2022年中考数学一轮复习《第8讲 圆》讲义(含答案)尖子专用
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1、 第第 8 讲讲 圆圆 知识点 1 圆的有关性质 1. 基本性质 圆心角的度数和它所对弧的度数相等; 同圆或等圆的半径相等; 圆既是轴对称图形(无数条对称轴) ,又是中心对称图形,具有旋转丌变性; 圆内接四边形的对角互补. 2. 圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量也分别相等. 3. 圆周角 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等; 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是 90,90的圆周角所对的弦
2、是直径; 推论 3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 注意:等弧指的是能互相重合的弧,长度相等的弧丌一定是等弧. 【典例】 例 1(2020 秋滨海新区期中)如图,MN 是O 的直径,点 A 是半圆上一个三等分点,点 B 是的中点,点 B是点 B 关于 MN 的对称点,O 的半径为 1,则 AB的长等于( ) A1 B2 C3 D2 例 2(2020 秋高新区期中)如图,AB 为O 的直径,C,D 为圆上的两点,OCBD,弦 AD,BC 相交于点 E (1)求证:= ; (2)若 CE2,EB6,求O 的半径 【随堂练习】 1 (2020 秋青田县期末)如图,
3、在O 中,ABCD求证:ADBC 2 (2021硚口区模拟)如图,O 中的弦 ABCD,AB 与 CD 相交于点 E求证: (1)ACBD; (2)CEBE 知识点 2 垂径定理及其推论 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论:平分弦(丌是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 【典例】【典例】 例 1(2019 秋温州月考)如图,AB 是O 直径,弦 CDAB 于点 E,过点 C 作 DB 的垂线,交 AB 的延长线于点 G,垂足为点 F,连结
4、AC (1)求证:ACCG; (2)若 CD8,OG10,求O 的半径 例 2(2020东莞市一模)如图,在O 中,半径为 5,弦 AB6,点 C 在 AB 上移动,连接 OC,则 OC 的最小值为( ) A3 B4 C5 D6 【随堂练习】【随堂练习】 1 (2020海淀区校级模拟)如图,已知O 的半径为 6,弦 AB,CD 所对的圆心角分别是AOB,COD,若AOB 与COD 互补,弦 CD6,则弦 AB 的长为( ) A6 B8 C33 D63 2 (2020河北模拟)如图所示,在O 中,AB 为弦,OCAB 交 AB 于点 D且 ODDCP 为O 上任意一点,连接 PA,PB,若O 的
5、半径为 1,则 SPAB的最大值为( ) A1 B233 C334 D332 知识点 3 圆的切线 1. 点、直线不圆的位置关系 设O 的半径为 r,点 P 到圆心 O 的距离为 d1,圆心 O 到直线 l 的距离为 d2. 点 P 在O 外rd1; 点 P 在O 上rd1; 点 P 在O 内rd1; 直线 l 和O 相交rd2; 直线 l 和O 相切rd2; 直线 l 和O 相离rd2. 2. 切线的性质不判定 切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径. 推论:经过圆心且垂直于切线的直径必过切点; 经过切点且垂直于切线的切线的直线必过圆心. 切线的判定方法: 和圆有唯一公共点的直线是圆的切线;
6、 如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径,那么这条直线是圆的切线; 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 常做辅助线:连接圆心和切点. 3. 切线长即切线长定理 切线长:经过圆外一点的圆的切线上,这点不切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长. 切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,他们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 【典例】 例 1(2020 秋白云区期末)如图,已知 RtABC 中,C90,A30,AC6,以点 B 为圆心,3为半径作B,则点 C 与B 的位置关系是( ) A点 C 在B 内 B点 C 在B 上 C点 C 在B 外 D无法确定 例 2(
7、2020 秋河东区期末)如图,菱形 OABC 的顶点 A,B,C 在O 上,过点 B 作O 的切线交 OA 的延长线于点 D若O 的半径为 1,则 BD 的长为( ) A1 B2 C3 D2 例 3(2020 秋和平区期末)已知O 的直径 AB4,C 为O 上一点,AC2 (1)如图,点 P 是上一点,求APC 的大小; (2)如图,过点 C 作O 的切线 MC,过点 B 作 BDMC 于点 D,BD 与O 交于点 E,求DCE的大小及 CD 的长 例 4(2020 秋集贤县期末)如图,在ABC 中,ABAC,BAC54,以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点 D、E,过点 B 作直线
