2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟理科数学试卷（乙卷）含答案解析

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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟理科数学乙卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知全集，集合，集合，则（）ABCD3已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（）ABCD4若函数是定义在上的偶函数，则（）ABC1D25已知各棱长均为的正三棱柱中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD6某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节

2、目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序（）种A144B192C216D3247将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图像的一个对称中心为（）.ABCD8已知圆，在圆内随机取一点P，以点P为中点作弦AB，则弦长的概率为（）ABCD91471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面，直线l有两点A，B

3、位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为，.设点C的坐标为，当最大时，（）A2abBabCD10已知命题：函数，且在区间上恒成立，则该命题成立的充要条件为（）ABCD11已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（）ABCD12已知，则下列关系式不可能成立的是（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，是双曲线的左，右焦点，过右焦点与实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若三角形为等腰直角三角形，则双曲线

4、C的离心率为_.14已知向量，若，则m=_.15在ABC中，D在线段AC上，则ABC的面积是_16如图，在四棱锥中，底面为矩形，点P是以为直径的半圆弧上的动点（不含A，D点），面面，经研究发现，四棱锥的外接球始终保特不变，则该外接球的表面积为_三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17(12分)某高中学校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全校学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图将平均每天课外体育锻炼时间在上的

5、学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼不达标(1)根据频率分布直方图估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的众数、中位数；(2)为了了解学生课外体育锻炼时间不达标的原因，从上述锻炼不达标的学生中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这三人中每天课外体育锻炼时间在的人数为，求的分布列和数学期望18(12分)如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，E为棱PC的中点.(1)证明：平面PAD；(2)求二面角的余弦值.19(12分)已知数列的前n项和为，且(1)求证：数列为等差数列；(2)求数列的前n项和20(12分)已知函数(1)讨论的单调性；(2)若，且，

6、求证：21(12分)已知动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为，记P的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点的直线与曲线C交于两点，分别为曲线C与x轴的两个交点，直线交于点N，求证:点N在定直线上（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.22选修4-4：坐标系与参数方程 (10分)在平面直角坐标系中，点以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为(1)求直线l及曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于A，B两点，求的值23选修4-5：不等式选讲 (10分)已知函数，.(1)当时，求

7、不等式的解集；(2)是否存在实数，使得不等式的解集包含？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟理科数学乙卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】，复平面内对应的点位于第四象限.故选：D2已知全集，集合，集合，则（）ABCD【解析】，.故选：C.3已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（）ABCD【解析】因为，所以命题为假命题.因为，有，而对勾函数在单调递减，所以，故命题为真命题.对于A：因为p假q真

8、，所以为假命题，故A错误；对于B：因为p假q真，所以为真命题，故B正确；对于C：因为q真，所以为假命题，故C错误；对于D：p假，故D错误.故选：B4若函数是定义在上的偶函数，则（）ABC1D2【解析】因为是上的偶函数，所以，即，所以，整理得，所以故选：C.5已知各棱长均为的正三棱柱中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【解析】取的中点，连接，又，或补角)为异面直线与所成的角，由则，由，则，且，.故选：C.6某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没

9、有要求，共有不同的演出顺序（）种A144B192C216D324【解析】先排3个音乐节目有种排法，共6种排法；再排3个舞蹈节目只能排3、4、5位置，共种排法；再排3个曲艺节目，共种排法；由分步乘法记数原理有种排法故选：C7将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图像的一个对称中心为（）.ABCD【解析】将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到，再向右平移个单位长度，得到，令，有，可得图像的一个对称中心为.故选：D.8已知圆，在圆内随机取一点P，以点P为中点作弦AB，则弦长的概率为（）ABCD【解析】当时，此时，若，则点P必须位于以点C为圆心，半径为1和半

10、径为的圆环内，所以弦长的概率为，故选：B91471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面，直线l有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为，.设点C的坐标为，当最大时，（）A2abBabCD【解析】由题意可知时锐角，且,而，所以，而 ，当且仅当 ，即时取等号，所以当时，此时最

11、大，故选：D.10已知命题：函数，且在区间上恒成立，则该命题成立的充要条件为（）ABCD【解析】，令，则，时，函数在上是增函数，要使在区间上恒成立，又，则应满足在区间上为增函数，当时，又函数在上是增函数，即.故选：C.11已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（）ABCD【解析】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上.如图，设圆、与轴的切点分别为，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，切点也在的角平分线上，所以，由椭圆的定义知，则，所以，所以，所以，.又圆与圆的面积之比为4

