广东省2022届高三综合能力测试数学试题（含答案）

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1、第 1 页 共 4 页广广东东省省 2022 届届高高三三综综合合能能力力测测试试( (一一) )数数 学学注注意意事事项项:1答卷前,考生要务必填涂答题卷上的有关项目2选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效4请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一一、选选择择题题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合245

2、0MxxxR,0NxxR,则MN ()A 1B 5C1,5D2. 复数1 3i23i1 iz(i为虚数单位)的共轭复数z ()A.1 iB.1 iC.12iD.1 2i3. 若抛物线22ypx(0p )上的点03,My到焦点的距离是4,则抛物线的方程为()A.22yxB24yxC.28yxD212yx4. 基本分裂数m,是一个衡量细菌分裂的参数,简单来说在1小时内1个细菌平均可以分裂成m个细菌.已知在某种细菌培养过程中,原有细菌26个,经过了3小时后细菌增至105个,那么326105m ,参考上述数据预计再经过()小时细菌就会突破十万个.A.12B15C.18D215. 已知A为三角形的内角,

3、且7sincos13AA,则tan A ()A.125B512C.512D1256. 受全球新冠疫情影响,2020东京奥运会延期至2021年7月23日到8月8日举行,某射箭选手积极备战奥运,在临赛前的一次训练中共射了1组共72支箭,下表是命中环数的部分统计信息:环数778910频数03ab22已知该次训练的平均环数为9.125环,据此水平,正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈(不小于9环)的概率约为()A.0.31B0.65C.0.86D17如图,直线xm(1m )依次与曲线logayx、logbyx及x轴相交于点A、点B及点C,若B是线段AC的中点,则()A.121baB.21baC.12baD

4、.2ba2021 年年 8 月月第 2 页 共 4 页8. 已知函数 21xf xaaa(其中0a 且1a ),若当1x 时,恒有 94f x ,则a的取值范围是()A.1(0, 2B.3(0, )4C.1 ,1)2D.1( ,1)4二二、选选择择题题: :本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分.9.2021年5月11日,国家统计局公布了第七次人口普查统计数据,全国总人口数为141178万.全部七次人口普查的人口增长率、性别比及城镇化进程变化情况如下图:根据以上信息,下列统计结论正

5、确的是()A. 七次人口普查的人口增长率逐次减少B七次人口普查的性别比趋于稳定,重男轻女的传统观念有所转变C. 七次人口普查的城镇人口比重逐次提高D第七次人口普查城镇人口数与乡村人口数相差超过 4 亿10.已知函数 112xf x ,则()A.21log 34fB. f x是R上的减函数C. f x的值域为,1D. 不等式 121fxf x的解集为1(,)3 11.已知函数 sinf xAx(0A ,0,2)的部分图象如图所示,下列说法正确的是()A. 函数 yf x的图象关于点(,0)对称B. 函数 yf x的图象关于直线5x 对称C. 函数 yf x在2,上单调递减D. 该图象向右平移个单

6、位可得2sin2yx的图象12.下列不等式成立的是()A.2B.sin12logsin12C.5ln22ln5D.46log 3log 5第 3 页 共 4 页三三、填填空空题题: :本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,其中第 16 题第一空 2 分,第二空 3 分.13.已知12nx的展开式的二项式系数之和为16,则各项系数之和为_.(用数字作答)14.若椭圆的左顶点、上顶点以及右焦点构成直角三角形,则该椭圆的离心率为_.15.直三棱柱111ABCABC的所有顶点都在球O的球面上,AB BC,1AB ,2 2BC ,1AA 4,则球O的体积是_.16.定义在R上的函数 sinf

