2022年中考数学一轮复习《第14讲 最值问题》讲义(含答案)尖子专用
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1、第14讲 最值问题知识点1 几何问题最值【典例】例1(2020泰安)如图,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点,BC1,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为()A2+1B2+12C22+1D22-12例2(2020温州一模)如图,在RtABC中,ABBC,AB6,BC4,P是平面内一动点,且APB90,取BC的中点E,连结PE,则线段PE的最大值为()A210B213C2+13D3+13例3(2020秋赣榆区期中)【问题情境】(1)点A是O外一点,点P是O上一动点若O的半径为2,且OA5,则点P到点A的最短距离为【直接运用】(2)如图1,在RtABC
2、中,ACB90,ACBC2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是弧CD上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是【构造运用】(3)如图2,已知正方形ABCD的边长为6,点M、N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动,连接AM和BN交于点P,则点P到点C的最短距离,并说明理由【灵活运用】(4)如图3,O的半径为4,弦AB4,点C为优弧AB上一动点,AMAC交直线CB于点M,则ABM的面积最大值是例4(2020北辰区二模)平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A,C在坐标轴上,点B(6,6),P是射线OB上一点,将AOP绕点A顺时针旋转90,得ABQ,Q是点P旋转
3、后的对应点(1)如图(1)当OP22时,求点Q的坐标;(2)如图(2),设点P(x,y)(0x6),APQ的面积为S求S与x的函数关系式,并写出当S取最小值时,点P的坐标;(3)当BP+BQ82时,求点Q的坐标(直接写出结果即可)【随堂练习】1(2020包河区校级一模)如图,等腰RtABC的一个锐角顶点A是O上的一个动点,ACB90,腰AC与斜边AB分别交O于点E、D,分别过点D,E作O的切线交于点F,且点F恰好是腰BC上的点,连接OC,OD,OE,若O的半径为4,则OC的最大值为()A25+2B42+2C6D82(2020宁波模拟)如图,ABC内接于O,且ABAC直径AD交BC于点E,F是A
4、E的中点,连结CF,若AD63则CF的最大值为()A6B5C4D33(2020秋亭湖区期中)给出如下规定:对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为N上任一点,如果P,Q两点间的距离存在最小值时,就称该最小值为两个图形M和N之间的“闭距离”;如果P,Q两点间的距离存在最大值时,就称该最大值为两个图形M和N之间的“开距离”请你在学习,理解上述定义的基础上,解决下面问题:在平面直角坐标系xOy中,点A(8,6),B(8,6),C(8,6),D(8,6)(1)请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD,线段AB和线段CD的“闭距离”为;“开距离”为;(2)设O半径为
5、2,O与四边形ABCD的“闭距离”是,“开距离”是;(3)设直线y=43x+b(b0)与x轴,y轴分别交于点E,F,若线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2,求它们的“开距离”;(4)M的圆心为M(6,m),半径为1,若M与ABD的“闭距离”等于1,直接写出m的取值范围4(2020秋巴南区期中)在ABC中,AB8,AC63,ACB30,将ABC绕点A按逆时针方向旋转,得到ADE(1)如图1,点F为BC与DE的交点,连接AF,求证:AFDAFC;(2)如图2,点P为线段AB中点,点G是线段BC上的动点,在ABC绕点A按逆时针方向旋转的过程中,点G的对应点是点G1,直接写出线段PG1长度的最大值
6、与最小值知识点2 代数问题最值几种常见问题1、 利用一次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。2、 利用二次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。3、 利用完全平方公式的非负性来求最值。4、 利用绝对值表示的几何意义来求最值。【典例】例1(2020春丛台区校级期末)已知一次函数y(m+4)x+2m+2,无论m取何值时,它的图象恒过的定点P,求点P的坐标若m为整数,又知它的图象不过第四象限,则m的最小值为例2(2020秋宽城区期末)在平面直角坐标系中,抛物线yx2+bx+c经过点(6,7),其对称轴为直线x2(1)求这条抛物线所对应的函数表达式(2)当-12x72时,求函数值y的取值范围(3)当
