2022年中考数学复习专题9:直线与圆锥曲线(含答案解析)
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1、2022年中考数学复习专题9:直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系:1.代数法:把圆锥曲线方程与直线方程联立,消去(也可以消去),整理得到关于(或者)的一元方程.(1)当时:计算.若0,则与相交;若0,则与相切;若0,则与相离;(2) 当且时:即得到一个一次方程,则与相交,且只有一个交点。若为双曲线,则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若为抛物线,则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合2.几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线的图像,利用图象和性质可判断与的位置关系1.例题【例1】已知椭圆,直线:,直线与椭圆的位置关系是( )A 相离B相交C相切D不确定【解析】直线:化为,可
2、得直线恒过点,由可知该点在椭圆内部.所以直线与椭圆相交,故选:B.【例2】已知点为曲线上两个不同的点,的横坐标是函数的两个极值点,则直线与椭圆的位置关系是( )A相离B相切C相交D位置关系不确定【解析】由,得,因为的横坐标是函数的两个极值点,所以是方程的两根,因此,又点为曲线上两个不同的点,所以因此直线的方程为:,即,即直线恒过定点,又点显然在椭圆内,因此直线与椭圆必相交.故选:C.【例3】已知是椭圆的左右焦点,是直线上一点,若的最小值是,则实数_.【解析】依题意椭圆,则,又因为,是直线上一点,若的最小值是,则此直线与椭圆相切.由消去并化简得,判别式,解得.故答案为:.【例4】直线与曲线( )
3、A没有交点B只有一个交点C有两个交点D有三个交点【解析】当时,曲线为,与直线方程联立得:解得:, 此时直线与曲线有两个交点当时,曲线为,与直线方程联立得:解得:(舍), 此时直线与曲线有一个交点综上所述:直线与曲线有三个交点故选:【例5】已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点,则k的取值范围是( )ABCD【解析】双曲线渐近线为,直线过定点.画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像如下图所示,由图可知,要使直线与双曲线的右支相交于不同的两点,则,结合选项可知只有D选项符合.由消去得,化简得,因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点,所以,解得.故选:D.【例6】已知双曲线:的左右焦点分别为,过的直
4、线与圆相切于点,且直线与双曲线的右支交于点,若,则双曲线的离心率为_.【解析】如图,由题可知,则,又,又,作,可得,则在,即,又,化简可得,同除以,得解得,双曲线的离心率为【例7】若直线是抛物线的一条切线,则_【解析】联立直线和抛物线得到故答案为:.【例8】已知抛物线的方程为,过点和点的直线与抛物线没有公共点,则实数的取值范围是( )ABCD【解析】据已知可得直线的方程为,联立直线与抛物线方程,得,消元整理,得,由于直线与抛物线无公共点,即方程无解,故有,解得或.【例9】过点且与抛物线只有一个公共点的直线有( )A1条B2条C3条D4条【解析】画出图像如下图所示,由图可知,这两条直线与抛物线只
5、有一个公共点,另外过点还可以作出一条与抛物线相切的直线,故符合题意的直线有条,故选C.2.巩固提升综合练习【练习1】已知曲线与曲线怡好有两个不同的公共点,则实数的取值范围是( )A B C D【解析】双曲线的方程为,所以,曲线的图象与曲线的图象必相交于点,为了使曲线与曲线恰好有两个公共点,将代入方程,整理可得.当时,满足题意;当时,由于曲线与曲线恰好有两个公共点,且是方程的根,则,解得.所以,当时,.根据对称性可知,当时,可求得.因此,实数的取值范围是.故选:C.【练习2】对不同的实数值,讨论直线与椭圆的位置关系.【解析】由消去得,当时,此时直线与椭圆相交;当 ,此时直线与椭圆相切;当,此时直
6、线与椭圆相离.【练习3】过点和双曲线仅有一交点的直线有()A1条B2条C4条D不确定【解析】直线斜率不存在时,不满足条件;直线斜率存在时,与渐近线平行的直线,满足题意过点和双曲线仅有一交点的直线有2条故选:B【练习4】已知双曲线的右焦点为F,过点F且倾斜角为45的直线与双曲线的右支一定有两个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是( )ABCD【解析】双曲线的渐近线方程为,由题意可知,双曲线渐近线的倾斜角范围是,渐近线斜率,而,由此得不等式,即,故,所以,故选:C【练习5】已知抛物线,直线l过定点(-1,0),直线l与抛物线只有一个公共点时,直线l的斜率是_.【解析】由题意可设直线方程为:yk(x
