初一数学暑假提升讲义9：不等式和不等式组（教师版）

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1、第9讲 不等式和不等式组模块一 不等式的定义和性质定 义示例剖析不等式的概念：用不等号连接的式子叫不等式不等号包括：“”、“”、“”、“”、“”， ，等基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变若，则若，则基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变若，且，则或若，且，则或基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变若，且，则或若，且，则或不等式具有互逆性若，则；若，则不等式具有传递性若，则注意： 在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向 在不等式两边都乘以，不等式变为等式. 以不等式为例，在不等式两边

2、都乘同一个数时，有下面三种情形： 如果，那么； 如果时，那么； 如果时，那么不等式的性质与等式性质的对比：等式的性质不等式的性质两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式.两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变.两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是），所得结果，仍是等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.根据等式性质，方程两边可以乘以，但不能除以.在不等式两边都乘以，不等式变为等式.夯实基础【例1】 用不等式表示数量的不等关系 是正数 是非负数 不比0大 与的差是负数 的相反数不大于1 的相

3、反数与的一半的差不是正数 例：如果，则，是根据 不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变； 如果，则，是根据 ； 如果，则，是根据 ； 如果，则，是根据 ； 如果，则，是根据 【解析】 ； ； ； ； ； ； 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变； 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变能力提升【例2】 设，都是实数，且满足：用去乘不等式的两边，不等号方向不变；用去除不等式的两边，不等号方向改变；用去乘不等式的两边，不等号要变成等号则、的大小关系是（ ）A B C D 如果，则下列各式

4、不成立的是（ ）A. B. C. D. （北京五中期中） 若，则下列不等式成立的是（ ）ABC D（北京师范大学附属实验中学期中）【解析】 根据题意可得、，所以选择B； D； A. 其中B选项中的值不确定，当时，；当时，；当时，. C选项中当时成立，当时不成立；D选项中应为.【巩固】根据，则下面哪个不等式不一定成立（ ）A B C D【解析】 C，正确应为模块二 一元一次不等式定 义示例剖析一元一次不等式：类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式.，一元一次不等式标准形式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为或的形式（其中）.，等都是一元

5、一次不等式的标准形式不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫作不等式的解 ，都是不等式的解，当然它的解还有许多不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫作不等式的解集一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解不等式的解集可以用数轴来表示是的解集；是的解集解一元一次不等式的步骤：去分母去括号移项合并同类项（化成或形式）系数化为（化成或的形式）不等式的解与不等式解集的区别与联系：不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个

6、解在数轴上表示不等式的解集（示意图）：不等式的解集在数轴上表示的示意图不等式的解集在数轴上表示的示意图夯实基础【例3】 下列说法中，正确的是（）A是不等式的解B是不等式的唯一解C不是不等式的解D是不等式的解集 利用数轴表示下面未知数的取值范围： 求不等式的所有整数解的和 如下图，天平右盘中的每个砝码的质量都是，则物体的质量的取值范围，在数轴上可表示为（ ）（北京二中期中）【解析】 A； 需要注意地方：大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心点”，不包括端点用“空心点”，数轴上没有端点的值，写出端点的值 不等式的所有整数解为、，故所有整数解的和为； A.能力提升【例4】 不等式的解集是_（北京中

7、考） 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来（北京中考） 解不等式【解析】 ； 解：去括号，得移项，得合并，得系数化为1，得不等式的解集在数轴上表示如下：1230 ；【例5】 不等式的正整数解是 （人大附中期中） 解不等式，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解（北京五中期中）【解析】 1，2，3； ，正整数解1，2.【巩固】求不等式的非负整数解【解析】 解不等式得，所以其非负整数解为0，1，2【例6】 当为何值时，代数式的值总不大于的值 当取何值时，代数式的值大于的相反数【解析】 根据题意，列不等式得：，解得：； 由题意可列不等式为：，解得【点评】本题要求自己根据题意列出不等式，进而求解

8、【拓展】为何正整数时，关于的方程的解是非负数？【解析】解方程得，根据题意：得，解得满足题意的正整数 的值是1，2，3模块三 一元一次不等式组定 义示例剖析一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组和都是一元一次不等式组；不是一元一次不等式组一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解（解集为空集）解一元一次不等式组的步骤： 求出这个不等式组中各个不等式的解集； 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集由两个一元一次不

9、等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中）不等式图示解集（同大取大）（同小取小）（大小交叉中间找）无解（大大小小无解了）【例7】 不等式组 的解集是（ ）.A. B. C. D. 将不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）A B C D（北京五中期中）【解析】 D； C 能力提升【例8】 解不等式组： （人大附中期中）【解析】 ； 探索创新【例9】 已知，求的最大值和最小值【解析】 根据绝对值的几何意义的相关结论，可知：的最小值为3（当时取得最小值）；的最小值为3（当时取得最小值）；的最小值为4（当时取得最小值）；所以；而根据题意，所以、及均取最小值，则：；于是，因此

10、的最大值为15，最小值为【例10】 已知满足不等式，并且的最大值为，最小值为，求之值【解析】 解不等式，得；根据绝对值的相关知识，可知当时，最大值为（当时取得），最小值为（当时取得），所以，实战演练知识模块一 不等式的定义和性质 课后演练【演练1】 利用不等式的基本性质，用“”或“”号填空 若，则_； 若，则_； 若，则_； 若，则_ 如果，则下列哪个不等式是正确的（ ）A B C D 用不等式表示： 的与的差是负数（ ）AB C D（北京师范大学附属实验中学期中） 与的和的不大于【解析】 ； ； ； ； D； C； 知识模块二 一元一次不等式 课后演练【演练2】 不等式的解集是 使不等式成立的值中最大的整数是（ ）A0 B C D2（北京五中期中） 不等式的所有正整数解的和是_.【解析】 ； B； 3；【演练3】 解不等式，并把解集在数轴上表示出来 【解析】 ，图略； ，图略知识模块三 一元一次不等式组 课后演练【演练4】 不等式组的解集是 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来【解析】 ； ，图略【演练5】 解下列不等式组： （北京市西城区期末） 不等式组的整数解是 【解析】 ； 不等式组的解集为：，整数解为.【演练6】 已知，求的最大值与最小值【解析】 等式可化为：；由绝对的几何意义知：当且时，上式成立，所以当，时，取最大值6；当，时，取最小值