2022年中考数学一轮复习《第3讲 一次函数》讲义(含答案)尖子专用
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1、第第 3 3 讲讲 一次函数一次函数 知识点 1 一次函数的概念图像性质 1、一次函数的定义 一般地, 形如ykxb(k,b是常数, 且 k0) 的函数, 叫做一次函数, 其中 x 是自变量。 当0b 时,一次函数ykx,又叫做正比例函数。 一次函数的解析式的形式是ykxb,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式 当0b ,0k 时,ykx仍是一次函数 当0b ,0k 时,它丌是一次函数 正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数 注:一次函数一般形式 y=kx+b (k 丌为零) k 丌为零 x 指数为 1 b 取任意实数 2、一次函数图象性质 3、正比例函数和一次
2、函数及性质 b0 b0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升,y 随 x 的增大而增大 k0 时,直线经过一、三象限; k0,y 随 x 的增大而增大; (从左向右上升) k0时, 将直线y=kx的图象向上平移b个单位; b0 b0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升,y 随 x 的增大而增大 k0 时,直线经过一、三象限; k0,y 随 x 的增大而增大; (从左向右上升) k0时, 将直线y=kx的图象向上平移b个单位; b0 时, 将直线 y=kx 的图象向下平移b个单位. 例 2 (2020 秋碑林区
3、校级期中)已知点(2,y1) , (1,y2) , (1,y3)都在直线 y3x+b 上,则 y1、y2、y3的值的大小关系是 y2y3y1 (用“”号连接) 【解答】解:k30, y 随 x 的增大而增大, 又112, y2y3y1 故答案为:y2y3y1 【方法总结】 本题考查了一次函数的性质,牢记“k0,y 随 x 的增大而增大;k0,y 随 x 的增大而减小”是解题的关键 例 3(2020 秋福田区期中)一次函数 y1ax+b 与一次函数 y2bxa 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( ) A B C D 【解答】解:A、由 y1的图象可知,a0,b0;由 y2的图象可知,b0,a0
4、,即 a0,两结论矛盾,故错误; B、由 y1的图象可知,a0,b0;由 y2的图象可知,b0,a0,即 a0,两结论矛盾,故错误; C、由 y1的图象可知,a0,b0;由 y2的图象可知,b0,a0,即 a0,两结论相矛盾,故错误; D、由 y1的图象可知,a0,b0;由 y2的图象可知,b0,a0,即 a0,两结论符合,故正确 故选:D 【方法总结】 此题主要考查了一次函数的图象性质,要掌握它的性质才能灵活解题一次函数 ykx+b 的图象有四种情况: 当 k0,b0,函数 ykx+b 的图象经过第一、二、三象限; 当 k0,b0,函数 ykx+b 的图象经过第一、三、四象限; 当 k0,b
5、0 时,函数 ykx+b 的图象经过第一、二、四象限; 当 k0,b0 时,函数 ykx+b 的图象经过第二、三、四象限 例 4 (2020 秋武侯区校级期中)若一次函数 y(k2)x+3k 的图象不经过第四象限,则 k 的取值范围是 2k3 【解答】解:当一次函数 y(k2)x+3k 的图象经过第一、三象限时, 203 = 0, k3; 当一次函数 y(k2)x+3k 的图象经过第一、二、三象限时, 203 0, 2k3 综上,k 的取值范围是 2k3 故答案为:2k3 【方法总结】 本题考查了一次函数图象与系数的关系,分一次函数图象经过第一、三象限及一次函数图象经过第一、二、三象限两种情况
6、,求出 k 的取值范围(或 k 的值)是解题的关键 例 5(2020 秋三水区校级期中)已知一次函数 y(2m+1)x+3+m (1)若 y 随 x 的增大而减小,求 m 的取值范围; (2)若图象经过点(1,1) ,求 m 的值,画出这个函数图象 【解答】解: (1)由题意得:2m+10, 解得:m12 (2)将点(1,1)代入可得:1(2m+1)+3+m, 解得:m1, y3x+4, 令 x0,则 y4, 图象经过点(1,1) , (0,4) , 如图: 【方法总结】 本题考查待定系数法求函数解析式,一次函数图象上点的坐标特征,一次函数的图象和性质,注意掌握解答此类题目的一般步骤 【随堂练
