北京市海淀区2022届高三一模数学试题（含答案解析）

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1、北京市海淀区2022届高三一模数学试题一选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ）A. B. C. D. 3. 双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ）A. B. 1C. D. 45. 下列说法中正确的是A. 平行于同一直线的两个平面平行B. 垂直于同一直线的两个平面平行C. 平行于同一平面的两条直线平行D. 垂直于同一平面的两个平面平行6. 已知直线是圆的一条对称轴，则的最大值为（ ）A. B. C. 1D. 7. 已

2、知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（ ）A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移个单位长度得到函数的图象，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 9. 在 中，则“”是“是钝角三角形”的（ ）A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人.经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：年龄（岁）总计确诊组人数0374014排除组人数7411519284为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式.第一种：从98人中随机抽取7人.第二

3、种：从排除组的84人中随机抽取7人.用分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比.给出下列四个结论： 在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组； 在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0； 的取值范围都是； 其中，正确结论个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知抛物线的准线方程为，则等于_12. 已知是等比数列，且公比为，为其前项和，若是、的等差中项，则_，_.13. 若函数的值域为，则实数的一个取值可以为_.14. 已知是单位向量，且，设向量，当时，_；当时，的最小值为_.15. 已知函数，给出

4、下列四个结论：是偶函数；有无数个零点；的最小值为；的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为_.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.16. 设函数.已知存在使得同时满足下列三个条件中两个：条件：；条件：的最大值为；条件：是图象的一条对称轴.（1）请写出满足的两个条件，并说明理由；（2）若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.17. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.18. 黄帝内经中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指点到次日凌晨点）.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，

5、睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：组别睡眠指数早睡人群占比晩睡人群占比注：早睡人群为前入睡的人群，晚睡人群为后入睡的人群.（1）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数分位数与晚睡人群睡眠指数分位数分别在第几组？（2）据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占.从睡眠指数得分在区间内的人群中随着抽取人，以表示这人中属于早睡人群的人数，求的分布列与数学期望；（3）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间.试判断这种说法是否正确，并说明理由.19. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）若函数在处取得极大值，求的取值范围

6、；（3）若函数存在最小值，直接写出的取值范围.20. 已知椭圆的下顶点和右顶点都在直线上.（1）求椭圆方程及其离心率；（2）不经过点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交于点，点关于点的对称点为.若三点共絨，求证：直线经过定点.21. 设正整数，若无穷数列满足，则称为数列.（1）数列是否为数列？说明理由；（2）已知其中为常数.若数列为数列，求；（3）已知数列满足，求.北京市海淀区2022届高三一模数学试题一选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】B【解析】【分析】利用并集的定义可

7、求.【详解】,故选：B2. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】A【解析】【分析】由复数的几何意义可得复数，利用复数的乘法可求得结果.【详解】由复数的几何意义可知，故.故选：A.3. 双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】C【解析】【分析】求出、的值，可求得双曲线的离心率.【详解】在椭圆中，则，因此，双曲线的离心率为.故选：C.4. 在的展开式中，的系数为（ ）A. B. 1C. D. 4【4题答案】【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求的系数.【详解】的展开式的通项公式为，令，则，故的系数为，故选：B.5

8、. 下列说法中正确的是A. 平行于同一直线的两个平面平行B. 垂直于同一直线的两个平面平行C. 平行于同一平面两条直线平行D. 垂直于同一平面的两个平面平行【5题答案】【答案】B【解析】【详解】平行于同一直线的两个平面可以平行、相交，故不正确，垂直于同一直线的两个平面平行正确，平行于同一平面的两条直线平行错误，因为也可以相交也可以是异面直线，垂直于同一平面的两个平面平行错误，因为也可以相交，故选B.6. 已知直线是圆的一条对称轴，则的最大值为（ ）A. B. C. 1D. 【6题答案】【答案】A【解析】【分析】圆心必然在直线l上，得到 的关系式，再考虑求最大值.【详解】由于直线l是圆的对称轴，

9、所以圆的圆心必定在直线l上，将圆的一般方程转变为标准方程： ，圆心为 ，将圆心坐标代入直线l的方程得 ， ， ，函数是开口向下，以 为对称轴的抛物线，所以 ，故选：A.7. 已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（ ）A. B. C. D. 【7题答案】【答案】C【解析】【分析】由题意易得，列出余弦函数方程解出即可.【详解】由于角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，所以，所以，即，解得，当时，故选：C.8. 已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移个单位长度得到函数的图象，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】C【解析】【分析】作出函数

