2022年中考数学一轮复习《第12讲 图形变换》讲义(含答案)尖子专用
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1、第第 1 12 2 讲讲 图形变换图形变换 知识点 1 翻折变换 翻折就是将一个图形或图形的一部分沿着一条直线折叠。 【典例】 例 1(2020 春高新区期中)如图,将矩形 ABCD 的四个角向内翻折后,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH,EH6cm,EF8cm,则边 AB 的长度等于( ) A10cm B9.6cm C8.4cm D8cm 例 2(2020嘉兴模拟)如图,在矩形纸片 ABCD 中,已知 AD8,折叠纸片,使 AB 边与对角线 AC 重合,点 B 落在点 F 处,折痕为 AE,且 EF3,则 AB 的长为( ) A3 B4 C5 D6 例 3(2020 春鞍山期末)如图
2、,在矩形 ABCD 中,AD12,将A 向内翻折,使点 A 在 BC 上,记为 A,折痕为 DE (1)若点 A恰好是边 BC 的中点,请直接写出 AB 的长; (2)在(1)的条件下,若将B 沿 EA向内翻折,点 B 恰好落在 DE 上,记为 B,求出此时 AE 的长; (3)连结 CB,试判断 CB与 AB的数量关系 【随堂练习】 1(2020 秋崂山区期中)如图,RtABC 中,AB3,BC2,B90,将ABC 折叠,使 A 点与BC 的中点 D 重合,折痕为 MN,则线段 BN 的长为( ) A59 B43 C56 D53 2(2020 秋旌阳区校级月考)如图,在平面直角坐标系中,点
3、A(0,4),B(3,0),连接 AB,将AOB 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 x 轴上的点 A处,折痕所在的直线交 y 轴正半轴于点 C则 BC的长为( ) A332 B13 C352 D52 3(2020 秋昆都仑区期末)已知矩形 ABCD 中,AB4,BC8 (1)如图 1,点 P 从点 D 开始沿 DA 以每秒 1 个单位的速度移动,同时另一个点 Q 从点 B 开始在线段 BC 上以每秒 3 个单位的速度往返移动设 P,Q 运动时间为 t 秒,当 0t8 时,是否存在这样的时刻,四边形 DCQP 为平行四边形?若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由; (2)如图 2,
4、将矩形 ABCD 折叠,使点 B 与点 D 重合,点 A 与点 E 重合,展平后折痕为 MF一动点 N从点 D 出发,沿 DABCD,以每秒 1 个单位的速度移动一周,设 N 运动的时间为 x 秒请直接写出当MFN 为直角三角形时 x 的值 知识点 2 平移变换 1、平移的定义 平移,是指在平面内,将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动,这样的图形运动叫做图形的平移运动,简称平移。平移丌改变图形的形状和大小。图形经过平移,对应线段相等,对应角相等,对应点所连的线段相等。 它是等距同构,是仿射空间中仿射变换的一种。它可以视为将同一个向量加到每点上,或将坐标系统的中心移动所得的结果。即
5、是说,若是一个已知的向量,是空间中一点,平移。图片平移的方向,丌限于是水平。 2、平移的条件: 确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。 3、平移的要点: (1)原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。 (2)平移的方向。(东南西北,上下左右,东偏南 n 度,东偏北 n 度,西偏南 n 度,西偏北 n 度) (3)平移的距离。(长度,如 7 厘米,8 毫米等) 4、平移的性质 经过平移,对应线段平行且相等,对应角相等,对应点所连接的线段平行且相等; 平移变换丌改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。 (1)图形平移前后的形状和大小没有变化,只是位置发生变化。 (2)图
6、形平移后,对应点连成的线段平行(或在同一直线上)且相等。 (3)多次连续平移相当于一次平移。 (4)偶数次对称后的图形等于平移后的图形。 (5)平移是由方向和距离决定的。 (6)经过平移,对应线段平行(或共线)且相等,对应角相等,对应点所连接的线段平行(或共线)且相等。 【典例】 例 1(2020 秋上海期末)如图,已知直角三角形 ABC,A90,AB4 厘米,AC3 厘米,BC5 厘米,将ABC 沿 AC 方向平移 1.5 厘米,线段 BC 在平移过程中所形成图形的面积为 平方厘米 例 2(2020 秋沙坪坝区校级月考)如图,在三角形 ABC 中,ABC90,将三角形 ABC 沿 AB 方向
