2022年中考数学一轮复习《第4讲反比例函数》讲义(含答案)尖子专用
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1、 第第 4 讲讲 反比例函数反比例函数 知识点 1 反比例函数的概念及用待定系数法求反比例 1反比例函数的概念 一般地,函数xky (k 是常数,k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1 kxy的形式。自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。 2反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数xky 中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标,即可求出 k 的值,从而确定其解析式。 【典例】【典例】 例 1(2019 秋诸城市期末)若函数 ym2+31是反比例函数,则 m 例 2(2020 秋兴国县期末)已知函数 y(k+2)25是
2、反比例函数,则 k 例 3(2020 秋雁塔区校级期中)已知 M(a+4,2)和 N(2,2)是同一个反比例函数图象上的两个点,求a 的值以及这个反比例函数的表达式 例 4(2020 秋永定区期中)已知 y 是 x 的反比例函数,并且当 x2 时,y4 (1)求 y 关于 x 的函数解析式; (2)当 x6 时,求 y 的值 【随堂练习】【随堂练习】 1 (2020新田县一模)若函数 y(m2)25是反比例函数,则 m 2 (2020柘城县模拟)已知函数 y(m+1)22是反比例函数,则 m 的值为 3 (2020 春丽水期末)已知反比例函数 y=(k0) ,当 x3 时,y4 (1)求 y
3、关于 x 的函数表达式; (2)当 y43且 y0 时,求自变量 x 的取值范围 4 (2020 春徐州期末)已知 y 是 x 的反比例函数,且当 x4 时,y1, (1)求 y 与 x 之间的函数表达式; (2)求当3x 12时,y 的取值范围; (3)求当 x1 时,y 的取值范围 知识点 2 反比例的图象及其性质 (1)反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线,有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x0,函数 y0,所以,它的图象不 x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达丌到坐标轴。 (2)反
4、比例函数的性质 【典例】 例 1 (2020 秋锦江区校级期中) 如图是三个反比例函数的图象的分支, 其中 k1, k2, k3的大小关系是 例 2(2020 秋金塔县期末)如图,关于 x 的函数 ykxk 和 y= (k0) ,它们在同一坐标系内的图象大致是( ) A B C D 【随堂练习】 1 (2020 秋岳阳期中)已知函数 y(m2)210是反比例函数,且当 x0 时,y 随 x 的增大而减小,则 m 的值是 2 (2020广西)在同一平面直角坐标系中,函数 ykx+k 与 y=(k0)的图象可能是( ) A B C D 知识点 3 一次函数与反比例函数的综合应用 1.求反比例函数不
5、一次函数的交点坐标, 把两个函数关系式联立成方程组求解, 若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点。 2.如果图中直接给出交点坐标,比较函数大小, 根据图象,确定大小关系,要注意分支讨论。 【典例】 例 1(2020 秋乐亭县期末)如图,一次函数 ykx+b 与反比例函数 y=(x0)的图象交于点 A(1,6) ,B(3,n)两点与 x 轴交于点 C (1)求一次函数的表达式; (2)若点 M 在 x 轴上,且AMC 的面积为 6,求点 M 的坐标 (3)结合图形,直接写出 kx+b0 时 x 的取值范围 例 2(2020 秋大东区期末)如图,一次函数的图象 yax+b(a0)与反比
6、例函数 y=(k0)的图象交于点 A(12,4) ,点 B(m,1) (1)求这两个函数的表达式; (2)若一次函数图象与 y 轴交于点 C,点 D 为点 C 关于原点 O 的对称点,点 P 是反比例函数图象上的一点,当 SOCP:SBCD1:3 时,请直接写出点 P 的坐标 【随堂练习】 1 (2020 秋荔湾区期末)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,正比例函数 y2x 与反比例函数 y=的图象交于 A,B 两点,A 点的横坐标为 2,ACx 轴于点 C,连接 BC (1)求反比例函数的解析式; (2)若点 P 是反比例函数 y=图象上的一点,且满足OPC 与ABC 的面积相等,请直接写出
7、点 P 的坐标 2 (2020 秋会宁县期末)点 A 是双曲线 =与直线 yx(k+1)在第二象限的交点,AB 垂直 x 轴于点 B,且 SABO=32; (1)求两个函数的表达式; (2)求直线与双曲线的交点坐标和AOC 的面积 3 (2020 秋新华区月考) 已知反比例函数 y=(x0) 的图象与一次函数 y= 12x+4 的图象交于 A (2, b)和 B(6,n)两点 (1)求 k 和 n 的值; (2)若点 C(x,y)也在反比例函数 y=(x0)图象上,求当 2x6 时,函数值 y 的取值范围; (3)直接写出关于 x 的不等式(x0)12x+4 的解集 知识点 4 反比例函数与几