10、与的图象，数形结合可得出不等式的解集.【详解】根据图中信息作出函数、的图象如下图所示：因为，则，且，由图可知，不等式的解集为.故选：C.9. 在 中，则“”是“是钝角三角形”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【9题答案】【答案】A【解析】【分析】先判断如果 能不能推出 是钝角三角形，再判断如果 是钝角三角形，是否一定有即可.【详解】如果，由于B是三角形的内角，并且, 则， ，是钝角三角形，所以是充分条件；如果 是钝角三角形，不妨设 ，则 ，所以不是必要条件；故选：A.10. 甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人.经检测

11、后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：年龄（岁）总计确诊组人数0374014排除组人数7411519284为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式.第一种：从98人中随机抽取7人.第二种：从排除组的84人中随机抽取7人.用分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比.给出下列四个结论： 在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组； 在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0； 的取值范围都是； 其中，正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【10题答案】【答案】B【解析】【分析】根据抽样调查和概率的计算以及样本的期望逐项分析即可得答案【详

12、解】解：对于：人中确诊的有人，若抽取的7人都是84个排除组的，则可能出现7人都不在确诊组，错误；对于：排除组中小于20岁的人有7人，抽取7人小于20岁的概率为，故错误；对于：第一种有96人，有2人第二种有82人，有2人故设抽取80岁以上的人数为，则当时，当时，当时，故正确；对于：，故正确；故选：B二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知抛物线的准线方程为，则等于_【11题答案】【答案】2【解析】【分析】根据抛物线的准线方程求解.【详解】因为抛物线的准线方程为，所以，解得.故答案为：2【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.12. 已知是等比数列，且

13、公比为，为其前项和，若是、的等差中项，则_，_.【12题答案】【答案】 . . 【解析】【分析】利用已知条件可得出，化简可得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值.详解】由题意可得，则，解得.故答案为：；.13. 若函数的值域为，则实数的一个取值可以为_.【13题答案】【答案】1【解析】【分析】考察函数的图像，就是先把 向上或向下平移 个单位（取决于 的符号），如果图像存在小于零的部分，则再把小于零的部分以x轴为对称轴翻折上去， 最后再把整个图像向下平移一个单位.【详解】如果 ， ，其值域为 ， ，不符合题意；如果 ，当 时， ， 就是把函数的部分 以x轴为对称轴翻折上去，此时的最小值为0，

14、的最小值为-1，值域为 ，所以 ，不妨取 ；故答案为：1.14. 已知是单位向量，且，设向量，当时，_；当时，的最小值为_.【14题答案】【答案】 . . 【解析】【分析】求出，根据夹角公式可得，将表示为关于的二次函数，求出最小值即可.【详解】当时，即，因为，所以；当时， 则，当时，的最小值为，故答案为：，.15. 已知函数，给出下列四个结论：是偶函数；有无数个零点；的最小值为；的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为_.【15题答案】【答案】【解析】【分析】根据偶函数定义、零点的定义，结合导数的性质逐一判断即可.【详解】因为，所以该函数是偶函数，因此结论正确；令，所以结论正确；，因为，所以函

15、数的最小值不可能为，因此结论不正确；，当时取等号，即时取等号，因为，当且仅当时取等号，所以有，当且仅当时取等号，所以有，当且仅当时取等号，因此有，所以结论正确，故答案为：【点睛】关键点睛：利用函数极值与最值的关系进行判断是解题的关键.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.16. 设函数.已知存在使得同时满足下列三个条件中的两个：条件：；条件：的最大值为；条件：是图象的一条对称轴.（1）请写出满足的两个条件，并说明理由；（2）若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.【1617题答案】【答案】（1），理由见解析 （2）【解析】【分析】（1）首先分析可得，逐个验证条件即

16、可得结果；（2）由（1）得函数的解析式，通过的范围求出的范围，结合正弦函数的性质列出关于的不等式即可得解.【小问1详解】函数，其中，对于条件：若，则，对于条件：的最大值为，则，得，不能同时成立，当时，即不满足条件；当时，即满足条件；当时，即不满足条件；综上可得，存在满足条件.【小问2详解】由（1）得，当时，由于在区间上有且只有一个零点，则，解得，即的取值范围是.17. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.【1718题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得平面，再利用线面垂直的性质可

