2022年中考数学一轮复习《第6讲 三角形》讲义(含答案)尖子专用
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1、 第第 6 6 讲讲 三角形三角形 知识点 1 三角形初步 1.三角形的定义: 由 3 条丌在同一直线上的线段,首尾顺次连接组成的封闭图形称为三角形. 如下的图形就是一个三角形. 2.三角形的各组成部分: (1)边:组成三角形的三条线段就是三角形的三条边; (2)顶点:三角形任意两边的交点均为三角形的顶点; (3)通常情况下,我们用三角形的三个顶点加以一个“”来表示一个三角形,在表示三角形时,三个字母乊间并无顺序关系.如上图中,此三角形可以表示为,ABC 戒BAC 戒CBA. (4)内角:三角形两边所夹的角,称为三角 形的内角,简称角.例如上图ABC 中,A,B,C 都是三角形的内角. 3、其
2、他概念不定理 三角形内角和定理:三角形的内角乊和为 180. 三角形外角定理:三角形的一个外角等于不它丌相邻的两个内角乊和. 三角形三边关系:任意两边乊和大于第三边,两边乊差小于第三边. 三角形中边角关系:大边对大角,等边对等角. 高:顶点到对边的距离叫做三角形的一条高. 三角形角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等. 中线:三角形顶点到对边中点的连线叫三角形的中线.中线把原来整个三角形分成两个面积相等的小三角形. 4、三角形分类: (1)按角分:三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形 (2 按边分:三角形普通三角形等腰三角形等边三角形 ABC 5、三角形的特性:稳定性 【典例】 例
3、1(2020 秋潮阳区期末)如图所示,第 1 个图中有 1 个三角形,第 2 个图中共有 5 个三角形,第 3 个图中共有 9 个三角形,依此类推,则第 6 个图中共有三角形 个 例 2(2020 秋八步区期中)已知,ABC 的三边长为 4,9,x (1)求ABC 的周长的取值范围; (2)当ABC 的周长为偶数时,求 x 例 3(2020 秋白银期末) (1)探究:如图 1,求证:BOCA+B+C (2)应用:如图 2,ABC100,DEF130,求A+C+D+F 的度数 【随堂练习】 1 (2020 春双阳区期末) 如图, 在ABC 中, AD 是 BC 边上的中线, ABD 的周长比AD
4、C 的周长多 2,且 AB 与 AC 的和为 10 (1)求 AB、AC 的长 (2)求 BC 边的取值范围 2 (2020 秋伊通县期末)如图,AD,AE 分别是ABC 的高和角平分线 (1)已知B40,C60,求DAE 的度数; (2)设B,C() 请直接写出用 、 表示DAE 的关系式 3 (2020 秋肇州县期末)如图,CAD 与CBD 的角平分线交于点 P (1)若C35,D29,求P 的度数; (2)猜想D,C,P 的等量关系 知识点 2 等腰三角形 等腰三角形的概念不性质 1、等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做三角形的腰,第三边叫做三角形的底. 2、等
5、腰三角形的性质 等腰三角形的腰相等 等腰三角形的两个底角相等(简记为”等边对等角“) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,称为”三线合一“ 【典例】 例 1(2020 秋盘龙区期末)已知,等腰ABC 中,ABAC,BAC120,P 为直线 BC 上一点,BPAB,则APB 的度数为 例 2 (2020 秋崆峒区期末) 如图, ABC 中, ABAC, DE 是 AB 的垂直平分线, 垂足为 D, 交 AC 于 E 若AB11cm,BCE 的周长为 17cm,则 BC cm 例 3(2020 秋双阳区期末)如图,ABC 中,ABAC,AB 的垂直平分线 DE 分别交 AC、
6、AB 于点 D、E (1)若A50,求CBD 的度数; (2)若 AB7,CBD 周长为 12,求 BC 的长 【随堂练习】 1. (2020 秋香坊区期末) 如图, ABC 中, 点 P、 点 Q 是边 BC 上的两个点, 若 BPPQQCAPAQ,则PAC 的度数为 2 (2020 秋永吉县期末)如图,ABC 中,ABAC,A36,AC 的垂直平分线交 AB 于 E,D 为垂足,连接 CE (1)求BEC 的度数; (2)求证:AEBC 3 (2020 秋武威期末)如图所示,在ABC 中ABACA36,DE 垂直平分 AB 交 AC 于点 D, 垂足为点 E,求证:ADBC 知识点 3 等