8、何的综合应用 1、反比例函数 = 中的比例系数 k 的几何意义及其应用 反比例函数 = 中的比例系数 k 的几何意义是:过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线,两垂线不坐标轴围成的矩形的面积等于| |; 或以该点、 垂足不坐标原点为顶点的直角三角形的面积等于12| |。 | |越大,图象越远离坐标原点,反之亦然。 2、 运用 k 的几何意义解决反比例函数中有关面积的问题, 往往能化繁为简、 化难为易。 主要题目类型如下: 、已知面积,求 k(或求反比例函数表达式) 、已知反比例函数表达式(即已知 k),求面积。 、过双曲线(两分支)上任意一点,作两坐标(或一条坐标)轴的垂线,该点不垂足、坐
9、标原点构成矩形(或直角三角形)面积的大小。 【典例】 例 1(2020 秋兰州期末)如图,一次函数 ykx+b(k0)与反比例函数 = 的图象在第一象限交于 A、B 两点,A 点的坐标为(m,4) ,B 点的坐标为(3,2) ,连接 OA、OB,过 B 作 BDy 轴,垂足为 D,交 OA 于 C若 OCCA, (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)求AOB 的面积; (3)在直线 BD 上是否存在一点 E,使得AOE 是以 AO 为直角边的直角三角形,直接写出所有可能的E 点坐标 例 2(2020 秋昌图县期末)如图,一次函数 y1kx+b 的图象与反比例函数 y2=6的图象交于 A
10、(2,m) ,B(n,1)两点,连接 OA,OB (1)求这个一次函数的表达式; (2)求OAB 的面积; (3)问:在直角坐标系中,是否存在一点 P,使以 O,A,B,P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【随堂练习】 1 (2020 秋太原期末)如图,在同一平面直角坐标系中,直线 yx+2 和双曲线 y=8相交于 A、B 两点 (1)连结 AO、BO,求出AOB 的面积 (2)已知点 E 在双曲线 y=8上且横坐标为 1,作 EF 垂直于 x 轴垂足为 F,点 H 是 x 轴上一点,连结EH 交双曲线于点 I,连结 IF 并延长交 y 轴于点
11、 G,若点 G 坐标为(0,85) ,请求出 H 点的坐标 (3)已知点 M 在 x 轴上,点 N 是平面内一点,以点 O、E、M、N 为顶点的四边形是菱形,请你直接写出 N 点的坐标 综合运用 1(2020 秋岳麓区校级月考) 当 k0 时, 函数 y=与 ykx 在同一平面直角坐标系内的大致图象是 ( ) A B C D 2 (2020 秋舞阳县期末)关于反比例函数 = 3的图象的性质,下面说法正确的是( ) Ay 随 x 的增大而减小 By 随 x 的增大而增大 C在每个象限内,y 随 x 的增大而减小 D在每个象限内,y 随 x 的增大而增大 3 (2020霍林郭勒市校级模拟)如果反比
12、例函数 =2(a 是常数)的图象在第一、三象限,那么 a 的取值范围是 4(2020 春越秀区校级期中) 一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y=的图象在第一象限交于点 A (3,2) ,与 y 轴的负半轴交于点 B,且 OB4 (1)求函数 y=和 ykx+b 的解析式; (2)请利用两个函数的完整图象,直接写出不等式kx+b 的解集 5 (2020 春新蔡县期末)如图,已知一次函数 yx+2 与反比例函数 y=的图象交于 A,B 两点,与 x轴交于点 M,且点 A 的横坐标是2,B 点的横坐标是 4 (1)求反比例函数的解析式; (2)求AOM 的面积; (3)根据图象直接写出反比例
13、函数值大于一次函数值时 x 的取值范围 6 (2020 秋通川区校级月考)已知:如图,一次函数 y2x+10 的图象与反比例函数 y=的图象相交于A、B 两点(A 在 B 的右侧) ,点 A 横坐标为 4 (1)求反比例函数解析式及点 B 的坐标; (2)观察图象,直接写出关于 x 的不等式2x+100 的解集; (3)反比例函数图象的另一支上是否存在一点 P,使PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 第第 4 讲讲 反比例函数反比例函数 知识点 1 反比例函数的概念及用待定系数法求反比例 1反比例函数的概念 一般地,函数xky
14、 (k 是常数,k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1 kxy的形式。自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。 2反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数xky 中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标,即可求出 k 的值,从而确定其解析式。 【典例】【典例】 例 1(2020新宾县四模)下列函数是 y 关于 x 的反比例函数的是( ) Ay=1+1 By=12 Cy= 12 Dy= 2 【解答】解:A、y=1+1是 y 与 x+1 成反比例,故此选项不合题意; B、y=12,是 y 与 x2成反比例,不符合反比例函数的