7、平移 AD 的长度得到三角形 DEF已 EF8,BE6,CG3则图中阴影部分的面积是 例 3(2020 春横县期末)如图 1,直线 CBOA,AB120,E,F 在 BC 上,且满足FOCAOC,并且 OE 平分BOF (1)求AOB 及EOC 的度数; (2)如图 2,若平行移动 AC,那么OCB:OFB 的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律或求出变化范围;若不变,求出这个比值; 【随堂练习】 1(2020 春仁寿县期末)如图,两个直角三角形重叠在一起,将ABC 沿 AB 方向平移 2cm 得到DEF,CH2cm,EF4cm,下列结论:BHEF;ADBE;BDCH;CBHD;阴影部分的
8、面积为 6cm2其中正确的是( ) A B C D 2(2020 春荔城区校级月考)ABCD,C 在 D 的右侧,BE 平分ABC,DE 平分ADC,BE、DE 所在直线交于点 EADC80 (1)若ABC50,求BED 的度数; (2)将线段 BC 沿 DC 方向平移,使得点 B 在点 A 的右侧,其他条件不变,若ABC120,求BED的度数 知识点 3 旋转变换 图形的旋转 1旋转的定义: 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,转动的角称为旋转角. 如果图形上的点P经过旋转变为点P,那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 由于旋转前、后两个图形中,对应点不旋转
9、中心的距离总相等,因此对应点必在以旋转中心为圆心,分别以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上,且对应点不旋转中心的连线所成角相等,都等于旋转角. 注意:在旋转过程中保持丌动的点是旋转中心,保持丌变的量是对应元素 2旋转的三个要素: 旋转中心、旋转的角度和旋转方向. 3旋转的性质: (1)图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的连线所成的角度;整体角度 (2)对应点到旋转中心的距离相等; (3)对应线段相等,对应角相等;局部角度 (4)图形的形状和大小都没有发生变化,即旋转丌改变图形的形状和大小.变换结果. 【典例】 例 1 (2020 秋和平区期末) 如图, 在OABC 中, A60
10、, 将OABC 绕点 O 逆时针旋转得到OABC,且AOC90,设旋转角为 (090),则 的大小为( ) A30 B45 C60 D75 例 2(2020 秋松山区期末)如图,在ABC 中,AB3,AC2,BAC30,将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AB1C1,连接 BC1,则 BC1的长为( ) A5 B13 C4 D6 例 3(2020 秋澄海区期末)如图,将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90,得到ADE,点 B 的对应点为点 D,点 C 的对应点 E 落在 BC 边上,连接 BD (1)求证:DEBC; (2)若 AC32,BC7,求线段 BD 的长 例 4 (2020
11、秋前郭县期末)在ABC 中,ABBC2,ABC120,将ABC 绕点 B 顺时针旋转角(090)得A1BC1,A1B 交 AC 于点 E,A1C1分别交 AC、BC 于 D、F 两点 (1)如图 1,观察并猜想,在旋转过程中,线段 BE 与 BF 有怎样的数量关系?并证明你的结论; (2)如图 2,当 30时,试判断四边形 BC1DA 的形状,并说明理由 【随堂练习】 1 (2020 秋北流市期中) 如图, 在 RtABC 中, ACB90, A30, AC23, BC 的中点为 D 将ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到FEC,EF 的中点为 G,连接 DG在旋转过程中,DG 的最大
12、值是( ) A23 B2 C1+3 D3 2(2020 秋游仙区月考)如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上,将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置,连接 EF,过点 A 作 EF 的垂线,垂足为点 H,与 BC 交于点 G若 BG4,CG3,则CE 的长为( ) A527 B5 C5111 D26 3(2020 秋斗门区校级期中)如图,在 RtABC 中,A90,ABAC,D、E 分别在 AB,AC 上,且 ADAE若ADE 绕点 A 逆时针旋转,得到 AD1E1,设旋转角为 a(0a180),记直线 BD1与 CE1的交点为 P (1)求证:BD1CE1; (2)当
