江苏省扬州市邗江区、宝应县、仪征市2020-2021学年高一下期中联考数学试题(含答案解析)
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1、扬州市邗江区、宝应县、仪征市2021年高一下期中联考数学试题一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 下列复数中,纯虚数是( )A. B. C. D. 2. ( )A B. C. D. 3. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形,若,那么原的面积是A. B. C. D. 4. 已知向量,且,则的值为( )A B. 4C. 5D. 5. 已知:,均为锐角,tan,tan,则+( )A. B. C. D. 6. “全民健身活动周”中,某长跑运动员沿公路向正北方向前进时,看见正西方向有两个相距的地标恰好与它在一条直线上,
2、继续前进3分钟后,看见一地标在他的南偏西60方向上,另一地标在他的南偏西75方向上,则他跑步的速度是( )A. 125米/分B. 米/分C. 250米/分D. 米/分7. 设向量,满足,的夹角为60,则的最大值等于( )A. 2B. C. D. 18. 在中,角,所对的边分别为,直线交于点,将分成两部分,且,则的最小值为( )A. B. C. D. 二、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9. 设向量,满足,且,则以下结论正确的是( )A. B. C. D. 向量,夹角为10. 设,下列结论
3、正确的是( )A. 时,的取值范围为B. 时,的取值范围为C. 时,的取值范围为D. 对于,的取值范围为11. 在中,角,所对的边分别为,已知,下列结论正确的是( )A. B. 若为边上的角平分线,则C. 边上的中线长为D. 若,则的外接圆半径是12. 瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一,他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”欧拉公式:(其中是虚数单位,是自然对数的底数),它也满足实数范围内指数的运算性质,下列结论正确的是( )A. B. C. 若复数虚部为,则的实部为D. 已知,复数,在复平面内对应的点分别为,则三角形面积的最大值为三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13
4、. 已知,是虚数单位若与互为共轭复数,则_14. 如图所示,正方体中,分别是棱,的中点,则异面直线与所成的角为_.15. 已知,则_.16. 践行“劳动教育”系列活动中,某班学生被分配剪“六芒星”彩纸,如图,“六芒星”是由两个边长为3的全等正三角形组成,中心重合于点且三组对边分别平行,点是“六芒星”(如图)的两个顶点,动点在“六芒星”上(内部以及边界),若,当取得最大值时,的值是_.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数满足,且虚部为,在复平面内所对应的点在第四象限.(1)求;(2)若,在复平面上对应的点分别为,为坐标原点,求.18. 已
5、知,(1)求的值;(2)求的值19. 已知向量,且.(1)求及;(2)若的最小值为,求正实数的值.20. 如图,在ABC中,已知CA=1,CB=2,ACB=60(1)求|;(2)已知点D是AB上一点,满足=,点E是边CB上一点,满足=当=时,求;是否存在非零实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由21. “我将来要当一名麦田里的守望者,有那么一群孩子在一块麦田里玩,几千万的小孩子,附近没有一个大人,我是说除了我”麦田里的守望者中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者,如图所示,为了分割麦田,他将连接,设中边所对的角为,中边所
6、对的角为,经测量已知,.(1)若,求;(2)霍尔顿发现无论多长,为一个定值,请你验证霍尔顿的结论,并求出这个定值;(3)霍尔顿发现麦田生长与土地面积的平方呈正相关,记与的面积分别为和,为了更好地规划麦田,请你帮助霍尔顿求出的最大值.22. 已知为平面内不共线的三点,表示的面积(1)若求;(2)若,证明:;(3)若,其中,且坐标原点恰好为的重心,判断是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.扬州市邗江区、宝应县、仪征市2021年高一下期中联考数学试题一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 下列复数中,纯虚数是( )A.
7、B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简A、C,再根据纯虚数的概念,即实部为零,虚部不为零判断即可;【详解】解:对于B、D显然实部不为零,故不是纯虚数,故B、D错误;对于A:,实部为零,虚部为,故A正确;对于C:为实数,故D错误;故选:A2. ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由特殊角的三角函数值和诱导公式三计算即可.【详解】解:.故选:B3. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形,若,那么原的面积是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析:由斜二测直观图还原原图形如图,因为边OB在x轴上,所以,在原图形中
8、对应边应在x轴上,且长度不变,OA在y轴上,所以,在原图形中对应的边应在y轴上,且长度增大到2倍,因为OB=1,所以OA= ,则OA=2则SABO=OBOA=12=考点:斜二测画法4. 已知向量,且,则的值为( )A. B. 4C. 5D. 【答案】D【解析】【分析】利用数量积的坐标运算列方程直接求解【详解】向量,且,故,解得=故选:D5. 已知:,均为锐角,tan,tan,则+( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的变换及和角公式的运用求出结果.【详解】解:由于,均为锐角,tan,tan,所以.所以.所以.故选:B.【点睛】本题考查的知识要点:三角函数
9、关系式的恒等变换,和角公式的运用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.6. “全民健身活动周”中,某长跑运动员沿公路向正北方向前进时,看见正西方向有两个相距的地标恰好与它在一条直线上,继续前进3分钟后,看见一地标在他的南偏西60方向上,另一地标在他的南偏西75方向上,则他跑步的速度是( )A. 125米/分B. 米/分C. 250米/分D. 米/分【答案】C【解析】【分析】如图,依题意有,所以,从而,在直角三角形中,求出,由此能求出他跑步的速度【详解】解:如图,依题意有,所以,从而,在直角三角形中,得,于是他跑步的速度是(米/分)故选:7. 设向量,满足,的夹角为60,则
10、的最大值等于( )A. 2B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由得向量夹角,由,的夹角为60,得到向量的终点在圆上,再利用正弦定理求解即可【详解】,故设 ,的夹角为60,故,又,故四点共圆,设圆的半径为R,故当=2R时,取最大,易得故选:A8. 在中,角,所对边分别为,直线交于点,将分成两部分,且,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】依题意画出图形,根据得到,即可得到,再利用乘“1”法及基本不等式计算可得;【详解】解:如图在中,所以,所以,即,又,所以,即,所以,所以当且仅当,即时取等号;故选:D二、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小
11、题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9. 设向量,满足,且,则以下结论正确的是( )A. B. C. D. 向量,夹角为【答案】AC【解析】【分析】对进行平方运算,可求出,夹角,可判断AD选项,再对BC选项进行平方运算,代入,夹角,可判断BC选项.【详解】解:,又因为,所以,所以,所以A正确,D不正确;,故,所以B不正确,同理C正确.故选:AC10. 设,下列结论正确的是( )A. 时,的取值范围为B. 时,的取值范围为C. 时,的取值范围为D. 对于,的取值范围为【答案】ABCD【解析】【分析】利用同角三角函数平方关系可判断A;配方结合同角
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