2022年北京市昌平区中考模拟数学试卷（1）含答案解析

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1、2022年北京市昌平区中考数学模拟试卷（1）一选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1（2分）已知15.906，5.036，那么的值为（）A159.06B50.36C1590.6D503.62（2分）下列运算正确的是（）Aa3a32a3Ba3+a3a6C（2x）36x3Da6a2a43（2分）如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（）A（1，3）（1，2）（1，1）（1，0）（2，0）（3，0）（4，0）B（1，3）（0，3）（2，3）（0，0）（1，0）（2，0）（4，0）C（1，3）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（4，

2、3）（4，2）（4，0）D以上都不对4（2分）正六边形的每个内角度数是（）A60B90C108D1205（2分）电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（）AABBCCD无法确定6（2分）因式分解：ab22ab+a，结果正确的是（）Aa（b2）Ba（b1）2Ca（b+1）2Dab（b2）7（2分）如图是正方体的一种展开图，其每个面上都有一个汉字，那么在原正方体中与“你

3、”字相对面上的字是（）A中B考C顺D利8（2分）如图，小明为节省搬运力气，把一个棱长为1m的正方体木箱在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面ABCD又落回到地面，则点A1所走路径的长度为（）AmBmCmDm二填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9（2分）在函数y中，自变量x的取值范围是 10（2分）当m 时，一元二次方程x24x+m0（m为常数）有两个相等的实数根11（2分）已知7，则 12（2分）如图，为了测量两个路灯之间的距离，小明在夜晚由路灯AB走向路灯CD，当他走到点E时，发现身后他头顶部F的影子刚好接触到路灯AB的底部A处，当他向前再步行15m到

4、达G点时，发现身前他头顶部H的影子刚好接触到路灯CD的底部C处，已知小明同学的身高是1.7m，两个路灯的高度都是8.5米，则AC m13（2分）张丘建算经是一部数学问题集，其内容、范围与九章算术相仿其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何”（译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？）若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，则此时买得小鸡 只14（2分）如图，ABC中

5、，AB10，AC7，AD是角平分线，CMAD于M，且N是BC的中点，则MN 15（2分）如图，反比例函数y（x0）的图象经过点A（1，2）和点B（m，n），过点B作BCy轴与C，若ABC的面积为2，则点B的坐标为 16（2分）【尝试探究】如图（1），在ABC中，分别以AB，AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE，BE与CD交于点O，可求得BOC的度数【拓展探究】如图（2），在ABC中，分别以AB，AC为边向ABC外作正n边形ABD和正n边形ACE，BE与CD交于点O，则BOC的度数为 三解答题（共12小题，满分68分）17（5分）计算：18（5分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来19（

6、5分）如图，点F，C分别在线段AB，BD上，且BFBD，AFCD，连接AC，DF，并相交于点E求证：AECE20（5分）如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，点A、C分别在直线y2x和x轴上，若点A在直线y2x上运动（1）当点A运动到横坐标x3时，写出点C的坐标（2）写出x1时，直线AC的函数解析式（3）若点A横坐标为m，且满足1m3时，请你求出对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积21（5分）佳佳果品店刚试营业，就在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克水果，很快售完由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了20%，用1500元所购买的数量比第一次多10千克

7、求第一次该种水果的进价是每千克多少元？22（6分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N当CP6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：，因为DEEP，所以DFFC可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值（1）请按照小明的思路写出求解过程（2）小东又对此题作了进一步探究，得出了DPMN的结论你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由23（6分）如

8、图，点O在APB的平分线上，O与PA相切于点C（1）求证：直线PB与O相切；（2）PO的延长线与O交于点E若O的半径为3，PC4求弦CE的长24（6分）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中共调查了多少名学生？（2）求户外活动时间为1.5小时的人数，并补充条形统计图；（3）求表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数；（4）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？户外活动时间的

9、众数和中位数是多少？25（4分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点G（1）求证：PDEGCE；（2）过点E作EFBC交PB于点F，连接AF当PBPG时，求证：四边形AFEP是平行四边形；请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由26（7分）如图，已知：二次函数yx2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数yx3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，OCA的正切值为（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P，若SABPSBCP，求m的值27（7分）

10、在菱形ABCD中，ABC60，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CFAE，连接BE、EF（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BEEF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明28（7分）如图，正方形ABCD的边长为1对角线AC、BD相交于点O，P是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行（1）求证：EFBD（2）求证：四边形ACPD为平行四边形（3）求OF的长度2022年北京市昌平区中考数学模拟试卷（1）参考答