7、习】 1 (2020 秋寿阳县期中)若函数 y(m3)x|m2|+3 是一次函数,则 m 的值为 1 【解答】解:由题意得: |m2|1,且 m30, 解得:m1, 故答案为:1 2 (2020济南)若 m2,则一次函数 y(m+1)x+1m 的图象可能是( ) A B C D 【解答】解:m2, m+10,1m0, 所以一次函数 y(m+1)x+1m 的图象经过一,二,四象限, 故选:D 3 (2020 秋宁明县期中)已知一次函数 y(2m+1)x+m3,y 随着 x 的增大而减小,则 m 的取值范围是 m12 【解答】解:y 随着 x 的增大而减小, 2m+10, m12 故答案为:m12
8、 4 (2020 秋太原期末)在同一直角坐标系中,一次函数 ykx+b 和 ybx+k 的图象可能正确的是( ) A B C D 【解答】解:A、一条直线反映 k0,b0,一条直线反映 k0,b0,故本选项错误; B、一条直线反映出 k0,b0,一条直线反映 k0,b0,一致,故本选项正确; C、一条直线反映 k0,b0,一条直线反映 k0,b0,故本选项错误; D、一条直线反映 k0,b0,一条直线反映 k0,b0,故本选项错误 故选:B 知识点 2 用待定系数法求函数解析式及直线的位置关系 1、直线11bxky(01k)与22bxky(02k)的位置关系 (1)两直线平行21kk 且21b
9、b (2)两直线相交21kk (3)两直线重合21kk 且21bb (4)两直线垂直121kk 2、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤: (1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式; (2)将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程; (3)解方程得出未知系数的值; (4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 【典例】【典例】 例 1(2020 秋宁化县期中)若函数 y4x1 与 yx+a 的图象交于 x 轴上一点,则 a 的值为( ) A4 B4 C14 D4 【解答】解:函数 y4x1 与 yx+a 的图象交于
10、x 轴上一点, 令两方程中 y0,即 4x10, 解得:x=14, 把(14,0)代入 yx+a, 解得:a=14, 故选:C 【方法总结】【方法总结】 本题考查了一次函数与二元一次方程组,是基础题型,关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征 例 2(2020 秋南关区校级期末)直线 ykx+b 与直线 y2x+2021 平行,且与 y 轴交于点 M(0,4) ,则其函数关系式是( ) Ay2x+2020 By2x+4 Cy2x+4 Dy2x2020 【解答】解:直线 ykx+b 与 y2x+2021 平行, k2, 点 M(0,4)在直线 y2x+b 上, b4, 所求直线解析式为 y2x+4
11、故选:B 【方法总结】【方法总结】 本题考查了两直线相交或平行问题:两条直线的交点坐标,就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解;若两条直线是平行的关系,那么他们的自变量系数相同,即 k 值相同 例 3(2020 春西丰县期末)如图,一次函数 ykx+b 的图象经过 A(2,4) ,B(2,2)两点,与 y 轴交于点 C (1)求 k,b 的值,并写出一次函数的解析式; (2)求点 C 的坐标 【解答】解: (1)把 A(2,4) ,B(2,2)代入 ykx+b 得:2 + = 42 + = 2,解得 =32 = 1, 一次函数的解析式为:y=32x+1; (2)把 x
12、0 代入 y=32x+1 中得:y1, C(0,1) 【方法总结】【方法总结】 本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式,一次函数图象上点的坐标特征,解此题的关键是熟练掌握待定系数法 【随堂练习】【随堂练习】 1 (2020 春安陆市期末)已知一次函数的图象过点(3,5)与点(4,9) ,则这个一次函数的解析式为 y2x1 【解答】解:设一次函数为 ykx+b(k0) , 因为它的图象经过(3,5) , (4,9) , 所以3 + = 54 + = 9 解得: = 2 = 1, 所以这个一次函数为 y2x1, 故答案为 y2x1 2 (2020 春河北期末)若直线 yk1x+2 与直线 yk