8、 BF,交 AC 的延长线于点 F (1)求证:BECE; (2)若 AB6,求弧 DE 的长; (3)当F 的度数是多少时,BF 与O 相切,证明你的结论 【随堂练习】 1 (2020 秋永年区期末) 若点 B (a, 0) 在以 A (1, 0) 为圆心, 2 为半径的圆内, 则 a 的取值范围为 ( ) Aa1 Ba3 C1a3 Da1 且 a0 2(2020 秋绥棱县期末) 如图, AB 是O 的直径, CD 切O 于点 C, 若BCD25, 则B 等于 ( ) A25 B65 C75 D90 3 (2020 秋新抚区期末)如图,AB 是O 的直径,点 C 为O 上一点,CF 为O 的
9、切线,OEAB 于点O,分别交 AC,CF 于 D,F 两点 (1)求证:EDEC; (2)若 EC1,A30,求图中阴影部分的面积 4 (2020 秋金昌期末)已知:如图,ABC 中,ABAC,以 AB 为直径的O 交 BC 于点 P,PDAC 于 点 D (1)求证:PD 是O 的切线; (2)若CAB120,AB6,求 BC 的值 知识点 4 三角形的外心与内心 1. 确定圆的条件 丌在同一直线上的三个点确定一个圆. 反证法:丌直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论丌成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作的假设丌正确,从而得到原命题题成立,这种判定方法叫做反证法. 2. 三角形
10、的外心 外心:三角形三边垂直平分线的交点,即外接圆的圆心.如图: 性质:外心到三角形三个顶点的距离相等. 3. 三角形的内心 内心:三角形三个内角的平分线的交点,即内切圆的圆心.如图: 性质:内心到三角形三边的距离相等. 拓展:直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和不斜边的差的一半. 【典例】 例 1(2020 秋常熟市期中)如图,在平面直角坐标系中,ABC 三个顶点的坐标分别是点 A(3,0) 、点 B(1,2) 、点 C(3,2) ,则ABC 的外心的坐标是( ) A (0,1) B (0,0) C (1,1) D (1,2) 例 2(2020随州)设边长为 a 的等边三角形的高、内切圆的
11、半径、外接圆的半径分别为 h、r、R,则下列结论不正确的是( ) AhR+r BR2r Cr=34a DR=33a 【随堂练习】 1 (2020道外区三模)如图,ABC 内接于O,ABAC,直径 AD 交 BC 于点 E,若 DE1,cosBAC=23,则弦 BC 的长为 2 (2020济宁)如图,在ABC 中,点 D 为ABC 的内心,A60,CD2,BD4则DBC 的面积是( ) A43 B23 C2 D4 知识点 5 与圆有关的计算 1. 多边形不圆 在正 n 变形中,Rn为正 n 边形的半径,有下列关系: 边长:an=2Rnsin180n; 周长:Pn=nan; 边心距:rn=Rnco
12、s180n; 面积:Sn=12anRnn; 内角度数:(n2)180n; 外角度数:360n; 中心角度数:360n. 2. 弧长不扇形的面积 若一条弧所对的圆心角是 n,半径是 R,弧长 l=nR180. 若一个扇形的圆心角是 n,半径是 R,弧长为 l,则 S扇形=nR360=12lR. 拓展:S弓形=S扇形S. 3. 圆锥的侧面积不全面积 若一个圆锥的底面半径为 r,母线长为 a,则 S全=S侧+S底=ra+r. 【典例】 例 1 (2020姑苏区一模)如图,扇形 OAB 中,AOB90,以 AO 为直径作半圆,若 AO1,则阴影部分的周长为( ) A B+1 C2+1 D2+2 例 2
13、 (2020吴江区一模)如图 A、B、C 在O 上,连接 OA、OB、OC,若BOC3AOB,劣弧 AC 的度数是 120o,OC23则图中阴影部分的面积是( ) A123 B23 C323 D433 【随堂练习】 1 (2020 秋九龙坡区校级月考)如图,扇形的圆心角为 90,半径 OC4,AOC30,CDOB 于点 D,则阴影部分的面积是 2 (2020益阳)小明家有一个如图所示的闹钟,他观察发现圆心角AOB90,测得的长为 36cm,则的长为 cm 综合运用 1 (2020资中县一模)已知O 中最长的弦长 8cm,则O 的半径是( ) A2cm B4cm C8cm D16cm 2 (20
14、20 秋定西期末)在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P(4,3)在O 内,则O 的半径 r 的取值范围是( ) A0r4 B3r4 C4r5 Dr5 3 (2020 春沙坪坝区校级月考)如图,一张扇形纸片 OAC,AOC120,OA8,连接 AB,BC,AC,若 OAAB,则图中阴影部分的面积为 (结果保留 ) 4 (2020 秋崆峒区期末)如图,AB,CD 为O 内两条相交的弦,交点为 E,且 ABCD,求证:ADBC 5 (2020 秋路北区期末)如图,AD 是O 的弦,AC 是O 直径,O 的切线 BD 交 AC 的延长线于点 B,切点为 D,DAC30 (1)求证:ADB 是等腰三角
15、形; (2)若 BC= 3,则 AD 的长为 6. (2020 秋同心县期末)如图,AB 是O 的直径,点 F、C 是半圆弧 ABC 上的三等分点,连接 AC,AF,过点 C 作 CDAF 交 AF 的延长线于点 D,垂足为 D (1)求证:CD 是O 的切线; (2)若 AB4,求 AC 的长 第第 8 讲讲 圆圆 知识点 1 圆的有关性质 1. 基本性质 圆心角的度数和它所对弧的度数相等; 同圆或等圆的半径相等; 圆既是轴对称图形(无数条对称轴) ,又是中心对称图形,具有旋转丌变性; 圆内接四边形的对角互补. 2. 圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的