11、案与试题解析一选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1（2分）已知15.906，5.036，那么的值为（）A159.06B50.36C1590.6D503.6【解答】解：5.036，503.6，故选：D2（2分）下列运算正确的是（）Aa3a32a3Ba3+a3a6C（2x）36x3Da6a2a4【解答】解：A、a3a3a3+3a6同底数幂的乘法，底数不变指数相加；故本选项错误；B、a3+a32a3合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；故本选项错误；C、（2x）38x3 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘故本选项错误；D、a6a2a4同底数幂的除法，底数不变指数相减；故

12、本选项正确 故选D3（2分）如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（）A（1，3）（1，2）（1，1）（1，0）（2，0）（3，0）（4，0）B（1，3）（0，3）（2，3）（0，0）（1，0）（2，0）（4，0）C（1，3）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（4，3）（4，2）（4，0）D以上都不对【解答】解：要想路线最短，就只应向右及向下走，故选：A4（2分）正六边形的每个内角度数是（）A60B90C108D120【解答】解：根据多边形的内角和定理可得：正六边形的每个内角的度数（62）1806120故选：D5（2分）电脑上有一

13、个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（）AABBCCD无法确定【解答】解：由图形及题意可知：B、C中只有一个有地雷，所以A必定有地雷，所以A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是A，概率为1故选：A6（2分）因式分解：ab22ab+a，结果正确的是（）Aa（b2）Ba（b1）2Ca（b+1）2Dab（b2）【解答】解：ab22ab+aa（b22b+1）（提取公因式）a（

14、b1）2（完全平方公式）故选：B7（2分）如图是正方体的一种展开图，其每个面上都有一个汉字，那么在原正方体中与“你”字相对面上的字是（）A中B考C顺D利【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，在原正方体中与“你”字相对面上的字是“顺”故选：C8（2分）如图，小明为节省搬运力气，把一个棱长为1m的正方体木箱在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面ABCD又落回到地面，则点A1所走路径的长度为（）AmBmCmDm【解答】解：第一次是以B为旋转中心，BA1长m为半径旋转90，此次点A走过的路径是m第二次是以B1为旋转中心，B1A1长1m为半径旋转

15、90，此次走过的路径是m第三次是以A为旋转中心，AA1长1m为半径旋转90，此次走过的路径是m点A1从起始位置翻滚一周后所经过的长度+（+1）m故选：C二填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9（2分）在函数y中，自变量x的取值范围是x2【解答】解：根据题意得x+20，解得x2，故答案为x210（2分）当m4时，一元二次方程x24x+m0（m为常数）有两个相等的实数根【解答】解：x24x+m0（m为常数）有两个相等的实数根，0，即1641m0，解得m4，故答案是411（2分）已知7，则【解答】解：由题意得：，即x+，x2+12+1，其倒数故答案为：12（2分）如图，为了测量两个路灯之间的距

16、离，小明在夜晚由路灯AB走向路灯CD，当他走到点E时，发现身后他头顶部F的影子刚好接触到路灯AB的底部A处，当他向前再步行15m到达G点时，发现身前他头顶部H的影子刚好接触到路灯CD的底部C处，已知小明同学的身高是1.7m，两个路灯的高度都是8.5米，则AC25m【解答】解：EFCD，AEFACD，即，即AE+15+CG5AE，GHAB，CGHCAB，即，即AE+15+CG5CG，AECG5，AC5+15+525（m）故答案为2513（2分）张丘建算经是一部数学问题集，其内容、范围与九章算术相仿其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母

17、一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何”（译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？）若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，则此时买得小鸡84只【解答】解：设公鸡买了x只，母鸡买了y只，则小鸡买了（100xy）只，依题意，得：5x+3y+（100xy）100，y25xx，y均为正整数，xy，且x+y20，x12，y4，100xy84故答案为：8414（2分）如图，ABC中，AB10，AC7，AD是角平分线，CMAD于M，且N是BC的中点，则MN1.5【解答】解：