12、，所以圆与圆的半径之比为2，因为，所以，即，整理得，故椭圆的离心率.故选：B.12已知，则下列关系式不可能成立的是（）ABCD【解析】对于，两边取对数得，即，构造函数，当时，是单调递增函数，当时，是单调递减函数，若，则，即，故A正确；若，则，故B正确；构造函数，当时，单调递增，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以时，即，所以成立，不可能成立，故C正确D错误.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，是双曲线的左，右焦点，过右焦点与实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若三角形为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_.【解析】由题知，即，即，解得，又因为，所以14已

13、知向量，若，则m=_.【解析】由题意可得由，可得，解得 15在ABC中，D在线段AC上，则ABC的面积是_【解析】由题意，设，则，且，所以，在中，则，整理得，所以，故，则，所以.16如图，在四棱锥中，底面为矩形，点P是以为直径的半圆弧上的动点（不含A，D点），面面，经研究发现，四棱锥的外接球始终保特不变，则该外接球的表面积为_【解析】由题意，为直角三角形，如图取中点，则，取中点，则O是正方形的中心，连接，则 已知面底面，且面面，面故面，则，又，故到四棱锥各顶点的距离相等即为四棱锥的外接球的球心，半径故外接球的表面积三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21

14、题为必做题,每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17(12分)某高中学校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全校学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼不达标(1)根据频率分布直方图估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的众数、中位数；(2)为了了解学生课外体育锻炼时间不达标的原因，从上述锻炼不达标的学生中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这三人中每天课外体育锻炼时间在的人数为，求的

15、分布列和数学期望【解析】(1)众数就是直方图中最高矩形底边中点的横坐标，则样本众数等于25由频率分布直方图可得，在上的频率为0.08，在上的频率为0.16，在上的频率为0.32，则中位数在区间上设中位数为，则，即样本中位数为(2)根据题意，在，上抽取的人数分别为1，2，4，3，其中在上抽取的人数为3，则，1，2，3，从而得到随机变量的分布列如下表：0123P随机变量的期望18(12分)如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，E为棱PC的中点.(1)证明：平面PAD；(2)求二面角的余弦值.【解析】(1)在四棱锥中，取线段PD的中点F，连接AF，EF，如图，因E为棱PC的中点，则，而，于是得，即四边

16、形ABEF是平行四边形，有，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.(2)在四棱锥中，在平面内过P作交CD于O，连接AO，因平面平面ABCD，平面平面，则平面，平面，即有，因，则，而，有，则，显然OA，OC，OP两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，设平面的一个法向量，则，令得：，设平面的一个法向量，则，令得：，则，显然二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值是.19(12分)已知数列的前n项和为，且(1)求证：数列为等差数列；(2)求数列的前n项和【解析】(1)由可得，由得，所以，即，所以，所以数列是公差为1，首项为1的等差数列.(2)由（1），得，所以，两式相减得，所以

17、.20(12分)已知函数(1)讨论的单调性；(2)若，且，求证：【解析】(1) ，当时，在R上单调递增，当时，由，得；由，得在上单调递减，在上单调递增综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增(2)证明：由，得，即，令，则，在上单调递增，在上单调递减当时，或，若，显然若，要证，只需证，即证，若能证，则原命题得证，令，在单调递增，原命题得证综上所述，21(12分)已知动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为，记P的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点的直线与曲线C交于两点，分别为曲线C与x轴的两个交点，直线交于点N，求证:点N在定直线上【解析】(1)设动点，动点P

18、与定点的距离和它到定直线的距离之比为，整理得，曲线C的方程为；(2)设，直线方程，与椭圆方程联立，整理得：，由韦达定理得：，化简得：，由已知得,则直线的方程为，直线的方程为，联立直线和： ，代入，、可得：，化简可得：，所以N点在一条定直线上（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.22选修4-4：坐标系与参数方程 (10分)在平面直角坐标系中，点以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为(1)求直线l及曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于A，B两点，求的值【解析】(1)直线l的极坐标方

19、程化为，将代入得直线的直角坐标方程：曲线的极坐标方程为，则，将代入得曲线的直角坐标方程：(2)直线l经过定点，倾斜角，则直线l的一个标准参数方程为，即 (t为参数)将代入方程中整理得：，直线与曲线的交点必然存在，设交点A，B所对应的参数值分别为，于是，（异号），则，即23选修4-5：不等式选讲 (10分)已知函数，.(1)当时，求不等式的解集；(2)是否存在实数，使得不等式的解集包含？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)当时，即，整理得：，当时，解得：，结合得：，当时，解得：，结合得：，当时，解得：，结合得：，综上：不等式的解集为：.(2)假设存在实数，使得不等式的解集包含，即对恒成立，化简为：，解得：，由题意得：，解得：.故存在实数，使得不等式的解集包含