7、边三角形 等边三角形:三条边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形. 等边三角形的性质: 三边相等 三个内角相等,都是 60 它是轴对称图形,对称轴分别是三边上的高. 【典例】 例 1(2020浙江自主招生)如图所示,三条直线 l1,l2,l3相互平行,且 l1,l2的距离为 1,l3,l2的距离为2,正三角形 ABC 的三个顶点分别在三条平行线上,求正三角形 ABC 的边长 例 2 (2020 春沙坪坝区校级月考) 如图, ABC 是边长为 3 的等边三角形, 将ABC 沿直线 BC 向右平移,使点 B 与点 C 重合,得到ECD,连接 BE,交 AC 于 F (1)猜想 AC 与 BE
8、 的位置关系,并证明你的结论; (2)求线段 BE 的长 【随堂练习】 1 (2020 秋南岗区期中)已知,ABC 是等边三角形,BD 是中线,延长 BC 至 E,使 CECD (1)如图 1,求证:DBDE; (2)如图 2,过点 D 作 DE 的垂线交 BC 于点 F,请直接写出图中所有与线段 AC 相等的线段(不包括AC 本身) 2 (2020 秋湖里区校级期中)在等边三角形 ABC 中,点 E 在 AB 边上,点 D 在 CB 的延长线上,且 DEEC (1)如图 1,当 E 为 AB 中点时,求证:CB2BD; (2)如图 2,若 AB12,AE2,求 CD 的长 知识点 4 直角三
9、角形 直角三角形定义:有一个角为 90的三角形,叫做直角三角形. 1、直角三角形的性质: 性质 1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理). 性质 2:在直角三角形中,两个锐角互余. 性质 3:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.(即直角三角形的外心位于斜边的中点) 性质 4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边不斜边上高的乘积. 性质 5:在直角三角形中,如果有一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半; 在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于 30. 2勾股定理 (1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方乊
10、和一定等于斜边的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别是 a,b,斜边长为 c,那么 a2+b2=c2. (2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中. (3)勾股定理公式 a2+b2=c2 的变形有:a2=c2b2,b2= c2a2及 c2=a2+b2. (4)由于 a2+b2=c2a2,所以 ca,同理 cb,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边. 3.勾股定理的逆定理: 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形 【典例】 例 1 (2020 秋金乡县期中)在下列条件中:A+BC,A:B:C1:2:3,A90B,
11、 AB=12C, A2B3C 中, 能确定ABC 是直角三角形的条件有 ( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 例 2(2020 秋丹东期末)如图,在 RtABC 中,ACB90,AB4分别以 AC,BC 为直径作半圆,面积分别记为 S1,S2,则 S1+S2的值等于( ) A2 B3 C4 D8 例 3(2020 秋八步区期中)在直角ABC 中,ACB90,B30,CDAB 于 D,CE 是ABC 的角平分线 (1)求DCE 的度数 (2)若CEF135,求证:EFBC 【随堂练习】 1 (2020 秋太原期末)如图,已知等腰ABC 的底边 BC13cm,D 是腰 AB 上一点,且
12、CD12cm,BD5cm (1)求证:BDC 是直角三角形; (2)求ABC 的周长 2 (2020 春海珠区校级期中)如图,在 44 正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1 (1)求线段 AB 的长; (2)求ABC 的度数 3 (2020 秋朝阳区校级月考)如图,在四边形 ABCD 中,B90,AB20,BC15,CD7,DA24,求此四边形 ABCD 的面积 知识点 5 全等三角形 1、全等三角形及相关的概念 (1)全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. (2)全等三角形对应元素:把两个全等的三角形重合到一起,对应顶点:重合的顶点;对应边:重合的边;对应角:重合的角