7、xxax,若f x是奇函数,则a _； 满足 0f x 的x的取值范围是_.四四、解解答答题题: :本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.( (10 分分) )已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c,且sin33 cos2aCbaCc.(1) 求A；(2) 若2a ,且sinsin2sinBCA,求ABC的面积.18.( (12 分分) )已知各项均为正数的数列 na满足12a ,2211230nnnnaa aa.(1) 求 na的通项公式；(2) 若23nna bn,求数列 nb的前n项和.19.( (12 分分) )如图,长方体

8、1111ABCDABC D中,3ABAD,E在棱11C D上,且112C EED,在平面1111ABC D内过点1D作直线l,使得l AE.(1) 在图中画出直线l并说明理由；(2) 若1ADAA,求直线l与平面ABE所成角的正弦值.第 4 页 共 4 页20.( (12 分分) )研究表明,子女的平均身高iy(cm)与父母的平均身高ix(cm)有较强的线性相关性.某数学小组收集到 8 个家庭的相关数据,下面是小组制作的统计图(散点图、回归直线l及回归方程)与原始数据表(局部缺失):(1) 表中 8 号家庭的子女平均身高数据缺失,试根据统计学知识找回该数据；(2) 由图中观察到 4 号家庭的数

9、据点明显偏离回归直线l,试计算其残差(残差观测值预报值）；若剔除 4 号家庭数据点后,用余下的 7 个散点作线性回归分析,得到新的回归直线l,判断并证明l与l的位置关系.附:对于一组数据11,x y,22,xy,nnxy,其回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为:121niiiniixxyybxx1221niiiniix ynxyxnx,aybx.21.( (12 分分) )已知双曲线C:22221xyab(0a ,0b )的右焦点为2,0F,一条渐近线方程为30 xy.(1) 求C的方程；(2) 记C的左、 右顶点分别为A、B,过F的直线l交C的右支于M,N两点,连结MB交直线32

10、x 于点Q,求证:A、Q、N三点共线.22.( (12 分分) )已知函数 211ln2f xxa xx, 3113g xxf x.(1) 确定a的所有值,使函数 f x是0,上的增函数；(2) 若函数 g x在1xx和2xx处取得极小值1g x和2g x,证明:121302g xg xa家庭编号12345678父母平均身高(cm)160.5165167170170.5173174180子女平均身高(cm)168170172.5187174.5176180*第 1 页 共 6 页广广东东省省 2022 届届高高三三综综合合能能力力测测试试( (一一) )数数 学学 解解析析版版1.【解解析析】

11、D；依题意得M ,所以MN .2.【解解析析】D；依题意得i 3i2 1 i12i3i1 i1 iz ,所以z 1 2i.3.【解解析析】B；准线方程为l:2px ,M到准线的距离等于它到焦点的距离,则342p,2p ,故抛物线方程为24yx,故选 B.4.【解解析析】B；由题意知310526m ,设再经过n小时细菌就会突破十万个,则105100000nm ,即3105105()10000026n,得310520000()2621n,因为23333105104422626,10200002102421,则再经过15小时细菌就会突破十万个.5.【解解析析】A；平方可得1202sincos0169

12、AA ,故sin0A ,cos0A,故17sincos13AA,联立题中给定条件,可解得12sin13A ,5cos13A ,故tan A 125.6.【解解析析】C；由7222347ab,7 38910 229.125 72ab ,得4789416abab,解得740ab,训练中命中黄圈的频率为22400.8672,以频率估计概率,故正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈(不小于 9 环)的概率约为0.86.7.【解解析析】B；由B是线段AC的中点,得ABBC,即log2logabmm,即loglog2logaaammb,所以log2ab ,故2ba,又,1,a b,22212110baaaa ,

13、所以21ba； 事实上,当12a时,选项 C 正确；当2a 时,选项 D 正确.8.【解解析析】D；当1a 时, f x是1, 上的增函数, f x的值域为12,aa,不满足条件；当112a时, f x是1, 上的减函数, f x的值域为1,2aaa,因为1,2aaa1,0,满足 94f x ；当12a 时, 12f x 时,满足 94f x ；当102a时, f x是1, 上的增函数, f x的值域为12,aaa,由1924102aaa ,得1174102aaa,解得：1142a,综上,所求a的取值范围是1,14.9.【解解析析】BC；由图 1 易知 A 错误；由图 2 易知 B 正确；由图