17、证得结论成立；（2）取的中点，连接，证明出平面，以点为坐标原点，、的方向分别为、的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，求出的值，即可求得棱的长.【小问1详解】证明：因为四边形为正方形，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，平面，所以，.【小问2详解】解：取中点，连接，为的中点，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，以点为坐标原点，、的方向分别为、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设，其中，则、，设平面的法向量为，则，取，则，由题意可得，解得，则.18. 黄帝内经中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指点到次日凌晨点）.相关数据表明

18、，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：组别睡眠指数早睡人群占比晩睡人群占比注：早睡人群为前入睡的人群，晚睡人群为后入睡的人群.（1）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数分位数与晚睡人群睡眠指数分位数分别在第几组？（2）据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占.从睡眠指数得分在区间内的人群中随着抽取人，以表示这人中属于早睡人群的人数，求的分布列与数学期望；（3）根据表中数据，有人认为，早睡人群睡眠指数平均值一定落在区间.试判断这种说法是否正确，并说明理由.【1820题答案】【答案】（1）答案见解析 （2）分布列答案见

19、解析， （3）这种说法不正确，理由见解析【解析】【分析】（1）根据百分位数的定义判断可得出结论；（2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值；（3）取第组的均值为，第组的均值为，第组的均值为，第组的均值为，第组的均值为，结合平均数公式判断可得出结论.【小问1详解】解：早睡人群睡眠指数分位数估计在第组，晚睡人群睡眠指数分位数估计在第组.【小问2详解】解：由题意可知，随机变量的可能取值有、，所以， 随机变量的分布列如下表所示：.【小问3详解】解：这种说法不正确，理由如下：当第组的均值为，第组的均值为，第组的均值为，第组的均值为，第组的均值为，则睡眠指数的均值

20、为.19. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）若函数在处取得极大值，求的取值范围；（3）若函数存在最小值，直接写出的取值范围.【1921题答案】【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）先求导后求出切线的斜率，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.【小问1详解】解：由题意得：，故曲线在点处的切线的方程.【小问2详解】由（1）得要使得在处取得极大值，在时应该，在时应该，故且，解得且，解得当时，满足题意；当时，不满足题意；综上：的取值范围为.【小问3详解】可以分三种情况讨论：若，在上单调

21、递减，在单调递增，在上单调递减，无最小值；若时，当时，趋向时，趋向于0；当 ，要使函数取得存在最小值，解得，故 处取得最小值,故的取值范围.若时，在趋向时，趋向于0，又故无最小值；综上所述函数存在最小值， 的取值范围.20. 已知椭圆的下顶点和右顶点都在直线上.（1）求椭圆方程及其离心率；（2）不经过点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交于点，点关于点的对称点为.若三点共絨，求证：直线经过定点.【2021题答案】【答案】（1），离心率为. （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出顶点坐标后可求椭圆的方程和离心率；（2）设，则可用此两点坐标表示，根据三点共线可得，利用点在直线可得，再联立直线

22、方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可得定点.【小问1详解】因为下顶点和右顶点都在直线上，故，故椭圆方程为：.其离心率为【小问2详解】设，则.则，故，因为三点共线，故，整理得到：，即.由可得，故且，故，整理得到：，若，则，故过，与题设矛盾；若，则，故过定点.21. 设为正整数，若无穷数列满足，则称为数列.（1）数列是否为数列？说明理由；（2）已知其中为常数.若数列为数列，求；（3）已知数列满足，求.【2123题答案】【答案】（1）是 数列，理由见解析； （2） ； （3） .【解析】【分析】(1)根据数列 的性质判断即可；(2)根据 数列的性质，求出 即可；(3)根据 数列的性质，利用所给的条件，合理演绎即可.【小问1详解】 ， ，符合 的定义，故数列 是数列；【小问2详解】依题意， ， ，因为 是 数列， ， ， ， ；【小问3详解】 是 数列， ， ， ， 由得 ，猜想是首项为-5，公差为1的等差数列，即 ，检验： ，是数列； ，是 数列； ，是 数列，并且 ，（）， ， 符合题意，故 ， 综上， 是数列， ，.