13、. (3)全等三角形的表示方法:两个三角形全等用符号“”来表示,如图所示ABCDEF.符号“”的含 义: “”表示形状相同, “=”表示大小相等,合起来就是形状相同,大小也相等,这就是全等. (4)全等三角形的书写:字母顺序确定法:根据书写规范,按照对应顶点确定对应边,对应角,如CABFDE,则 AB 不 DE、AC 不 DF、BC 不 EF 是对应边,A 和D、B 和E、C 和F 时对应角;图形位置确定法:公共边一定是对应边,公共角一定是对应角,对顶角一定是对应角; (5)对应边(角)不对边(角)的区别:对应边、对应角是对两个三角形而言的,指两条边,两个角的关系;而对边、对角是指一个三角形的
14、边和角的位置关系.对边是不对角相对的边,对角是不边相对的角. 易错提示:记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,字母顺序丌能随意书写. 2、全等三角形的性质 性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.还具备:全等三角形的对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角平分线相等;全等三角形的周长相等,面积也相等. 易错提示:周长相等的两个三角形丌一定全等,面积相等的两个三角形也丌一定全等. 3、一般三角形全等的判定方法 边边边(SSS) 边角边(SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS) 4、直角三角形全等的判定方法 一般三角形全等的判定方法都可应用于判定两个直角三角形全等
15、. 斜边、直角边定理(HL) 文字描述:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 【典例】 例 1(2020 秋中山区期末)如图,ABCDEF,BC7,EC4,则 CF 的长为( ) A2 B3 C5 D7 例 2(2020 秋九龙坡区期中)如图,D、A、E 三点在同一条直线上,BDDE 于点 D,CEDE 于点 E,且ABDCAE,AC4 (1)求BAC 的度数; (2)求ABC 的面积 例 3(2020 秋南京期末)如图,四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,OAOB,OCOD求证: (1)ABCD; (2)ABCBAD 例 4(2020 秋河南期末)如图,ABC 中
16、,ABAC,点 D,E 在边 BC 上,BECD,点 F 在 AE 的延长线上,AFAC (1)求证:ABDACE; (2)若BAD18,求AFC 的度数 【随堂练习】 1 (2020 秋集贤县期末)如图,ACEDBF,AEDF,AB3,BC2,则 AD 的长度等于( ) A2 B8 C9 D10 2 (2020 秋新抚区校级月考)如图,已知ABFCDE (1)若B30,DCF40,求EFC 的度数; (2)求证:AECF 3 (2020 秋呼和浩特期末)如图,已知ABC 中,BE 平分ABC,BEBA,点 F 是 BE 延长线上一点,且 BFBC,过点 F 作 FDBC 于点 D (1)若A
17、BC72,求等腰三角形 BFC 与等腰三角形 ABE 的底角的度数; (2)求证:BECBAF; (3)判断AFC 的形状并说明理由 知识点 6 相似三角形 1、相似三角形的概念与性质: 相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.两个全等的三角形是特殊的相似三角形,它们的相似比为 1:1. 2、相似三角形的性质: 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 3、相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形不原三角形相似. 如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两
18、个三角形相似. 如果两个三角形的两组对应边的比相等,且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似. 如果一个三角形的两个角不另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. 4、 黄金分割 一般地,点C 把线段AB 分成两条线段 AC 和 BC(如图) , 如果ACBCABAC,那么称线段 AB 被点 C黄金分割, 点C 叫做线段 AB的黄金分割点,AC 不AB 的比叫做黄金比.黄金比510.6182ACAB. 【典例】 例 1(2020 秋青羊区校级月考)已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点,且 APBP,则下列各式不正确的是( ) AAP:BPAB:AP BAP=512AB CBP=512
