北京市石景山区2022届高三一模数学试题（含答案解析）

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1、石景山区2022年高三统一练习数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 若复数满足，则 ()A. 1B. C. D. 3. 从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是( )A. B. C. D. 4. 设是直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5. 已知圆C：，过点的直线l与圆C交于A，B两点，则弦长度的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 函数的图象大致为

2、（ ）A. B. C. D. 7. 在等差数列中，设数列的前项和为，则（ ）A. 12B. 99C. 132D. 1988. 在中，若，则的大小是（ ）A. B. C. D. 9. “”是“在上恒成立”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 设A，B为拋物线C：上两个不同的点，且直线过抛物线的焦点，分别以A，B为切点作抛物线的切线，两条切线交于点则下列结论：点一定在拋物线的准线上；的面积有最大值无最小值其中，正确结论的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域是_12. 的展

3、开式中的系数是_.（用数字填写答案）13. 正项数列满足，若，则的值为_14. 设点，分别为椭圆C：的左，右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为_15. 已知非空集合A，B满足：，函数对于下列结论：不存在非空集合对，使得为偶函数；存在唯一非空集合对，使得为奇函数；存无穷多非空集合对，使得方程无解其中正确结论的序号为_三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步稆或证明过程.16. 已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：函数的最大值为2；函数的图象可由的图象平移得到；函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，

4、并求出的解析式；（2）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求面积的最大值17. 某学校高一 、高二 、高三三个年级共有 名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了名教师一周的备课时间 ，数据如下表（单位 ：小时）：高一年级高二年级高三年级（1）试估计该校高三年级的教师人数 ；（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲 ，高二年级选出的人记为乙 ，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率 ；（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是（单位： 小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表

5、格中的数据平均数记为 ，试判断与的大小. （结论不要求证明）18. 如图1，在平面四边形中，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示（1）设平面与平面的交线为，求证：；（2）在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由19. 设函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；当时，求证：（2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围20. 已知椭圆C：短轴长等于，离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点作斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值，请说明理由21. 若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称“等比源数列”（1

6、）已知数列为4，3，2，1，数列为1，2，6，24，分别判断，否为“等比源数列”，并说明理由；（2）已知数列通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；（3）已知数列为单调递增的等差数列，且，求证为“等比源数列”石景山区2022年高三统一练习数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】A【解析】【分析】求得集合，结合集合补集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合 又由，所以.故选：A.2. 若复数满足，则 ()A. 1B. C. D. 【2题答案】【答案

7、】D【解析】【详解】分析：由，得，再利用复数乘法、除法的运算法则求解即可.详解：由，得，故选D.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题解题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误.3. 从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是( )A. B. C. D. 【3题答案】【答案】D【解析】【分析】设事件为“第i次抽到偶数”，i1，2，则所求概率为【详解】设事件为“第i次抽到偶数”，i1，2，则事件“在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数”的概率为：.故选：D.4. 设是直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）

8、A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【4题答案】【答案】D【解析】【分析】由线面平行的性质和面面平行的判定可判断选项A；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质可判断选项B；由面面垂直的性质定理和线面位置关系可判断选项C；由线面平行的性质和面面垂直的判定定理可判断选项D；【详解】对于选项A：若，则或与相交，故选项A不正确；对于选项B：若，则或，故选项B不正确；对于选项C：若，则或或与相交，故选项C不正确；对于选项D：若，由线面平行的性质定理可得过的平面，设，则，所以，再由面面垂直的判定定理可得，故选项D正确；故选：D5. 已知圆C：，过点的直线l与圆C交于A，B两点，则弦长度的最小值为

9、（ ）A 1B. 2C. 3D. 4【5题答案】【答案】B【解析】【分析】由题意，可得当直线l垂直于过圆心C与定点的直线时，弦长度取得最小值.【详解】解：由题意，因为，所以点在圆C内，因为直线l过点与圆C交于A，B两点，所以当直线l垂直于时弦长度取得最小值，因为，所以，故选：B.6. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】D【解析】【分析】化简函数解析式，由此可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，且，因此，函数的图象为选项D中的图象.故选：D.7. 在等差数列中，设数列的前项和为，则（ ）A. 12B. 99C. 132D. 198【7题答案】【答案】C【解析】