14、 3 易知 C 正确、 由图 3 及题干信息得城第 2 页 共 6 页镇乡村人口差为14.11780.63890.361114.20.640.363.976, D 错误.10. 【解解析析】 ABD；22log 3111log 3121 34f, A 正确；12xy 恒正且在R上递增,故112xy 是R上的减函数,B 正确；12xy 的值域是1,故 112xf x 的值域是0,1,C 错；注意到 111211 21 21 21 2xxxxxf xfx,故不等式 121fxf x等价于12fx f xf xfx,即12fxfx,又 f x是R上的减函数,故12xx ,解得13x ,D 正确.11

15、.【解解析析】ABD；延伸图象或求出解析式 f x 2sin(2)x,逐个判断即可得答案.12.【解解析析】AC； xf x 在R上递增,所以12( )2ff, A 正确；因为0sin12,所以2logsin11,又sin121,故sin12logsin12,于是 B 错误；研究ln2ln4ln5245,易知 ln xf xx在e,上递减,故 245fff,C 正确(也可以化成同底比较: 也可以5ln2ln322ln5ln25) ；334log1 log34 ,55661o5llogg ,34log336log5556log5log 356log5, 故354logl0og6,所以46log

16、3log 5,故 D 错误.13.【解解析析】81；依题意得216n,即4n ,在412x中令1x 可得各项系数和为4381.14.【解解析析】512；不妨设左顶点A,上顶点B,右焦点F,由射影定理得2OBOF OA,即2bac,22acac,即210ee ,解得512e(负值舍去).15.【解解析析】1256；补成长方体,半径22221(2 2)45R ,故球O的体积3412536VR.16.【解解析析】,2；sinf xxax ,因为f x是奇函数,则0a,即a ， sinf xxx,因为 1cos0fxx ，则 f x递增，又(2 )f ,则 0f x f x ( )(2 )2f xfx

17、 .17.【解解析析】(1)由sin33 cos2aCbaCc及正弦定理sinsinsinabcABC,可得sinsin3sin3sincos2sinACBACC. 2 分又sinsinBAC,3 分所以sinsin3sincos3cossin3sincos2sinACACACACC,化简得sinsin3cossin2sinACACC,4 分第 3 页 共 6 页因为sin0C ,所以sin3cos2AA,即2sin()23A,此时sin()13A,5 分又(0, )A,所以32A,即6A.6 分(2) 由sinsin2sinBCA及正弦定理可得2bca, 7 分由余弦定理2222cosabc

18、bcA可得22()22cosabcbcbcA,8 分即3416222bcbc,解得12(23)bc ,9 分所以ABC的面积111sin12 (23)3(23)222SbcA.10 分18.【解解析析】(1)依题意可得1130nnnnaaaa,2 分又0na ,所以130nnaa,即13nnaa,3分所以 na是首项为2,公比为3的等比数列, 4 分所以11132 3nnnaa,即 na的通项公式为12 3nna.5 分(2)由(1)知12 3nna,所以233nnnnnba, 6 分令211213333nnnnnT,231112133333nnnnnT,8分得23121111333333nn

19、nnT1111(1)1133(1)1323313nnnnnn, 11 分所以32344 3nnnT,即数列 nb的前n项和为32344 3nn.12 分19.【解解析析】(1)连结11B D,则直线11B D即为所求的直线l.理由如下:2 分连结1AE,因为111111113D ED AADAB,1111190ED AD AB ,所以11111ED AD AB,故11111D AEAB D ,又11111190AB DAD B,所以1111190D AEAD B,所以111B DAE,又1AA 平面1111ABC D,所以111AAB D,又111AEAAA,所以11B D 平面1AAE,故1