13、2x4 的交点在 x 轴上,则12的值为( ) A2 B2 C12 D12 【解答】解:令 y0,则 k1x+20, 解得 x= 21, k2x40, 解得 x=42, 两直线交点在 x 轴上, 21=42, 12= 12 故选:C 【点评】本题考查了两直线相交的问题,分别表示出两直线与 x 轴的交点的横坐标是解题的关键 知识点 3 一次函数的实际应用 一次函数的应用涉及问题: 1.分段函数问题 分段函数是在丌同区间有丌同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又符合实际。 2.函数的多变量问题 解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然
14、后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数。 3.概括整合 (1)简单的一次函数问题:建立函数模型的方法;分段函数思想的应用。 (2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。 【典例】【典例】 例 1 (2020丰台区模拟)弹簧原长(不挂重物)15cm,弹簧总长 L(cm)与重物质量 x(kg)的关系如下表所示: 弹簧总长 L(cm) 16 17 18 19 20 重物重量 x(kg) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 当重物质量为 5kg(在弹性限度内)时,弹簧总长 L(cm)是( ) A22.5 B25 C27.5 D30 【解答】解:设弹簧总长 L(cm)与重物质量 x(kg)的关系
15、式为 Lkx+b, 将(0.5,16) 、 (1.0,17)代入,得:0.5 + = 16 + = 17, 解得: = 2 = 15, L 与 x 之间的函数关系式为:L2x+15; 当 x5 时,L25+1525(cm) 故重物为 5kg 时弹簧总长 L 是 25cm, 故选:B 【方法总结】【方法总结】 此题主要考查根据实际问题列一次函数关系式,解决本题的关键是得到弹簧长度的关系式,难点是得到 x千克重物在原来基础上增加的长度 例 2 (2020 春东坡区期末) 一辆慢车和一辆快车沿相同的路线由甲到乙匀速前进, 甲、 乙间的路程为 200km,他们离甲地的路程 y(km)与慢车出发后的时间
16、 x(h)的函数图象如图所示 (1)慢车的速度是 40 km/h (2)求慢车出发后多长时间两车第一次相遇? 【解答】解: (1)由图象可得, 慢车的速度为 200540(km/h) , 故答案为:40; (2)设慢车出发后 ah 两车第一次相遇, 快车的速度为 200(42)100(km/h) , 100(a2)40a, 解得,a=103, 答:慢车出发后103小时两车第一次相遇 【方法总结】【方法总结】 本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答 例 3(2020 春永春县期末)轿车和货车同时从甲地出发驶往乙地,轿车到达乙地后立即返回甲地,货车到达乙地后停止如
17、图所示,y1、y2分别表示货车、轿车离甲地的距离(千米)与轿车所用时间(小时)的关系 (1)求 y1与 x 之间的函数关系式; (2)当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时,求相遇处到甲地的距离 【解答】解: (1)设 y1与 x 之间的函数关系式是 y1kx, 2k90, 解得,k45, 即 y1与 x 之间的函数关系式是 y145x; (2)由图象可得, 轿车返回时的速度为:90(2.51.5)90(千米/小时) , 设当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时,货车行驶的时间为 ah, 45a+90(a1.5)90, 解得,a=53, 4553=75(千米) , 即相遇处到甲地的距离是 75
18、 千米 【方法总结】【方法总结】 本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答 【随堂练习】【随堂练习】 1 (2020 春潮安区期末) 一个弹簧不挂重物时长 10cm, 挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比,如果挂上 1kg 的物体后,弹簧伸长 3cm,则弹簧总长 y(单位:cm)关于所挂重物 x(单位:kg)的函数关系式为 y3x+10 (不需要写出自变量取值范围) 【解答】解:弹簧总长 y(单位:cm)关于所挂重物 x(单位:kg)的函数关系式为 y3x+10, 故答案为:y3x+10 2 (2020 春南平期末)如图的图象反映的过程是:张明从家乘坐公交
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