垂足为 四边形为矩形,设,则,解得: 球的体积:本题正确选项:2.巩固提升综合练习【练习1】已知三棱柱的侧棱与底面垂直,则三棱柱外接球的体积为( )ABCD【答案】D【解析】设的外接圆圆心为,的外接圆圆心为,球的球心为,因为三棱柱的侧棱与底面垂直,所以球的球心为的中点,且直线与上、下底面垂直,且,所以在中,即球的半径为,所以球的体积为,故选D。【练习2】四棱锥的底面为正方形,底面,若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上,则的长为( )A3
5、B2C1D【答案】C【解析】连接AC、BD交于点E,取PC的中点O,连接OE,可得OEPA,OE底面ABCD,可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等,即O为球心,设球半径为R,可得,可得,解得PA=1,故选C.【练习3】四棱锥的各顶点都在同一球面上,底面,底面为梯形,且,则此球的表面积等于()ABCD【答案】C【解析】如图,由已知可得,底面四边形为等腰梯形,设底面外接圆的圆心为,连接,则,又,设四棱锥外接球的球心为,则,即四棱锥外接球的半径为此球的表面积等于故选:C常见空间几何体外接球【一】长(正)方体外接球1、长方体或正方体的外接球的球心:体对角线的中点;2、正方体的外接球半径:(为正方体棱长)
6、;3、长方体的同一顶点的三条棱长分别为,外接球的半径:1.例题【例1】若一个长、宽、高分别为4,3,2的长方体的每个顶点都在球的表面上,则此球的表面积为_【解析】长方体外接球半径:,所以外接球面积:【例2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为_【解析】设正方体棱长为,则,.设球的半径为,则由题意知.故球的体积.2.巩固提升综合练习【练习1】如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积是_.【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱,如图所示:其中,三角形是腰长为的直角三角形,侧面是边长为4的正方形,则该几何体的外接球的半径为.该几何
7、体的外接球的表面积为.故答案为.【练习2】 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,分别是棱,的中点,则直线被球截得的线段长为( )A B CD【解析】平面截面所得圆面的半径为,直线被球截得的线段为球的截面圆的直径,为【二】棱柱的外接球直棱柱外接球的求法汉堡模型1. 补型:补成长方体,若各个顶点在长方体的顶点上,则外接球与长方体相同2. 作图:构造直角三角形,利用勾股定理 1) 第一步:求底面外接圆的半径:(为角的对边);2) 第二步:由勾股定理得外接球半径:(为直棱柱侧棱高度)1.例题【例1】直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ABBC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有顶点都
8、在同一球面上,则该球的表面积为_【解析】ABBC,AB=3,BC=4,所以底面外接圆的半径:,是直三棱柱,所以几何体外接球半径;故该球的表面积为:【例2】直三棱柱的所有棱长均为23,则此三棱柱的外接球的表面积为( )A12B16C28D36【解析】由直三棱柱的底面边长为23,得底面外接圆的半径:,又由直三棱柱的侧棱长为23,则,所以外接球半径,外接球的表面积故选:C2.巩固提升综合练习【练习1】设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上,且球的表面积是,则此直三棱柱的高是_.【解析】设边长为,则外接圆半径为,因为所以 即直三棱柱的高是.【三】 棱锥的外接图2图1类型一:正棱锥型 (如下图1,以正三棱锥
9、为例,顶点的投影落在的外心上) 1) 求底面外接圆半径:(为角的对边); 2) 求出,求出棱锥高度;3) 由勾股定理得外接球半径:. 类型二:侧棱垂直底面型 (如上图2) 1)求底面外接圆半径:(为角的对边); 2)棱锥高度; 3)由勾股定理得外接球半径:.类型四:棱长即为直径(两个直角三角形的斜边为同一边,则该边为球的直径) 题设:,且则外接球半径:类型五:折叠模型1.例题【例1】已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上,底面正方形的边长为,若该正四棱锥的体积为2,则此球的体积为 ( )A. B. C. D. 【解析】如图所示,设底面正方形的中心为,正四棱锥的外接球的球心为底面正方形的边长为 正四
10、棱锥的体积为,解得在中,由勾股定理可得: 即,解得故选【例2】在三棱锥中, , , 面,且在三角形中,有,则该三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【解析】设该三棱锥外接球的半径为.在三角形中, 根据正弦定理可得,即.由正弦定理, ,得三角形的外接圆的半径为.面该三棱锥外接球的表面积为故选A.【例3】已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上,和所在平面相互垂直,则球的表面积为 【解析】,和所在平面相互垂直,球的表面积为故选:【例4】三棱锥的底面是等腰三角形,侧面是等边三角形且与底面垂直,则该三棱锥的外接球表面积为A B C D 【解析】 如图, 在等腰三角形中, 由,得,又,