18、延长CM交AB于E，AMCM，AD是BAC的角平分线，AMEAMC90，EAMCAM，在EAM和CAM中EAMCAM（ASA），CMME，AEAC7，N是BC的中点，MNBE（ABAE）（107）1.5故答案为：1.515（2分）如图，反比例函数y（x0）的图象经过点A（1，2）和点B（m，n），过点B作BCy轴与C，若ABC的面积为2，则点B的坐标为B（3，）【解答】解：ABC的面积为2，m（2n）2，即2mmn4，反比例函数y（x0）的图象经过点A（1，2）和点B（m，n），12mn，2m24，解得m3，n，B（3，）故答案为B（3，）16（2分）【尝试探究】如图（1），在ABC中，分别以

19、AB，AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE，BE与CD交于点O，可求得BOC的度数【拓展探究】如图（2），在ABC中，分别以AB，AC为边向ABC外作正n边形ABD和正n边形ACE，BE与CD交于点O，则BOC的度数为【解答】证明：（1）如图1中，ABD和ACE是等边三角形，ABAD，ACAE，DABEAC60，DAB+BACEAC+BAC，即DACBAE，ABEADC；ABEADC，BOC是BOD的外角，BOCODB+DBA+ABEADC+ODB+DBAADB+DBA60+60120；（2）如图2中，BOC的度数为，理由是：同理得：ADCABE，BEADCA，BOCBEA+OMEDCA

20、+AMC，正n边形ACE，EAC180，DCA+AMC180（180），BOC故答案为三解答题（共12小题，满分68分）17（5分）计算：【解答】解：原式1+1+11，0（1分）故答案为：018（5分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来【解答】解：解不等式得，x8，解不等式得，x2，不等式组的解集为x8，在数轴上表示出来：19（5分）如图，点F，C分别在线段AB，BD上，且BFBD，AFCD，连接AC，DF，并相交于点E求证：AECE【解答】证明：过点C作CHAB交FD于点H，CHDBFD，ECHA，BFBD，BFDD，CHDBFD，CHDD，CHCD，AFCD，CHAF，在AFE与CHE中

21、，AFECHE（AAS），AECE20（5分）如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，点A、C分别在直线y2x和x轴上，若点A在直线y2x上运动（1）当点A运动到横坐标x3时，写出点C的坐标（2）写出x1时，直线AC的函数解析式（3）若点A横坐标为m，且满足1m3时，请你求出对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积【解答】解：（1）当x3时，y2x6，则A（3，6）B（9，6）C（9，0）（2）x1时，y2x2，A（1，2），B（3，2），C（3，0），设直线AC的函数解析式为：ykx+b，解得：k1，b3，yx+3，即AC的函数表达式为：yx+3（3）对角线AC扫过的四边形的形状为梯形为梯形

22、EFCA，当1m3时，由（2）得m1A（1，2），即E（1，2），此时C（3，0），即F（3，0），直线AC的解析式为yx+3它与x轴的交点为C的坐标是（3，0）又由（1）知A（3，6），C（9，0）AOC的面积9627，OEF的面积323扫过的面积S梯形EFCA27324，答：对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积是2421（5分）佳佳果品店刚试营业，就在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克水果，很快售完由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了20%，用1500元所购买的数量比第一次多10千克求第一次该种水果的进价是每千克多少元？【解答】解：设第一次购买的单

23、价为x元，则第二次的单价为1.2x元，根据题意得：10，解得：x5，经检验，x5是原方程的解答：第一次该种水果的进价是每千克5元22（6分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N当CP6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：，因为DEEP，所以DFFC可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值（1）请按照小明的思路写出求解过程（2）小东又对此题作了进一步探究，得出了DPMN的

24、结论你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由【解答】（1）解：过E作直线GE平行于BC交DC，AB分别于点F，G，（如图2）则，GFBC12，DEEP，DFFC，EFCP3，EGGF+EF12+315，；（2）证明：正确，作MHBC交AB于点H，（如图1）则MHCBCD，MHN90，DCP1809090，DCPMHN，NE是DP的垂直平分线，MNHCMNDME90CDP，DPC90CDP，DPCMNH，DPCMNH（AAS），DPMN23（6分）如图，点O在APB的平分线上，O与PA相切于点C（1）求证：直线PB与O相切；（2）PO的延长线与O交于点E若O的半径