13、CPD12CAD1时,求旋转角为 a 的度数 4(2020 秋朝阳区校级期中)已知ABC 是等边三角形,点 P 在 BC 的延长线上,以 P 为旋转中心,将线段 PC 逆时针旋转 n(0n180)得线段 PQ,连接 AP,BQ (1)如图 1,若 PCAC,画出 n60 时的图形,直接写出 BQ 和 AP 的数量及位置关系; (2)当 n120 时,若点 M 为线段 BQ 的中点,连接 PM判断 MP 和 AP 的数量关系,并证明 综合运用 1(2020 春南平期末)如图,在矩形 ABCD 中,E 是 DC 边上一点,将ADE 沿直线 AE 翻折,得到AFE,若点 F 落在 BC 边上,且 B
14、F2FC,则的值是( ) A23 B53 C23 D34 2(2020 秋岫岩县期中)如图,在 RtABC 中,BAC90,ABAC,点 D 为 BC 中点,直角 MDN绕点旋转,DM、DN 分别与边 AB,AC 交于 E、F 两点,下列结论:DEF 是等腰直角三角形; AECF; BDEADF; BE+CFEF其中正确的是( ) A B C D 3(2020 秋道外区期末)如图,ABCD 中,把ABC 沿 AC 翻折得到AEC,CE、AD 相交于点 F (1)求证:DEAC; (2)连接 BD 交 AC 于点 O,连接 OE,在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形 4(2020
15、秋长宁区期末)如图,在ABC 中,BAC90,AB3,AC4,点 D 是 BC 的中点,将ABD 沿 AD 翻折得到AED,联结 CE (1)求证:ADCE; (2)求 CE 的长 5(2020 春瑶海区期末)如图,已知两条射线 BPCQ,动线段 AD 的两个端点 A、D 分别在射线 BP、CQ 上,且BADC110,F 在线段 AB 上,AC 平分DCF,CE 平分BCF (1)请判断 AD 与 BC 的位置关系,并说明理由; (2)求ACE 的度数; (3)若平行移动 AD,使BEC=32CAD,求CAD 的度数 6(2020 春惠来县期末)如图,ADBC,BD50,点 E、F 在 BC
16、上,且满足CADCAE,AF 平分BAE (1)CAF ; (2)若平行移动 CD,那么ACB 与AEB 度数的比值是否随之发生变化?若变化,试说明理由;若不变,求出这个比值; (3)在平行移动 CD 的过程中,是否存在某种情况,使AFBACD?若存在,求出ACD 度数;若不存在,说明理由 7(2020 秋松山区期末)(1)如图 1,O 是等边ABC 内一点,连接 OA、OB、OC,且 OA3,OB4,OC5,将BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到BCD,连接 OD 求:旋转角的度数 ; 线段 OD 的长 ; 求BDC 的度数 (2)如图 2 所示,O 是等腰直角ABC(ABC90)内一点,连接
17、 OA、OB、OC,将BAO 绕点 B顺时针旋转后得到BCD,连接 OD当 OA、OB、OC 满足什么条件时,ODC90?请给出证明 第第 1 12 2 讲讲 图形变换图形变换 知识点 1 翻折变换 翻折就是将一个图形或图形的一部分沿着一条直线折叠。 【典例】 例 1(2020 春高新区期中)如图,将矩形 ABCD 的四个角向内翻折后,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH,EH6cm,EF8cm,则边 AB 的长度等于( ) A10cm B9.6cm C8.4cm D8cm 【解答】解:如图所示:设 HF 上两个点分别为 M、Q, M 点是 A 点对折过去的, EMH 为直角,AEHME
18、H, HEAMEH,AEEM, 同理MEFBEF, MEH+MEF90, HEF90, M 点也是 B 点对折过去的, BEEM, AEBE, EH6cm,EF8cm, FH= 2+ 2= 62+ 82=10(cm), SHEF=12 =12HFEM, AEEM=6810=245(cm), ABAE+BE4.8+4.89.6(cm) 故选:B 【方法总结】 此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识,根据题意得出 AE 的长是解题关键 例 2(2020嘉兴模拟)如图,在矩形纸片 ABCD 中,已知 AD8,折叠纸片,使 AB 边与对角线 AC 重合,点 B 落在点 F 处,折痕为 AE,且
19、 EF3,则 AB 的长为( ) A3 B4 C5 D6 【解答】解:四边形 ABCD 是矩形,AD8, BC8, AEF 是AEB 翻折而成, BEEF3,ABAF,CEF 是直角三角形, CE835, 在 RtCEF 中,CF= 2 2= 52 32=4, 设 ABx, 在 RtABC 中,AC2AB2+BC2,即(x+4)2x2+82,解得 x6, 故选:D 【方法总结】 本题考查的是翻折变换及勾股定理,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解答此题的关键 例 3(2020 春鞍山期末)如图,在矩形 ABCD 中,AD12,将A