11、设为三角形外接圆的圆心,则,再设交于,可得,则在等边三角形中, 设其外心为,则过作平面的垂线, 过作平面的垂线, 两垂线相交于,则为该三棱锥的外接球的球心, 则半径该三棱锥的外接球的表面积为故选:【例5】在四面体中,则四面体的外接球的表面积为( )A B C D【答案】B【解析】由,所以, 可得,所以,即为外接球的球心,球的半径 所以四面体的外接球的表面积为:.故选:B【例6】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是球的直径若平面平面,三棱锥的体积为,则球的体积为ABCD【解析】如下图所示,设球的半径为,由于是球的直径,则和都是直角,由于,所以,和是两个公共斜边的等腰直角三角形,且的面积为,为的
12、中点,则,平面平面,平面平面,平面,所以,平面,所以,三棱锥的体积为,因此,球的体积为,故选:【例7】在三棱锥ABCD中,ABD与CBD均为边长为2的等边三角形,且二面角的平面角为120,则该三棱锥的外接球的表面积为()A7B8CD【答案】D【解析】如图,取BD中点H,连接AH,CH因为ABD与CBD均为边长为2的等边三角形所以AHBD,CHBD,则AHC为二面角ABDC的平面角,即AHD120设ABD与CBD外接圆圆心分别为E,F则由AH2可得AEAH,EHAH分别过E,F作平面ABD,平面BCD的垂线,则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点记为O,连接AO,HO,则由对称性可得OHE60所以
13、OE1,则ROA则三棱锥外接球的表面积 故选:D2.巩固提升综合练习【练习1】已知正四棱锥的各条棱长均为2,则其外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【解析】设点P在底面ABCD的投影点为,则平面ABCD,故而底面ABCD所在截面圆的半径,故该截面圆即为过球心的圆,则球的半径R=,故外接球的表面积为故选C.【练习2】如图,正三棱锥的四个顶点均在球的球面上,底面正三角形的边长为3,侧棱长为,则球的表面积是ABCD【解析】如图,设,又,在中,得:,故选:【练习3】已知几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【解析】根据几何体的三视图可知,该几何体为
14、三棱锥A-BCD其中AD=DC=2,BD=4且AD底面ABC,BDC=120根据余弦定理可知:BC2-BD2+DC2-2BDDCcos120=42+22-242-12=28可知BC=27根据正弦定理可知BCD外接圆直径2r=BCsinBDC=27sin120=473r=2213,如图,设三棱锥外接球的半径为R,球心为O,过球心O向AD作垂线,则垂足H为AD的中点DH=1,在RtODH中,R2=OD2=22132+1=313外接球的表面积S=4R3=4313=1243 故选D【练习4】已知三棱锥中, 平面,且, .则该三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D. 【解析】, 是以 为斜边的
15、直角三角形其外接圆半径 ,则三棱锥外接球即为以C为底面,以 为高的三棱柱的外接球三棱锥外接球的半径满足 故三棱锥外接球的体积 故选D.【练习5】已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积是( )A. 20 B. 1015 C. 25 D. 22【解析】由三视图得,几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形,侧面ABE底面BCDE.如图所示,矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为BE中点,OGAF.设OM=x,由题得ME=5,在直角OME中,x2+5=R2(1),又MF=OG=1,AF=32-22=5,AG=R2-1,GF=x,R2-1+x=5(2),解(
16、1)(2)得R2=10120,S=4R2=1015.故选B.【练习6】九章算术是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,其中有很多对几何体外接球的研究,如下图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积是( )A. 81 B. 33 C. 56 D. 41【解析】由三视图可得,该几何体是一个如图所示的四棱锥P-ABCD,其中ABCD是边长为4的正方形,平面PAB平面ABCD 设F为AB的中点,E为正方形ABCD的中心,O为四棱锥外接球的球心,O1为PAB外接圆的圆心,则球心O为过点E且与平面ABCD垂直的直线与过O1且与平面PAB垂直的直
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2022 年中 数学 复习 专题 空间 几何 体外 接球 内切球 答案 解析
链接地址:https://www.77wenku.com/p-209323.html