20、1B D AE,所以直线11B D即为所求的直线l. 5 分说说明明若连结1AE,作11D HAE于H,则直线1D H为所求的直线l.给出相应理由,同样给至 5 分.(2)以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz如图所示,不妨设3AD ,则3 3AB , 6 分第 4 页 共 6 页3,0,0A,3,3 3,0B,0, 3,3E,10,0,3D,13,3 3,3B,7 分113,3 3,0D B ,0,3 3,0AB ,3, 3,3AE ,8 分设平面ABE的法向量, ,x y zn,则3 303330AByAExyz nn,解得0yxz,令1z ,得1,0,1n,10 分设直线l与平面ABE所

21、成角为,则11111132sincos,4362D BD BD B nnn,所以直线l与平面ABE所成角的正弦值为24.12 分20.【解解析析】(1)160.5 165 167 170 170.5 173 174 1801708x, 2 分代入1.009 1705.470177y ,4 分8177 8(168 170 172.5 187 174.5 176 180188y ）,6 分(2)因为4170 xx,所以4x的预报值恰为y, 7 分故残差4187 17710yy8 分两回归直线l与l平行.10 分理由如下:设回归直线l的斜率为b,截距为 a,样本中心点为( , )x y； 回归直线l

22、的斜率为b,截距为 a,样本中心点为( ,)x y,因为40 xx,888411888222414()()()()8,()()()iiiiiiiiiiiiiiixxyyxxyyx yxybbxxxxxx 11 分因为4yy,故()(),ayb xybxyyaayya 故两回归直线l与l平行. 12 分21.【解解析析】(1)依题意可得224ab,13ba,2 分解得23a ,21b ,故C的方程为2213xy. 4 分(2)易得3,0A ,3,0B,显然,直线l的斜率不为0,设其方程为2xmy,11,M x y,22,N xy, 5 分联立方程22233xmyxy,消去x整理得223410my

23、my ,6 分第 5 页 共 6 页所以12243myym,12213y ym. 7 分直线MB:11(3)3yyxx,令32x 得11(32 3)2(3)yyx,故11(32 3)3( ,)22(3)yQx.8 分22(3,)ANxy,11(32 3)3(3,)22(3)yAQx,122112211(32 3)(3)(32 3)(3)(32 3)(3)3(3)22(3)2(3)yxyxyxyxx,(*)9 分又21122112(3 2 3)(3)(3 2 3)(3)(3 2 3)(23)(3 2 3)(23)y xyxy myymy 1221(32 3)(32 3) (32 3)(23)(2

24、 33)(23)mm y yyy1212224 34 34 33033mmmy yyymm,即(*)的值为0.11 分所以/ANAQ,故A、Q、N三点共线. 12 分22.【解解析析】(1) 111fxxax11xxax（0 x ）,1 分因为0 x ,故 f x是0,上的增函数等价于10 xxa恒成立, 2 分所以1a ，即函数 f x是0,上的增函数的a的值为14 分(2) 21gxxfx2111xxxax2112xxxax,5 分依题意知12,x x是 22h xxxa的两个零点,且1201xx ,122xx,12xxa ,6 分 00ha , 21120ha,解得10a ,7 分又31

25、11113g xxf x,3222113g xxf x,故12g xg x311113xf x322113xf x12f xf x 22121212111lnln2xxa xxaxx 12121211lnlnxxa xxaxx121212121lnx xxxa xxax x 8 分1 3lnaaa 9 分故原不等式121302g xg xa等价于1ln02aa,第 6 页 共 6 页令at ,则01t ,原不等式等价于1ln02tt,即1ln02tt10 分令 1ln ,01.2tttt 则 22111122ttttt , t在区间10,2上递减,在区间1,12上递增,当12t 时 t取最小值11 ln202 ,故 1ln02ttt综上所述,121302g xg xa12 分