2022年中考数学复习专题4:立体几何中的向量方法(含答案解析)
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1、2022年中考数学复习专题4:立体几何中的向量方法线线平行设两条不重合的直线l,m的方向向量分别为a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2),则lmab(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)线面平行设l的方向向量为a(a1,b1,c1),的法向量为u(a2,b2,c2),则lau0a1a2b1b2c1c20面面平行设,的法向量分别为u(a1,b1,c1),v(a2,b2,c2),则uv(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)【一】证明平行问题1.例题【例1】如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点求证:四边形AEC1F是平行四边形解析以点D为坐标
2、原点,分别以,为正交基底建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E,C1(0,1,1),F,又FAE,FEC1,AE与FC1平行且相等四边形AEC1F是平行四边形【例2】在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点求证:MN平面A1BD证明法一:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),M,N,于是(1,0,1),(1,1,0),.设平面A1BD的法向量为n(x,y,z),则即取x1,则y1,z1,平面A1BD的一个法向量为
3、n(1,1,1)又n(1,1,1)0,n.MN平面A1BD法二:(),MN平面A1BD法三:.即可用与线性表示,故与,是共面向量,故MN平面A1BD【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点,试证明平面A1BD平面CB1D1.证明如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),则(0,1,1),(1,1,0),设平面CB1D1的法向量为m(x1,1,z1),则,即令y11,可得平面CB1D1的一个法向量为m(1,1,1),又平面A1BD的一个
4、法向量为n(1,1,1)所以mn,所以mn,故平面A1BD平面CB1D1.【例4】如图,直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直,.(1) 求证:;(2) 求直线与平面所成角的正弦值;(3) 线段上是否存在点,使平面若存在,求出;若不存在,说明理由【解析】(1)证明:取AB中点O,连接EO,DO因为EB=EA,所以EOAB 因为四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,ABBC,所以四边形OBCD为正方形,所以ABOD 因为EOOD=O所以AB平面EOD因为ED平面EOD所以ABED(2)解:因为平面ABE平面ABCD,且 EOAB,平面ABE平面ABCD=AB所以EO平面ABCD,因
5、为OD平面ABCD,所以EOOD由OB,OD,OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 因为EAB为等腰直角三角形,所以OA=OB=OD=OE,设OB=1,所以O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1)所以,平面ABE的一个法向量为 设直线EC与平面ABE所成的角为,所以 ,即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为 (3)解:存在点F,且时,有EC平面FBD证明如下:由 ,所以设平面FBD的法向量为=(a,b,c),则有所以取a=1,得=(1,1,2)因为=(1,1,1)(1,1,2)=0,且EC 平面FBD,所以EC平面
6、FBD即点F满足时,有EC平面FBD2.巩固提升综合练习【练习1】长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B上的点,且D1E2EB1,BF2FA1.求证:EFAC1. 证明如图所示,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设DAa,DCb,DD1c,则得下列各点的坐标:A(a,0,0),C1(0,b,c),E,F.,(a,b,c),.又FE与AC1不共线,直线EFAC1.【练习2】在如图所示的多面体中,EF平面AEB,AEEB,ADEF,EFBC,BC2AD4,EF3,AEBE2,G是BC的中点,求证:AB平面DEG.证明EF平面AE
7、B,AE平面AEB,BE平面AEB,EFAE,EFBE.又AEEB,EB,EF,EA两两垂直以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得,A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),(0,2,2),(2,2,0),(2,0,2)设平面DEG的法向量为n(x,y,z),则即令y1,得z1,x1,则n(1,1,1),n2020,即n.AB平面DEG,AB平面DEG.【练习3】如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点设Q是CC1上的点,则当点Q在什
8、么位置时,平面D1BQ平面PAO?【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为2,则O(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2),(1,1,0),(1,1,1),(2,2,2)设平面PAO的法向量为n1(x,y,z),则,即令x1,则y1,z2,平面PAO的一个法向量为n1(1,1,2)若平面D1BQ平面PAO,则n1也是平面D1BQ的一个法向量设Q(0,2,c),则(2,0,c),n10,即22c0,c1,这时n12240.当Q为CC1的中点时,平面D1BQ平面PAO.【二】证明垂直问题空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l的
9、方向向量为a(a1,a2,a3),直线m的方向向量为b(b1,b2,b3),则lmab0a1b1a2b2a3b30线面垂直设直线l的方向向量是a(a1,b1,c1),平面的法向量是u(a2,b2,c2),则lauaku(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)(kR)面面垂直若平面的法向量u(a1,b1,c1),平面的法向量v(a2,b2,c2),则 uv uv 0a1a2b1b2c1c20注:若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线,则这两个平面垂直。1.例题【例1】如图,在直三棱柱中,M是棱的中点,求证:.【解析】如图,以B为原点,BA、所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系
