2020-2021学年北京市东城区二校联考高二下期中数学试卷(含答案解析)
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1、2020-2021 学年北京市东城区学年北京市东城区二校联考二校联考高二(下)期中数学试卷高二(下)期中数学试卷 一、选择题: (本题有一、选择题: (本题有 12 道小题,每小题道小题,每小题 4 分,共分,共 48 分)分) 1 (4 分)6 位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序有( ) A240 种 B360 种 C480 种 D720 种 2 (4 分)8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为( ) A B C D 3 (4 分)某物体的运动方程为 s(t)3t2,若(位移单位:m,时间单位:s) ,则下列说法中正确的是(
2、) A18m/s 是物体从开始到 3s 这段时间内的平均速度 B18m/s 是物体从 3s 到(3+t)s 这段时间内的速度 C18m/s 是物体在 3s 这一时刻的瞬时速度 D18m/s 是物体从 3s 到(3+t)s 这段时间内的平均速度 4 (4 分)已知an为等差数列,Sn为其前 n 项和若 a5S55,则 a1( ) A5 B4 C3 D2 5 (4 分)函数 yx2cosx 的导数为( ) Ay2xcosxx2sinx By2xcosx+x2sinx Cyx2cosx2xsinx Dyxcosxx2sinx 6 (4 分)4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 2 门,则恰有
3、 2 人选修课程甲的不同选法共有( ) A12 种 B24 种 C30 种 D36 种 7 (4 分)在的展开式中,x4的系数为 12,则 a 的值为( ) A2 B2 C1 D1 8 (4 分)函数 f(x)(x21)3+2 的极值点是( ) Ax1 Bx1 或 x1 或 x0 Cx0 Dx1 或 x1 9 (4 分)已知点 A(x1,x12) ,B(x2,x22) ,则“ABC 是等边三角形”是“直线 AB 的斜率为 0”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 10 (4 分)若直线 l:xa 与函数 f(x)x2+1,的图象分别交于点 P
4、、Q,当 P、Q 两点距离最近时,a( ) A B C1 D 11 (4 分)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张,要求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为( ) A232 B252 C472 D484 12 (4 分)已知 aR设函数 f(x)若关于 x 的不等式 f(x)0 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围为( ) A0,1 B0,2 C0,e D1,e 二、填空题: (本题有二、填空题: (本题有 5 道小题,每小题道小题,每小题 5 分,共分,共 25 分)分) 13 (5 分)已知双曲线 C:1
5、经过点(,2) ,那么 m 的值为 ,C 的渐近线方程为 14 (5 分)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个 (用数字作答) 15 (5 分)若的展开式中各项系数之和为 32,则展开式中 x 的系数为 16 (5 分)已知 xa 是函数 f(x)x3x2x 的极小值点,则 a 17 (5 分)设 A 是非空数集,若对任意 x,yA,都有 x+yA,则称 A 具有性质 P给出以下命题: 若 A 具有性质 P,则 A 可以是有限集; 若 A1,A2具有性质 P,且 A1A2,则 A1A2具有性质 P; 若 A,A 具
6、有性质 P,则 A1A2具有性质 P; 若 A 具有性质 P,且 AR,则RA 不具有性质 P 其中所有真命题的序号是 三、解答题(本题有三、解答题(本题有 6 小题,共小题,共 77 分)分) 18 (10 分)已知an(nN*)是各项均为正数的等比数列,a116,2a3+3a232 ()求an的通项公式; ()设 bn3log2an,求数列bn的前 n 项和 Sn,并求 Sn的最大值 19 (12 分)已知函数 f(x)ex(x+2) ()求 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; ()求 f(x)的单调区间与极值,并说明是极大值还是极小值 20 (14 分)如图,在三棱柱 ABCA
7、1B1C1中,AA1平面 ABC,BAC,AA1ABAC1,CC1的中点为 H ()求证:ABA1C; ()求二面角 A1BCA 的余弦值; ()在棱 A1B1上是否存在点 N,使得 HN平面 A1BC?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由 21 (14 分)已知函数 f(x)(x+1)lnxax+a ()若曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线倾斜角为,求 a 的值; ()若 f(x)在(0,+)上单调递增,求 a 的取值范围; ()请直接写出 f(x)的零点个数 22 (14 分)已知椭圆长轴的两个端点分别为 A(2,0) ,B(2,0) ,离心率为 ()求椭圆 C 的方程; (
8、)P 为椭圆 C 上异于 A,B 的动点,直线 AP,PB 分别交直线 x6 于 M,N 两点,连接 NA 并延长交椭圆 C 于点 Q ()求证:直线 AP,AN 的斜率之积为定值; ()判断 M,B,Q 三点是否共线,并说明理由 23 (13 分)设 n(n2)为正整数,若 (x1,x2,xn)满足: xi0,1,n1,i1,2,n; 对于 1ijn,均有 xixj 则称 (x1,x2,xn)具有性质 E(n) 对于 (x1,x2,xn)和 (y1,y2,yn) ,定义集合 T(,)t|t|xiyi|,i1,2,n ()设 (0,1,2) ,若 (y1,y2,y3)具有性质 E(3) ,写出