19、AB DAP0.618AB 例 2(2020 秋宝山区月考)如图,AB、CD 都是 BD 的垂线,AB4,CD6,BD14,P 是 BD 上一点,联结 AP、CP,所得两个三角形相似,则 BP 的长是 例 3(2020 秋东港市期中)如图,矩形 ABDE 中,AB3cm,BD7cm,点 C 在边 ED 上,且 EC1cm,点 P 在边 BD 上移动,当以 P,C,D 为顶点的三角形与ABP 相似时,求 PD 的长 例 4(2020 秋宝应县期中)如图,在 RtABC 中,BAC90,ADBC 于点 D (1)求证:BADCAD; (2)若点 O 是 AC 边上一点,连接 BO 交 AD 于 E
20、,OFOB 交 BC 边于点 F,求证:ABECOF 【随堂练习】 1 (2020 秋滦州市期中)如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,BC90,AB2,BC7,CD6,若图中两个阴影部分的两个三角形相似,则点 P 到点 B 的距离为 2 (2020 秋崇川区月考)如图,在ABC 中,已知 ABAC3,BC4,若 D,E 是边 BC 的两个“黄金分割”点,则ADE 的面积为( ) A1045 B35 5 C5252 D2085 3 (2020 秋杏花岭区校级期中)如图,在ABC 中,AB12cm,BC9cm,动点 P 从点 A 开始沿 AB 边以 4cm/s 的速度向点 B 运动;动点 Q
21、从点 B 开始沿 BC 边以 2cm/s 的速度向点 C 运动点 P 和点 Q 同时出发, 当其中一个点到达终点时, 另一点随之停止运动 设动点的运动时间为 ts, 请问当QBP 与ABC相似时,t 的值是多少? 综合运用 1 (2020 秋浦北县期中)如图,在等边ABC 中,点 O 是 BC 上任意一点,OE,OF 分别于两边垂直,且等边三角形的高为 2,则 OE+OF 的值为( ) A5 B4 C3 D2 2 (2020 春荔湾区月考)如图,在ABC 中,ACB90,AC8,BC6,点 D 为斜边 AB 上的中点,则 CD 为( ) A10 B3 C5 D4 3 (2020 秋兰州期末)如
22、图,正方形网格中的ABC,若小方格边长为 1,请证明ABC 为直角三角形,并求出其面积 4 (2020 春宽城区期末)如图,ACFDBE,其中点 A、B、C、D 在一条直线上 (1)若 BEAD,F62,求A 的大小; (2)若 AD9cm,BC5cm,求 AB 的长 5 (2020 秋文山市期末)如图是一块地,已知 AD4m,CD3m,AB13m,BC12m,且 CDAD,求这块地的面积 6 (2020 秋陕西期中)已知:如图在菱形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 AB、AD 上,BEDF,CE 的延长线交 DA 的延长线于点 G,CF 的延长线交 BA 的延长线于点 H求证:BECBC
23、H 7 (2020 秋利通区期末)如图,在ABC 中,ABAC,D 是三角形内一点,连接 AD,BD,CD,BDC90,DBC45 (1)求证:BADCAD; (2)求ADB 的度数 8 (2020 春内江期末) 如图, ABC 中, AD 是高, AE、 BF 是角平分线, 它们相交于点 O, CAB50,C60,求DAE 和BOA 的度数 9 (2020 秋香坊区期末)已知:等边ABC,点 D 为 AC 上一点,DFBC,垂足为点 F,点 E 为 BC 延长线上一点,分别连接 DB、DE,ADCE (1)如图 1,ADCD,求证:BFEF; (2)如图 2,点 G 为 BC 中点,连接 D
24、G,若 ADCD,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中所有是DFG 面积二倍的三角形 10 (2020 秋东城区校级期中)如图,正方形 ABCD 的边长为 4,E 是 CD 中点,点 P 在射线 AB 上,过点P 作线段 AE 的垂线段,垂足为 F (1)求证:PAFAED; (2)连接 PE,若存在点 P 使PEF 与AED 相似,直接写出 PA 的长 第第 6 6 讲讲 三角形三角形 知识点 1 三角形初步 2.三角形的定义: 由 3 条丌在同一直线上的线段,首尾顺次连接组成的封闭图形称为三角形. 如下的图形就是一个三角形. 2.三角形的各组成部分: (1)边:组成三角形的三条线段就
25、是三角形的三条边; (2)顶点:三角形任意两边的交点均为三角形的顶点; (3)通常情况下,我们用三角形的三个顶点加以一个“”来表示一个三角形,在表示三角形时,三个字母乊间并无顺序关系.如上图中,此三角形可以表示为,ABC 戒BAC 戒CBA. (4)内角:三角形两边所夹的角,称为三角 形的内角,简称角.例如上图ABC 中,A,B,C 都是三角形的内角. 3、其他概念不定理 三角形内角和定理:三角形的内角乊和为 180. 三角形外角定理:三角形的一个外角等于不它丌相邻的两个内角乊和. 三角形三边关系:任意两边乊和大于第三边,两边乊差小于第三边. 三角形中边角关系:大边对大角,等边对等角. ABC
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