15、定义,故此选项不合题意; C、y= 12,符合反比例函数的定义,故此选项符合题意; D、y= 2是正比例函数,故此选项不合题意 故选:C 【方法总结】【方法总结】 此题主要考查了反比例函数的定义,正确把握定义是解题关键 例 2(2020 春甘南县期中)下列各选项中,两个量成反比例关系的是( ) A正方形的边长和面积 B圆的周长一定,它的直径和圆周率 C速度一定,路程和时间 D总价一定,单价和数量 【解答】解:A、正方形的面积(边长)2,两个量不成反比例函数,故此选项不合题意; B、圆的周长 C2r,周长一定,圆周率一定,不成反比例函数,故此选项不合题意; C、路程速度 时间,速度一定,路程和时
16、间成正比例关系,故此选项不合题意; D、总价单价 数量,总价一定,单价和数量成反比例关系,故此选项符合题意; 故选:D 【方法总结】【方法总结】 此题主要考查了反比例函数定义,关键是掌握形如 y=(k 为常数,k0)的函数称为反比例函数 例 3(2020上海)已知反比例函数的图象经过点(2,4) ,那么这个反比例函数的解析式是( ) Ay=2 By= 2 Cy=8 Dy= 8 【解答】解:设反比例函数解析式为 y=, 将(2,4)代入,得:4=2, 解得 k8, 所以这个反比例函数解析式为 y= 8, 故选:D 【方法总结】【方法总结】 本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式,用待定系数法求
17、反比例函数的解析式要注意: (1)设出含有待定系数的反比例函数解析式 y=(k 为常数,k0) ; (2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到待定系数的方程; (3)解方程,求出待定系数; (4)写出解析式 例 4(2020和平区模拟)已知 y 是 x 的反比例函数,并且当 x2 时,y6,则 y 关于 x 的函数解析式为( ) Ay=112 By=3 Cy3x Dy=12 【解答】解:设 y=, x2,y6, 6=2,解得 k12, y 关于 x 的函数解析式为 y=12 故选:D 【方法总结】【方法总结】 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式:先设出含有待定系数的反比例
18、函数解析式 y=(k 为常数,k0) ,然后把一组已知的对应值代入求出 k,从而得到反比例函数解析式 【随堂练习】【随堂练习】 1 (2020 春泰兴市月考)下列函数:yx2,y=3,yx1,y=2+1,y 是 x 的反比例函数的个数有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【解答】解:yx2,y=3,yx1,y=2+1,y 是 x 的反比例函数的是:y=3,yx1,共 2 个 故选:C 2 (2020复兴区一模)下列关系式中,y 是 x 反比例函数的是( ) Ay=13x By= 3 Cy3x2 Dy6x+1 【解答】解:A、不是反比例函数,故此选项错误; B、是反比例函数,故此选项
19、正确; C、不是反比例函数,故此选项错误; D、不是反比例函数,故此选项错误; 故选:B 3 (2020铜山区二模)反比例函数 y=经过点(2,3) ,则 k 的值是( ) A2 B3 C5 D6 【解答】解:反比例函数 y=经过点(2,3) ,则有 3=2, k6 故选:D 4 (2020 春嘉兴期末)已知反比例函数的图象经过点(1,3) ,则这个反比例函数的表达式为( ) Ay= 3 By=3 Cy=13 Dy= 13 【解答】解:设该反比例函数的解析式为:y=(k0) 把(1,3)代入,得 3=1, 解得 k3 则该函数解析式为:y=3 故选:B 知识点 2 反比例的图象及其性质 (1)
20、反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线,有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x0,函数 y0,所以,它的图象不 x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达丌到坐标轴。 (2)反比例函数的性质 【典例】 例 1(2020 秋南开区期末)已知 k10k2,则函数 yk1x 和 y=2的图象在同一平面直角坐标系中大致位置是( ) A B C D 【解答】解:k10k2, 函数 yk1x 的经过第二、四象限,反比例和 y=2的图象分布在第一、三象限 故选:B 【方法总结】 本题考查了反比例函数的图象:反比例
21、函数 y=(k0)为双曲线,当 k0 时,图象分布在第一、三象限;当 k0 时,图象分布在第二、四象限也考查了一次函数图象 例 2(2020 秋沈河区期末)已知反比例函数 y= 6,下列说法中正确的是( ) A该函数的图象分布在第一、三象限 B点(2,3)在该函数图象上 Cy 随 x 的增大而增大 D该图象关于原点成中心对称 【解答】解:A反比例函数 y= 6中60, 该函数的图象在第二、四象限,故本选项不符合题意; B把(2,3)代入 y= 6得:左边3,右边3,左边右边, 所以点(2,3)不在该函数的图象上,故本选项不符合题意; C反比例函数 y= 6中60, 函数的图象在每个象限内,y
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