2022年高考数学一轮复习《第10讲空间向量》专题练习(含答案)
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1、第10讲 空间向量高考预测一:线线角、线面角、二面角、距离问题 1如图,在三棱锥中,底面,为的中点,为中点,(1)求证:平面;(2)求与平面成角的正弦值;(3)在线段上是否存在点,使得平面,若存在,请说明点的位置,若不存在,请说明理由2如图,在三棱柱中,为的中点,且(1)求证:平面;(2)求多面体的体积;(3)求二面角的平面角的余弦值3如图,在梯形中,四边形为矩形,平面平面,()求证:平面;()点在线段上运动,设平面与平面所成二面角的平面角为,试求的取值范围4如图,在几何体中,底面是平行四边形,平面,与交于点()求证:平面;()若平面 与平面 所成的锐二面角余弦值为,求线段的长度5在四棱锥中,
2、底面是直角梯形,为的中点,平面平面求与成角的余弦值(1)求平面与平面所成的锐二面角的大小;()在棱上是否存在点使得平面?若存在,求的值;若不存在,说明理由6如图,三棱柱中,侧面为的菱形,(1)证明:平面平面(2)若,直线与平面所成的角为,求直线与平面所成角的正弦值7如图所示的几何体中,为三棱柱,且平面,四边形为平行四边形,()若,求证:平面;()若,二面角的余弦值为,求三棱锥的体积8如图,在三棱锥中,平面,()求证:平面;()求二面角的余弦值;()求点到平面的距离9如图,在直三棱柱中,(1)若,求证:平面;(2)若,是棱上的一动点试确定点的位置,使点到平面的距离等于10如图,四棱锥的底面是边长
3、为2的正方形,(1)证明:;(2)当直线与平面所成角的正弦值最大时,求此时二面角的大小第10讲 空间向量 高考预测一:线线角、线面角、二面角、距离问题1如图,在三棱锥中,底面,为的中点,为中点,(1)求证:平面;(2)求与平面成角的正弦值;(3)在线段上是否存在点,使得平面,若存在,请说明点的位置,若不存在,请说明理由【解析】(1)证明:底面,又,平面,平面,为的中点,平面;(2)由题意建立如图所示的空间直角坐标系,0,2,2,0,1,1,2,设平面的法向量为,则,取,设与平面成角为,则(3)假设在线段上存在点,使得平面设,2,平面,平面的法向量为,0,解得点是靠近点的四等分点2如图,在三棱柱
4、中,为的中点,且(1)求证:平面;(2)求多面体的体积;(3)求二面角的平面角的余弦值【解析】解:(1)证明:,为的中点又,平面又,面(2)棱锥(3)以为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图则,0,0,0,2,2,0,设是面的一个法向量,则由得可取,1,同理设是面的一个法向量,且,0,则由得取二面角为锐二面角,所以其平面角的余弦值为3如图,在梯形中,四边形为矩形,平面平面,()求证:平面;()点在线段上运动,设平面与平面所成二面角的平面角为,试求的取值范围【解析】解:证明:在梯形中,平面平面,平面平面,平面平面由可建立分别以直线,为轴,轴,轴的如图所示空间直角坐标系,令,则,1,
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