25、为3，PC4求弦CE的长【解答】（1）证明：连接OC，作ODPB于D点O与PA相切于点C，OCPA点O在APB的平分线上，OCPA，ODPB，ODOC直线PB与O相切；（2）解：设PO交O于F，连接CFOC3，PC4，PO5，PE8O与PA相切于点C，PCFE又CPFEPC，PCFPEC，CF：CEPC：PE4：81：2EF是直径，ECF90设CFx，则EC2x则x2+（2x）262，解得x则EC2x24（6分）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完

26、整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中共调查了多少名学生？（2）求户外活动时间为1.5小时的人数，并补充条形统计图；（3）求表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数；（4）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？户外活动时间的众数和中位数是多少？【解答】解：（1）调查人数1020%50（人）；（2）户外活动时间为1.5小时的人数5024%12（人）；补全频数分布直方图；（3）表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数360144；（4）户外活动的平均时间（小时），1.181，平均活动时间符合上级要求；户外活动时间的众数和中位数均为1小时25（4分）如图，在边

27、长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点G（1）求证：PDEGCE；（2）过点E作EFBC交PB于点F，连接AF当PBPG时，求证：四边形AFEP是平行四边形；请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，DBCD90，ECG90D，E是CD的中点，DECE，又DEPCEG，PDEGCE（ASA）；（2）证明：PBPG，PBGG，四边形ABCD是正方形，BAD90，ADBC，APBPBGGEPD，PDEGCE，PEGE，EFBC，EF是PBG的中位线，EFAD，BFPF，在RtPAB

28、中，BAP90，AFBPPFBF，APFPAF，PAFEPD，PEAF，又EFAD，四边形AFEP是平行四边形；解：四边形AFEP不是菱形，证明如下：由（1）知DECE，PDCG，E是CD的中点，EF是BPG的中位线，EFBG，设PDx，则BG1+x，EF（1+x），又四边形AFEP是平行四边形，APEF，1x（1+x），解得：x，AP1，PE，APPE，四边形AFEP不是菱形26（7分）如图，已知：二次函数yx2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数yx3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，OCA的正切值为（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，

29、设平移后抛物线顶点为P，若SABPSBCP，求m的值【解答】解：（1）yx3，x0时，y3，当y0时，x30，解得x6，点B（6，0），C（0，3），tanOCA，OA2，即A（2，0），将A（2，0）代入yx2+bx，得4+2b0，解得b2，yx22x（x1）21，则抛物线解析式为yx22x，顶点P的坐标为（1，1）；（2）如图，由平移知点P坐标为（1，1m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，则M（1，），SABPABPH4（m+1）2（m+1），SBCPSPMC+SPMBPMOB|1m+|63|m|，2（m+1）3|m|，解得m或m27（7分）在菱形ABCD中，ABC60，E

30、是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CFAE，连接BE、EF（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BEEF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明【解答】证明：（1）四边形ABCD为菱形，ABBC，又ABC60，ABC是等边三角形，E是线段AC的中点，CBEABC30，AECE，AECF，CECF，FCEF，F+CEFACB60，F30，CBEF，BEEF；（2）图2：BEEF（1分）图3：BEEF（1分）图2证明如下：过点E作EGBC，交AB于点G，四边形A

31、BCD为菱形，ABBC，又ABC60，ABC是等边三角形，ABAC，ACB60，（1分）又EGBC，AGEABC60，又BAC60，AGE是等边三角形，（1分）AGAE，BGCE，（1分）又CFAE，GECF，又BGEECF120，BGEECF（SAS），（2分）BEEF； （1分）图3证明如下：过点E作EGBC交AB延长线于点G，四边形ABCD为菱形，ABBC，又ABC60，ABC是等边三角形，ABAC，ACB60，（1分）又EGBC，AGEABC60，又BAC60，AGE是等边三角形，（1分）AGAE，BGCE，（1分）又CFAE，GECF，又BGEECF60，BGEECF（SAS），（2

32、分）BEEF （1分）28（7分）如图，正方形ABCD的边长为1对角线AC、BD相交于点O，P是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行（1）求证：EFBD（2）求证：四边形ACPD为平行四边形（3）求OF的长度【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ACBD，EFAC，EFBD；（2）证明：EFAC，四边形ABCD是正方形，ADCP，OAOC，即，AODP，ADCP，四边形ACPD为平行四边形；（3）解：由勾股定理得：ACBD，四边形ACPD为平行四边形，CPADBC，ADBP，DEBD，OEODDE，DOBD，DEFDOC90EDF45，DFE45，EFDE，在RtOEF中，由勾股定理得：OF