9、一个 及相应的 T(,) ; ()设 和 具有性质 E(5) ,那么 T(,)是否可能为0,1,2,3,4,若可能,写出一组 和 ,若不可能,说明理由; ()设 和 具有性质 E(n) ,对于给定的 ,求证:满足 T(,)0,1,n1的 有偶数个 参考答案参考答案解析解析 一、选择题: (本题有一、选择题: (本题有 12 道小题,每小题道小题,每小题 4 分,共分,共 48 分)分) 1 (4 分)6 位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序有( ) A240 种 B360 种 C480 种 D720 种 【解答】解:因为 6 位选手依次演讲,其中选手甲不在第
10、一个也不在最后一个演讲,甲先安排在除开始与结尾的位置还有个选择,剩余的元素与位置进行全排列有,所以甲只能在中间的 4 个位置,所以不同的演讲次序有480 种 故选:C 2 (4 分)8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为( ) A B C D 【解答】解:用插空法解决的排列组合问题, 将所有学生先排列,有 A88种排法, 然后将两位老师插入 9 个空中, 共有 A92种排法, 一共有 A88A92种排法 故选:A 3 (4 分)某物体的运动方程为 s(t)3t2,若(位移单位:m,时间单位:s) ,则下列说法中正确的是( ) A18m/s 是物体从开始到 3s 这段
11、时间内的平均速度 B18m/s 是物体从 3s 到(3+t)s 这段时间内的速度 C18m/s 是物体在 3s 这一时刻的瞬时速度 D18m/s 是物体从 3s 到(3+t)s 这段时间内的平均速度 【解答】解:根据题意, 即物体在 3s 这一时刻的瞬时速度是 18m/s, 故选:C 4 (4 分)已知an为等差数列,Sn为其前 n 项和若 a5S55,则 a1( ) A5 B4 C3 D2 【解答】解:因为an为等差数列,a5S55, 所以, 解得 a13 故选:C 5 (4 分)函数 yx2cosx 的导数为( ) Ay2xcosxx2sinx By2xcosx+x2sinx Cyx2co
12、sx2xsinx Dyxcosxx2sinx 【解答】解:y(x2)cosx+x2(cosx)2xcosxx2sinx 故选:A 6 (4 分)4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 2 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有( ) A12 种 B24 种 C30 种 D36 种 【解答】解:由题意知本题是一个分步计数问题, 恰有 2 人选修课程甲,共有 C426 种结果, 余下的两个人各有两种选法,共有 224 种结果, 根据分步计数原理知共有 6424 种结果 故选:B 7 (4 分)在的展开式中,x4的系数为 12,则 a 的值为( ) A2 B2 C1 D1 【解答】解:由题
13、设可得:的展开式的通项公式为 Tr+1x6r ()r (a)rx62r(r0,1,6) , 令 62r4,可得 r1, 由 x4的系数为 12,可得 12 (a)6a,解得 a2, 故选:B 8 (4 分)函数 f(x)(x21)3+2 的极值点是( ) Ax1 Bx1 或 x1 或 x0 Cx0 Dx1 或 x1 【解答】解:由 f(x)(x21)3+2,求导 f(x)3(x21)22x6x(x21)2, 令 f(x)0,解得:x0 或 x1, 由 f(x)0,解得 x0,此时函数单调递增 由 f(x)0,解得 x0,此时函数单调递减 当 x0 时,函数取得极小值 故选:C 9 (4 分)已
14、知点 A(x1,x12) ,B(x2,x22) ,则“ABC 是等边三角形”是“直线 AB 的斜率为 0”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解:由点 A(x1,x12) ,B(x2,x22) ,可得点 A,B 在抛物线 yx2上, 只有点 A,B 关于 y 轴对称时ABC 才有可能是等边三角形,此时“直线 AB 的斜率为 0; 反之“直线 AB 的斜率为 0” ,虽然点 A,B 关于 y 轴对称,但是ABC 不一定是等边三角形 “ABC 是等边三角形”是“直线 AB 的斜率为 0”的充分而不必要条件 故选:A 10 (4 分)若直
15、线 l:xa 与函数 f(x)x2+1,的图象分别交于点 P、Q,当 P、Q 两点距离最近时,a( ) A B C1 D 【解答】解:设函数 yf(x)g(x)x2lnx+1,函数的定义域(0,+) , 求导数得 y2x, 当 0 x时,y0,函数在(0,)上为单调减函数, 当 x时,y0,函数在(,+)上为单调增函数, 所以当 x时,函数的最小值, 所以 a, 故选:D 11 (4 分)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张,要求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为( ) A232 B252 C472 D484
16、 【解答】解:由题意,不考虑特殊情况,共有种取法,其中每一种卡片各取三张,有种取法,两种红色卡片,共有种取法, 故所求的取法共有5601672472 故选:C 12 (4 分)已知 aR设函数 f(x)若关于 x 的不等式 f(x)0 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围为( ) A0,1 B0,2 C0,e D1,e 【解答】解:当 x1 时,f(1)12a+2a10 恒成立; 当 x1 时,f(x)x22ax+2a02a恒成立, 令 g(x)(1x+2)(22)0, 2ag(x)max0,a0 当 x1 时,f(x)xalnx0a恒成立, 令 h(x),则 h(x), 当 xe 时,h(x
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