10、,则0,2,2,即,;【例2】如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点求证:AB1平面A1BD【证明】法一:如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为ABC为正三角形,所以AOBC因为在正三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为原点,以,分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0)所以(1,2,),(1,2,),(2,1,0)因为1(1)22()0.1(2)21()00.所以,即AB1BA1,AB1BD
11、又因为BA1BDB,所以AB1平面A1BD法二:建系同方法一设平面A1BD的法向量为n(x,y,z),则,即令x1得平面A1BD的一个法向量为n(1,2,),又(1,2,),所以n,即n.所以AB1平面A1BD【例3】 如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC,ABBC2,BB11,E为BB1的中点,证明:平面AEC1平面AA1C1C【解析】由题意得AB,BC,B1B两两垂直以B为原点,BA,BC,BB1分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E,则(0,0,1),(2,2,0),(2,2,1),2
12、,0,.设平面AA1C1C的一个法向量为n1(x1,y1,z1)则令x11,得y11.n1(1,1,0)设平面AEC1的一个法向量为n2(x2,y2,z2)则令z24,得x21,y21.n2(1,1,4)n1n2111(1)040.n1n2,平面AEC1平面AA1C1C【例4】如图,在三棱锥中,平面,底面是以为斜边的等腰直角三角形,是线段上一点(1)若为的中点,求直线与平面所成角的正弦值(2)是否存在点,使得平面平面?若存在,请指出点的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由【解析】不妨设,在平面中作,以,所在的直线为,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,(1)因为点是的中点,所以点的坐标为所以
13、,设是平面的法向量,则即取,则,所以平面的一个法向量为所以,所以直线与平面所成的角的正弦值为(2)假设存在点使得平面平面,设显然,设是平面的法向量,则即取,则,所以平面的一个法向量为因为,所以点的坐标为所以,设是平面的法向量,则即取,则,所以平面的一个法向量为因为平面平面,所以,即,解得所以的值为2,即当时,平面平面2.巩固提升综合练习【练习1】如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB,AF1,M是线段EF的中点求证:AM平面BDF.【证明】以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(,0),B(0,0),D(,0,0),F(,1),M.所以,(0, ,1),(,
14、0)设n(x,y,z)是平面BDF的法向量,则n,n,所以取y1,得x1,z.则n(1,1,)因为.所以n ,得n与共线所以AM平面BDF.【练习2】如图所示,ABC是一个正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CECA2BD求证:平面DEA平面ECA证明建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,不妨设CA2,则CE2,BD1,C(0,0,0),A(,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1)所以(,1,2),(0,0,2),(0,2,1)分别设平面CEA与平面DEA的法向量是n1(x1,y1,z1),n2(x2,y2,z2),则即解得即解得不妨取n1(1,0),n2(,1,2)
15、,因为n1n20,所以n1n2.所以平面DEA平面ECA【三】利用空间向量求空间角角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角设l1与l2的方向向量为a,b,则cos |cos|直线l与平面所成的角设l的方向向量为a,平面的法向量为n,则sin |cos|二面角l的平面角设平面,的法向量为n1,n2,则|cos |cos|0,注:(1)线面所称角,当时,=;当时,=(2)条件平面,的法向量分别为u,所构成的二面角的大小为,u,图形关系计算cos cos cos cos 1.例题【例1】如图,在三棱柱OABO1A1B1中,平面OBB1O1平面OAB,O1OB60,AOB90,且OBOO12,
16、OA,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),O1(0,1,),A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,0),(,1,),(,1,)|cos,.异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.【例2】如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ADBC,ABADAC3,PABC4,M为线段AD上一点,AM2MD,N为PC的中点(1)证明MN平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 【解析】(1)证明:由已知得AMAD2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TNBC,TNBC2.又ADBC,故TNAM,
17、所以四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB(2)如图,取BC的中点E,连接AE.由ABAC得AEBC,从而AEAD,且AE.以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N,(0,2,4),.设n(x,y,z)为平面PMN的法向量,则即可取n(0,2,1)于是|cosn,|.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.【例3】如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,且BAPCDP90.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PAPDABDC,APD90
18、,求二面角APBC的余弦值. 解析(1)证明:由已知BAPCDP90,得ABAP,CDPD因为ABCD,所以ABPD又APDPP,所以AB平面PAD因为AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD(2)在平面PAD内作PFAD,垂足为点F.由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD以F为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由(1)及已知可得A,P,B,C,所以,(,0,0),(0,1,0)设n(x1,y1,z1)是平面PCB的一个法向量,则即所以可取n(0,1,)设m(x2,y2,z2)是平面PAB的一个法向量,则即所以可取m(1,0
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- 2022 年中 数学 复习 专题 立体几何 中的 向量 方法 答案 解析
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