10、【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式，即可求解.【详解】，.故选：C8. 在中，若，则的大小是（ ）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】C【解析】【分析】由正弦定理边角互化，以及结合余弦定理，即可判断的形状，即可判断选项.【详解】因为，所以，由余弦定理可知，即，得，所以是等边三角形，.故选：C9. “”是“在上恒成立”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【9题答案】【答案】B【解析】【分析】在给定区间内恒成立问题，可参变分离求解后判断【详解】上恒成立，即在上恒成立，故“”是“”的必要不充分条件故选：B10. 设A，B为拋物线C：

11、上两个不同的点，且直线过抛物线的焦点，分别以A，B为切点作抛物线的切线，两条切线交于点则下列结论：点一定在拋物线的准线上；的面积有最大值无最小值其中，正确结论的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【10题答案】【答案】C【解析】【分析】由直线与抛物线知识，对结论依次判断【详解】抛物线焦点，可设直线方程为，联立直线与抛物线方程得，有，切线的方程为，化简得同理切线的方程为联立解得，故正确，故正确对于，当时，有最小值，无最大值，故错误故选：C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域是_【11题答案】【答案】【解析】【分析】由真数大于0和分母不等于0建立不等式组即可求解.

12、【详解】解：由，可得，所以函数的定义域是，故答案为：.12. 的展开式中的系数是_.（用数字填写答案）【12题答案】【答案】【解析】【详解】由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是.考点：1.二项式定理的展开式应用.13. 正项数列满足，若，则的值为_【13题答案】【答案】【解析】【分析】根据可知该数列为等比数列，根据，求出其公比和首项即可求.【详解】，是等比数列，设公比为q，且，由，得，.故答案为：.14. 设点，分别为椭圆C：的左，右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为_【14题答案】【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】当时，说明椭圆上存在4点

13、满足条件.【详解】当时，则,由椭圆方程可知，因为，所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，使得成立的点恰好有4个，所以实数的一个取值可以为0.故答案为：0（答案不唯一）15. 已知非空集合A，B满足：，函数对于下列结论：不存在非空集合对，使得为偶函数；存在唯一非空集合对，使得为奇函数；存在无穷多非空集合对，使得方程无解其中正确结论的序号为_【15题答案】【答案】【解析】【分析】通过求解可以得到在集合A，B含有何种元素的时候会取到相同的函数值，因为存在能取到相同函数值的不同元素，所以即使当与都属于一个集合内时，另一个集合也不会产生空集的情况，之后再根据偶函数的定义判断是否正确，根据奇函数的定义判断是否

14、正确，解方程判断是否正确【详解】若，则，若，则，若，则，若，则，综上不存在非空集合对，使得为偶函数若，则或，当，时，满足当时，所以可统一为，此时为奇函数当，时，满足当时，所以可统一为，此时为奇函数所以存在非空集合对，使得为奇函数，且不唯一解的，解的，当非空集合对满足且，则方程无解，又因为，所以存在无穷多非空集合对，使得方程无解故答案：【点睛】本题主要考查集合间的基本关系与函数的奇偶性，但需要较为缜密的逻辑推理通过对所属集合的分情况讨论来判断是否存在特殊的非空集合对使得函数为偶函数观察可以发现为已知的奇函数，通过求得不同元素的相同函数值将解析式归并到当中，使得成为奇函数通过求解解析式零点，使得可

15、令两个解析式函数值为0的元素均不在所对应集合内即可得到答案三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步稆或证明过程.16. 已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：函数的最大值为2；函数的图象可由的图象平移得到；函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式；（2）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求面积的最大值【1617题答案】【答案】（1）满足， （2）【解析】【分析】（1）分析条件中的矛盾之处，判断后求解（2）先求出的值，再由余弦定理与面积公式，利用基本不等式求最值【小问1详解】（1）分析条件知矛盾，矛盾，故满足的条件

16、为，由知，则故【小问2详解】，由，由余弦定理得，当且仅当时等号成立又，故面积最大值为17. 某学校高一 、高二 、高三三个年级共有 名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了名教师一周的备课时间 ，数据如下表（单位 ：小时）：高一年级高二年级高三年级（1）试估计该校高三年级教师人数 ；（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲 ，高二年级选出的人记为乙 ，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率 ；（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是（单位： 小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表