20、 向内翻折,使点 A 在 BC 上,记为 A,折痕为 DE (1)若点 A恰好是边 BC 的中点,请直接写出 AB 的长; (2)在(1)的条件下,若将B 沿 EA向内翻折,点 B 恰好落在 DE 上,记为 B,求出此时 AE 的长; (3)连结 CB,试判断 CB与 AB的数量关系 【解答】解:(1)四边形 ABCD 是矩形, AB90,ADBC12, 将A 向内翻折,使点 A 在 BC 上, AEAE,ADAD12, 点 A是 BC 的中点, ABAC6, CD= 2 2= 144 36 =63, ABCD63; (2)AE2BE2+AB2, AE2(63 AE)2+36, AE43; (
21、3)如图,连接 CB,交 AD 于 H, B 沿 EA向内翻折,点 B 恰好落在 DE 上, BABE90,ABAB6, DCBDBA90, 在 RtABD 和 RtACD 中, = = , RtABDRtACD(HL), CDDB63, 又ACAB, AD 是 BC 的垂直平分线, BC2CH, SACD=12ACCD=12ADCH, 663 =12CH, CH33, BC63, CB= 3AB 【方法总结】 本题考查了翻折变换,矩形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,灵活运用这些性质解决问题是本题的关键 【随堂练习】 1(2020 秋崂山区期中)如图,RtABC 中,AB3,B
22、C2,B90,将ABC 折叠,使 A 点与BC 的中点 D 重合,折痕为 MN,则线段 BN 的长为( ) A59 B43 C56 D53 【解答】解:设 NBx,则 AN3x 由翻折的性质可知:NDAN3x 点 D 是 BC 的中点, BD=12BC1 在 RtNBD 中,由勾股定理可知:ND2NB2+DB2, 即(3x)2x2+12, x=43, BN=43, 故选:B 2(2020 秋旌阳区校级月考)如图,在平面直角坐标系中,点 A(0,4),B(3,0),连接 AB,将AOB 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 x 轴上的点 A处,折痕所在的直线交 y 轴正半轴于点 C则 BC的长
23、为( ) A332 B13 C352 D52 【解答】解:A(0,4),B(3,0), OA4,OB3, 在 RtOAB 中,AB= 2+ 2= 16 + 9 =5 AOB 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 x 轴上的点 A处, BABA5,CACA, OABAOB532 设 OCt,则 CACA4t, 在 RtOAC 中,OC2+OA2CA2, t2+22(4t)2,解得 t=32, OC=32, BC= 2+ 2=94+ 9 =352, 故选:C 3(2020 秋昆都仑区期末)已知矩形 ABCD 中,AB4,BC8 (1)如图 1,点 P 从点 D 开始沿 DA 以每秒 1 个单位的
24、速度移动,同时另一个点 Q 从点 B 开始在线段 BC 上以每秒 3 个单位的速度往返移动设 P,Q 运动时间为 t 秒,当 0t8 时,是否存在这样的时刻,四边形 DCQP 为平行四边形?若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由; (2)如图 2,将矩形 ABCD 折叠,使点 B 与点 D 重合,点 A 与点 E 重合,展平后折痕为 MF一动点 N从点 D 出发,沿 DABCD,以每秒 1 个单位的速度移动一周,设 N 运动的时间为 x 秒请直接写出当MFN 为直角三角形时 x 的值 【解答】解:(1)四边形 DCQP 为平行四边形, PDCQ, 当 0t83时,则 t83t,得 t2
25、; 当83 163,则 t3t8,得 t4; 当163 8时,则 t243t,得 t6; 综上,存在这样的时刻,使得四边形 DCQP 为平行四边形,t 的值为:2 或 4 或 6; (2)根据折叠的性质得,BFDF,BFMDFM, 矩形 ABCD 中 ADBC, DMNBFM, DMFDFM, DMDF, AMCF, 设 BFDFDMx,则 AMCF8x, C90, DF2CF2CD2,即 x2(8x)242, 解得,x5, BFDM5,AMCF3, 过 F 作 FGAD 于点 G,如图 1,则 DGCF3, 当 N 点与 G 点重合时,MFN 中MNF90,此三角形为直角三角形, 此时 x3
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