7、+1),联立方程可得,整理可得k2x2+(2k24)x+k20(*)直线与抛物线只有一个公共点(*)只有一个根k0时,y0符合题意k0时,(2k24)24k40整理,得k21,解得或k1综上可得,或k1或k0故答案为1或0或1【练习6】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,抛物线的准线与轴的交点为,过作直线与抛物线相切,切点为,则的面积为( )A32B16C8D4【解析】抛物线的焦点为,椭圆的焦点为,所以,即,所以抛物线方程为:,则为,设直线为,则联立,消去,可得,因为直线与抛物线相切,所以,则,当时,直线为,则点为,则,由抛物线的对称性,当时,故选:C直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题【一】弦长
8、公式弦长公式:(1)题设:若斜率为的直线与圆锥曲线方程有两个不同的交点,则或;(2)通径:过椭圆的一个焦点且与焦点所在轴垂直的弦,长度为:;过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦,长度为:;(3)题设:若斜率为的直线经过抛物线的焦点,且与交于两点,其中,则 ; ;(4)题设:若斜率为的直线经过抛物线的焦点,且与交于两点,其中,则 ; ;1.例题【例1】斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.【解析】选C设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为yxt,由消去y,得5x28tx4(t21)0,则x1x2t,x1x2.|A
9、B|x1x2|,当t0时,|AB|max.【例2】已知椭圆M:1(ab0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k1,求|AB|的最大值【解析】(1)由题意得解得a,b1.所以椭圆M的方程为y21.(2)设直线l的方程为yxm,A(x1,y1),B(x2,y2)由得4x26mx3m230,所以x1x2,x1x2.所以|AB| .当m0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为.【例3】椭圆E:1(ab0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e,过F1的直线交椭圆于A,B两点,且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程;(2)若直线A
10、B的斜率为,求ABF2的面积【解析】(1)由题意知,4a8,所以a2,又e,所以,c1,所以b22213,所以椭圆E的方程为1.(2)设直线AB的方程为y(x1),由得5x28x0,解得x10,x2,所以y1,y2.所以SABF2c|y1y2|1.【例4】已知是抛物线的焦点,则过作倾斜角为的直线分别交抛物线于(在轴上方)两点,则的值为( )ABCD【解析】,.【例5】设抛物线C:y24x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程【解析】(1)由题意得F(1,0),l的方程为yk(x1)(k0)设A(x
11、1,y1),B(x2,y2),由得k2x2(2k24)xk20.16k2160,故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8,解得k1或k1(舍去)因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y2(x3),即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.【例6】已知抛物线y216x的焦点为F,过F作一条直线交抛物线于A,B两点,若|AF|6,则|BF|_.【解析】不妨设A(x1,y1),B(x2,y2)(A在B上方),根据焦半径公式|AF|x1
12、x146,所以x12,y14,所以直线AB的斜率为k2,所以直线方程为y2(x4),与抛物线方程联立得x210x160,即(x2)(x8)0,所以x28,故|BF|8412.答案:12【例7】已知斜率为1的直线l与双曲线y21的右支交于A,B两点,若|AB|8,则直线l的方程为( )A yxByxCyxDyx【解析】设斜率为1的直线的方程为,联立双曲线方程,可得,设,可得,则,解得,由于直线与双曲线的右支交于两点,可得,则直线的方程为故选:【例8】过双曲线的左焦点作弦,使,则这样的直线的条数为_.【解析】当直线不存在斜率时,直线方程为,此时把代入双曲线方程中可得:,此时,这样有两条直线过左焦点
13、作弦只与双曲线左支相交,使;直线与双曲线左右两支都相交时,弦的最小值为,所以过左焦点作弦与左右两支都相交,使的直线是不存在的.故答案为:2【例9】已知双曲线(1)求直线被双曲线截得的弦长;(2)过点能否作一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点?【解析】(1)设直线与的交点联立方程组,化简得:,解得,所以,所以弦长(2)假设存在直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点.设,易知,由两式相减得,又,,所以,所以,故直线的方程为,即.由,消去得,因为,方程无解,故不存在一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点.2.巩固提升综合练习【练习1】已知椭圆C的两个焦点为F1(1,0),F2(1,0),且
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