17、格中的数据平均数记为 ，试判断与的大小. （结论不要求证明）【17题答案】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【详解】试题分析：（1）直接根据分层抽样方法，可得高三年级的教师共有（人）；（2）根据互斥事件、独立事件的概率公式求解；（3）分别求出三组总平均值，以及新加入的三个数的平均数为9，比较大小即可.试题解析：（1）抽出的20位教师中，来自高三年级的有8名，根据分层抽样方法，高三年级的教师共有（人）（2）设事件为 “甲是现有样本中高一年级中的第个教师”， ，事件“乙是现有样本中高二年级中的第个教师”， ，由题意知：，设事件为“该周甲的备课时间比乙的备课时间长”，由题意知，所以 故；（3），

18、三组总平均值，新加入的三个数的平均数为9，比小，故拉低了平均值，18. 如图1，在平面四边形中，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示（1）设平面与平面的交线为，求证：；（2）在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由【1819题答案】【答案】（1）证明见解析； （2）存在点为的中点时，使得二面角的余弦值为，理由见解析.【解析】【分析】（1）延长相交于点，连接，得到为平面与平面的交线，结合线面垂直的判定定理，证得平面，得到平面，进而证得.（2）以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式列出方程，即可

19、求解.【小问1详解】证明：延长相交于点，连接，则为平面与平面的交线.证明如下：由平面平面，平面，且平面平面，所以平面，又由，所以平面，因为平面，所以，所以.【小问2详解】解：由（1）知：，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，设其中，则，所以，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，又由平面，所以平面的一个法向量为，则，解得，所以存在点为的中点时，使得二面角的余弦值为.19. 设函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；当时，求证：（2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围【1920题答案】【答案】（1）；证明见解； （2）.【解析】【分析】（1）

20、当时，求得，得到，进而求得曲线在点处的切线方程；令，利用导数求得在单调递减，得到，即可求解；（2）求得，令，分和两种情况，结合和单调性，求得，设使得，利用函数的单调性，得到，即可求解.【小问1详解】解：当时，可得，则，可得曲线在点处的切线方程，即.令，则，当，可得，在单调递减，又因为，所以，即，即，即当时，【小问2详解】解：由函数，可得，令，当时，即，在区间上单调递增，因为，所以，所以函数在区间上没有零点，不符合题意；当时，函数的图象开口向上，且对称轴为，由，解得，当时，在区间上恒成立，即，在区间上单调递减，因为，所以，所以函数在区间上没有零点，不符合题意；综上可得，设使得，当时，单调递减；当

21、时，单调递增，因为，要使得函数在区间上存在唯一零点，则满足，解得，所以实数的取值范围为.20. 已知椭圆C：的短轴长等于，离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点作斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值，请说明理由【2021题答案】【答案】（1） （2）定值为，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，列出的方程组，求得的值，即可求得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，联立方程组得到，进而求得，得出中垂线的方程，求得，再由弦长公式求得，即可求解.【小问1详解】解：由椭圆C：的短轴长等于，离心率可得，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】解：由椭圆的方程，

22、可得右焦点，设直线的方程为，联立方程组，整理得，可得，所以，则，即，则中垂线的方程为，令，可得，所以，又由 ，所以（定值）.21. 若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”（1）已知数列为4，3，2，1，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由；（2）已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；（3）已知数列为单调递增的等差数列，且，求证为“等比源数列”【2123题答案】【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）根据题中定义判断（2）假设存在三项成等比数列后列方程，判断是否有解（3）假设存在三项成等

23、比数列后列方程，找出一组解【小问1详解】是“等比源数列”，不是“等比源数列”中“”构成等比数列，所以是“等比源数列”；中“”，“”，“”，“”均不能构成等比数列，所以不是“等比源数列”【小问2详解】不是“等比源数列”假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列，即中存在的 （）三项成等比数列，也就是，即，两边时除以得，等式左边为偶数，等式右边为奇数所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列综上可得不是“等比源数列”小问3详解】证明：因为等差数列单调递增，所以 因为则，且，所以数列中必有一项为了使得为“等比源数列”，只需要中存在第项，第项（），使得成立，即，即成立当，时，上式成立所以中存在成等比数列所以，数列为“等比源数列”