16、弦也相等. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量也分别相等. 3. 圆周角 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等; 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是 90,90的圆周角所对的弦是直径; 推论 3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 注意:等弧指的是能互相重合的弧,长度相等的弧丌一定是等弧. 【典例】 例 1(2020 秋滨海新区期中)如图,MN 是O 的直径,点 A 是半圆上一个三等分点,点 B 是的中点,点 B是点 B 关于 MN 的对称点,
17、O 的半径为 1,则 AB的长等于( ) A1 B2 C3 D2 【解答】解:连接 OB、OB, 点 A 是半圆上一个三等分点, AON60, 点 B 是的中点, BON30, 点 B是点 B 关于 MN 的对称点, BON30, AOB90, AB= 12+ 12= 2, 故选:B 【方法总结】 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理,掌握在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键 例 2(2020 秋高新区期中)如图,AB 为O 的直径,C,D 为圆上的两点,OCBD,弦 AD,BC 相交于点 E (1)求证:= ; (2)
18、若 CE2,EB6,求O 的半径 【解答】 (1)证明:OCOB, OBCOCB, OCBD, OCBCBD, OBCCBD, = ; (2)连接 AC, CE2,EB6, BC8, = , CADABC, ACBACB, ACEBCA, =,即2=8, 解得,AC2, AB 是直径, ACB90, AB= 2+ 2=45, O 的半径为 25 【方法总结】 本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质,根据相似三角形的性质求出 AC 的长是解题的关键 【随堂练习】 1 (2020 秋青田县期末)如图,在O 中,ABCD求证:ADBC 【解答】证明:ABCD, = , = ,即= , ADB
19、C 2 (2021硚口区模拟)如图,O 中的弦 ABCD,AB 与 CD 相交于点 E求证: (1)ACBD; (2)CEBE 【解答】证明: (1)ABCD, = , 即+ = + , = , ACBD; (2)= , ADCDAB, EAED, ABCD, 即 AE+BECE+DE, CEBE 知识点 2 垂径定理及其推论 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论:平分弦(丌是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 【典例】【典例】 例 1(20
20、19 秋温州月考)如图,AB 是O 直径,弦 CDAB 于点 E,过点 C 作 DB 的垂线,交 AB 的延长线于点 G,垂足为点 F,连结 AC (1)求证:ACCG; (2)若 CD8,OG10,求O 的半径 【解答】 (1)证明:DFCG,CDAB, DEBBFG90, DBEGBF, DG, AD, AG, ACCG (2)解:设O 的半径为 r则 AGOA+OGr+10, CACG,CDAB, AEEG=+102,ECED4, OEAEOA=102, 在 RtOEC 中,OC2OE2+EC2, r2(102)2+42, 解得 r=10+4373或104373(舍弃) , O 的半径为
21、437103 【方法总结】【方法总结】 本题考查垂径定理,勾股定理,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数构建方程解决问题 例 2(2020东莞市一模)如图,在O 中,半径为 5,弦 AB6,点 C 在 AB 上移动,连接 OC,则 OC 的最小值为( ) A3 B4 C5 D6 【解答】解:连接 OA,过点 O 作 OHAB 于 H OHAB, AHHB3,AHO90, OA5, OH= 2 2= 52 32=4, 根据垂线段最短可知 OC 的最小值4, 故选:B 【方法总结】【方法总结】 本题考查垂径定理,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅
22、助线,构造直角三角形解决问题 【随堂练习】【随堂练习】 1 (2020海淀区校级模拟)如图,已知O 的半径为 6,弦 AB,CD 所对的圆心角分别是AOB,COD,若AOB 与COD 互补,弦 CD6,则弦 AB 的长为( ) A6 B8 C33 D63 【解答】解:作 OEAB 于点 E, O 的半径为 6,弦 CD6, OCODCD, DOC 是等边三角形, DOC60, AOB 与COD 互补, AOB120, OAOB, OABOBA30, OA6,OEAB, AEOAcos30632=33, AB2AE63, 故选:D 2 (2020河北模拟)如图所示,在O 中,AB 为弦,OCAB
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