初一数学暑假提升讲义10：含字母系数的方程和不等式（教师版）

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1、第10讲 含字母系数的方程和不等式模块一 含字母系数的一元一次方程定 义示例剖析含字母系数的方程：当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的值来确定： 当时，原方程有唯一解； 当且时，解是任意数，原方程有无数个解； 当且时，原方程无解夯实基础【例1】 已知方程的解为，则 ； 已知是方程的解，则 【解析】 根据方程解的意义，把代入原方程，得，解这个关于的方程，得 根据题意可得，则【例2】 如果与互为相反数，且满足方程，求的值【解析】 ，.【拓展】若是方程的解，求代数式的值【解析】将代入方程，得，解得化简代数

2、式：原式当时，原式【例3】 当 ， 时，方程有唯一解；当 ， 时，方程无解；当 ， 时，方程有无穷多个解 解关于的方程【解析】 为任意数；. 去分母，化简可得：当时，方程的解为；当，时，解为任意值； 当，时，方程无解能力提升【例4】 已知关于的方程有无穷多个解，那么 ， ； 已知关于的方程有无穷多个解，求与的值【解析】 ，即，故且，即，； 方程可以化为：，因为方程有无数多个解，所以，解得：，【巩固】已知：关于的方程有无穷多个解，试求的解.【解析】 原方程整理为，因为当且该方程有无数多组解，所以，把代入得，解得.【例5】 已知关于的方程无解，试求的值【解析】由题意得：，故且，即时方程无解【例6】

3、 若，为定值，关于的一元一次方程，无论为何值时，它的解总是，求和的值 如果不论为何值，总是关于的方程的解，则 ， 【解析】 因为该方程的解为，代入原方程可得到：，即，又因为原方程的解不论取何值时都是，这说明方程有无数多个解，即且，所以， 原方程整理为以为未知数的方程对于任何实数的方程有，所以有，求得，探索创新【例7】 已知：与都是关于的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于的方程的解（人大附中期中练习）【解析】 由题意可知，故题中的两个方程变为和，由上述两个方程的解互为相反数可知，故方程变为，从而可知，或模块二 含字母系数的一元一次不等式定 义示例剖析含字母系数的不等式：当不等式中的系数用

4、字母表示时，这样的不等式叫做含字母系数的不等式，也叫做含参数的不等式对于含字母系数的不等式，未知数的系数含有字母时需要分类讨论：如不等式： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，若，则不等式的解集为任意数；若，则这个不等式无解夯实基础【例8】 解关于的不等式： 【解析】 移项得：当时，解集为当时，解集为当时，不等式变为，故不等式无解 移项，合并同类项得：当，即时，不等式解集为当，即时，不等式解集为当时，即时，不等式变为，故不等式解集为任意数. 不等式变形得：，因不知的正负性，故分类讨论当，即时，解集为当，即时，解集为当，即时，不等式无解. ，不等式解集为【例9】 已知关于的不等

5、式的解集是，求的值 已知关于的不等式的解集是，那么的值是多少？【解析】 解这个不等式： 解集是，解得 由得，要使其解集为，则且，即【巩固】当时，不等式的解集是，则 （重庆市竞赛题）【解析】【例10】 已知是关于的不等式的解，求的取值范围 已知关于的不等式的解集是，求的取值范围【解析】 将代入不等式，得解这个不等式，得 最终的解集为，能力提升【例11】 已知，求关于的不等式的解集【解析】由解得，故有，所以解关于的不等式可得【例12】 已知关于的不等式的解是求的解集【解析】根据题意有且，可得，所以的解集为【巩固】已知、为实数，若不等式的解集为，求不等式的解集【解析】由不等式得，因为它的解集为，所以

6、有，且，可得：且，把代入0得，由0，得解集为 实战演练知识模块一 含字母系数的一元一次方程 课后演练【演练1】 已知关于的方程的解为，求代数式的值【解析】方程的解为，则有，求得，【演练2】 已知关于的方程无解，那么 ， ； 如果关于的方程有无穷多个解，求值【解析】 ，即，故且，即， 原方程整理得，由方程有无数个解得，【演练3】 若、为定值，关于的一元一次方程，无论为何值时，它的解总是，求的值【解析】方程可化为：，由该方程总有解可知，即，又值为任意，故，知识模块二 含字母系数的一元一次不等式 课后演练【演练4】 解关于的不等式：； 解关于的不等式：； 解关于的不等式：【解析】 去分母，得移项，合并同类项得 由原不等式，得：当，即时，其解集为当，即时，其解集为当，即时，若，即，解集为所有数；若，即，原不等式无解 由不等式得若，则；若，即，原不等式可变形为：恒成立，所以可取任意数；若，则【演练5】 若不等式的解集是，则的取值范围是_ 已知、为常数，若的解集为，则的解集是（ ）A. B. C. D. 【解析】 ； B【演练6】 已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集【解析】原不等式可化为由于它的解集是，化简，得，代入，解得所以不等式的解集为，即