7、2xk时,函数值y先随x的增大而减小,后随x的增大而增大,且y的最大值为7,则k的取值范围是(4)已知A、B两点均在抛物线yx2+bx+c上,点A的横坐标为m,点B的横坐标为m+2将抛物线上A、B两点之间(含A、B两点)的图象记为M,当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时,求m的值例3(2020秋五常市期末)某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且每件的利润率不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数yx+120(1)若该服装获得利润为w(元),试写出利润w与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少时,商场可获得利润最大,最
8、大利润是多少元?(2)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x的取值范围【随堂练习】1(2020浙江自主招生)已知三个非负实数a,b,c满足:3a+2b+c6,a+b3c2,若mab+c,则m的最小值为2(2020秋宁明县期中)一次函数yaxa+1(a为常数,且a0)(1)若点(1,3)在一次函数yaxa+1的图象上,求a的值;(2)当1x2时,函数有最大值5,请求出a的值3(2020秋长春期末)某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康,该山区组织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入已知某种土特产每袋成本10元,试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日
9、销售量y(袋)之间的关系如表:x(元)152030y(袋)252010(1)若日销售量y(袋)是每袋的销售价x(元)的一次函数,求y与x之间的函数关系式;(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同,设每日销售土特产的利润为w(元);求w与x之间的函数关系式;要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为多少元?每日销售的最大利润是多少元?综合运用1(2020秋韩城市期末)如图,AB是O的一条弦,点C是O上一动点,且ACB30,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与O交于G、H两点,若O的半径为8,则GE+FH的最大值为2(2020越秀区一模)如图所示,四边形ABCD为平行四边形,AD1
10、3,AB25,DAB,且cos=513,点E为直线CD上一动点,将线段EA绕点E逆时针旋转得到线段EF,连接CF(1)求平行四边形ABCD的面积;(2)当点C、B、F三点共线时,设EF与AB相交于点G,求线段BG的长;(3)求线段CF的长度的最小值3(2020秋福州期中)如图1,在RtABC中BAC90,ABAC,BC2,以BC所在直线为x轴,边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,将ABC绕P点(0,1)顺时针旋转(1)填空:当点B旋转到y轴正半轴时,则旋转后点A坐标为;(2)如图2,若边AB与y轴交点为E,边AC与直线yx1的交点为F,求证:AEF的周长为定值;(3)在(2)的条件下,
11、求AEF内切圆半径的最大值4(2020秋海珠区校级期中)如图,AB为O直径,半径为2,点D为弧AB的中点,点C在O上由点A顺时针向点B运动(点C不与点A,点B重合),连接AC,BC,CD,AD,BD(1)求证:CD是ACB的角平分线;(2)求CD的长x的取值范围(直接写出答案)(3)四边形ADBC的面积S是线段CD的长x的函数吗?如果是,求出函数解析式,并求出S的最大值,如果不是,请说明理由5(2020春林州市期中)如图,四边形ABCD是平行四边形,ABC为锐角,以边AB为直径作O,O与边BC交点为E,EF是O的切线,且EF对角线AC于点F(1)求证:ACCD;(2)填空:若AB4cm,则:当
12、B的度数时,ABCD是菱形;ACD面积的最大值是6(2020天宁区校级一模)问题探究:如图,在矩形ABCD中,AB10,cosABD=513,P为BD上一点,B是点B以P为对称中心的对称点,点B也在BD上(可以是端点),E为PD的中点,以点E为圆,EB为半径在BD下方作半圆(1)BP时,APBD时,此时半径是;(2)当半圆与矩形的边相切时,求BP的长;拓展延伸:(3)如图,AB6,AC=3,以BC为底边在BC上方作等腰BCD,其中CDB120,直接写出AD的最大值第14讲 最值问题知识点1 几何问题最值【典例】例1(2020泰安)如图,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标
13、平面内一点,BC1,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为()A2+1B2+12C22+1D22-12【解答】解:如图,点C为坐标平面内一点,BC1,C在B上,且半径为1,取ODOA2,连接CD,AMCM,ODOA,OM是ACD的中位线,OM=12CD,当OM最大时,即CD最大,而D,B,C三点共线时,当C在DB的延长线上时,OM最大,OBOD2,BOD90,BD22,CD22+1,OM=12CD=2+12,即OM的最大值为2+12;故选:B【方法总结】本题考查了坐标和图形的性质,三角形的中位线定理等知识,确定OM为最大值时点C的位置是关键,也是难点例2(2020温州一模)如图,在R
14、tABC中,ABBC,AB6,BC4,P是平面内一动点,且APB90,取BC的中点E,连结PE,则线段PE的最大值为()A210B213C2+13D3+13【解答】解:取AB的中点O,以O为圆心,AB为直径作圆,连接EO,EO的延长线与O交于点P,如图,此时EP就是EP的最大值为:EPOE+OP=OB2+BE2+OP=32+22+3=13+3,故选:D【方法总结】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识,解题的关键是确定点P位置,学会求圆外一点到圆的最小、最大距离,属于中考常考题型例3(2020秋赣榆区期中)【问题情境】(1)点A是O外一点,点P是O上一动点若O的半径为2,且OA5,
15、则点P到点A的最短距离为3【直接运用】(2)如图1,在RtABC中,ACB90,ACBC2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是弧CD上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是5-1【构造运用】(3)如图2,已知正方形ABCD的边长为6,点M、N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动,连接AM和BN交于点P,则点P到点C的最短距离,并说明理由【灵活运用】(4)如图3,O的半径为4,弦AB4,点C为优弧AB上一动点,AMAC交直线CB于点M,则ABM的面积最大值是43【解答】解:(1)连接AP、OP,如图4所示:O的半径为2,OP2,OAOP523,PAOAOP,PA
16、3,当点P在OA上时,PA最短,最小值为3,故答案为:3;(2)连接OA,交半圆于P,连接OP,如图1所示:ACBC2,BC为半圆的直径,OPOC=12BC1,ACB90,OA=AC2+OC2=22+12=5,APOAOP,AP5-1,当点P在OA上时,AP最短,最小值为5-1,故答案为:5-1;(3)点P到点C的最短距离为35-3,理由如下:取AB中点O,连接OP、OC、PC,如图2所示:点M、N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动,BMCN,四边形ABCD是正方形,ABBC6,ABMBCN90,在ABM和BCN中,BM=CNABM=BCNAB=BC,ABM
17、BCN(SAS),BAMCBN,CBN+ABN90,BAM+ABN90,APB90,点P在以AB为直径的O上运动,OPOAOB=12AB3,OC=OB2+BC2=32+62=35,又PCOCOP,PC35-3,PC的最小值为35-3;(4)连接OA、OB,如图3所示:OAOB4AB,AOB是等边三角形,AOB60,ACB=12AOB=126030,AMAC,M60,点M在以ADB120的D上,AB4,SABM最大,则点M到AB的距离最大,当AMBM时点M到AB的距离最大,ABM是等边三角形,SABM=12AB32AB=12432443,故答案为:43【方法总结】本题是圆的综合题,主要考查了圆周
18、角定理、三角形三边关系、勾股定理、等边三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识;本题综合性强,熟练掌握圆周角定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键,属于中考压轴题型例4(2020北辰区二模)平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A,C在坐标轴上,点B(6,6),P是射线OB上一点,将AOP绕点A顺时针旋转90,得ABQ,Q是点P旋转后的对应点(1)如图(1)当OP22时,求点Q的坐标;(2)如图(2),设点P(x,y)(0x6),APQ的面积为S求S与x的函数关系式,并写出当S取最小值时,点P的坐标;(3)当BP+BQ82时,求点Q的坐标(直接写
19、出结果即可)【解答】解:(1)如图(1),过P点作PGx轴,垂足为G,过Q点作QHx轴,垂足为H四边形OABC是正方形,AOB45B(6,6),OA6在RtOPG中,PG=OPsin45=2222=2,OGPG2AGOAOG4AOP绕点A顺时针旋转90,得ABQ,AQAP,BQOPRtAQHRtAPGAHPG2,QHAG4Q(8,4);(2)如图(2),过P点作PGx轴,垂足为GAOP绕点A顺时针旋转90,得ABQ,APAQ,PAQ90P(x,y),POG45,OGPGx,AG6x在RtAPG中,根据勾股定理,AP2AG2+PG2(6x)2+x2,整理得AP22x212x+36SAPQ=12A
20、PAQ,Sx26x+18(x3)2+9当S取最小值时,有x3,P(3,3);(3)Q(13,1)理由如下:如图(3),AOP绕点A旋转得到ABQ,OPBQBP+BQ=82,BP+OP=82OB=62,点P在OB的延长线上OPBPOB=62由OP+BP=82,OP-BP=62.解得:OP=72,BP=2OG=PG=22OP=7,AGOGOA1,同(1):RtAQHRtAPG,AHPG7,QHAG1,OHOA+AH6+713,Q(13,1)【方法总结】本题属于四边形综合题,主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质旋转、二元一次方程组、三角形的面积、勾股定理、特殊角三角函数,
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