2022年高考数学三轮复习《第8讲 导数》填空压轴题(含答案解析)
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1、第第 8 讲导数填空压轴题讲导数填空压轴题1 (湖北十一校三月联考)已知不等式2(2ln )(1)10axxxax对任意0 x 恒成立,则实数 a的取值范围是_【答案】1,12e【分析】设 2lnf xaxx, 211g xxax,对实数a的取值进行分类讨论,利用导数分析函数 f x的单调性与最值,根据已知条件列出关于实数a的不等式(组) ,综合可求得实数a的取值范围【解析】设 2lnf xaxx, 211g xxax,其中0 x ,则 1212axfxaxx,当0a 时, 0fx对任意的0 x 恒成立,此时,函数 f x在0,上单调递减,当1x时, 120f xfa,对于 函数 211g x
2、xax,该函 数的对称轴 为直线1122ax,函数 g x在1,2上单调递增,当1x时, 110g xga ,当1x时, 0f x g x ,不符合题意;当0a 时,令 0fx,可得12xa,列表如下:x10,2a12a1,2a fx0 f x极小值 min111 ln1ln222fxfaaa (i)当11ln20faa 时,即当102ae时,2110agaa,则110fgaa,不符合题意;(ii)当11ln20faa 时,即当12ae时,则2110agaa,此时1a ,即112ae对于函数 211g xxax,214130aaa ,当0 x 时, 0f x , 0g x ,则 0f x g
3、x 对任意的0 x 恒成立综上所述,实数a的取值范围是1,12e【名师点睛】结论点睛:利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解:(1)xD , minmf xmf x; (2)xD , maxmfxmfx;(3)xD , maxmfxmfx; (4)xD , minmf xmf x2 (江苏启东市高三期末)若关于 x 的不等式lnxeaxa恒成立,则实数 a 的取值范围为_【答案】0, e【 分 析 】 首 先 不 等 式 变 形 为lnxeaex, 经 讨 论0a 不 成 立 , 当0a 时 , 不 等 式 变 形 为lnlnxxeaexexeaexex,通过设函数
4、( )xg xxe,转化为不等式( )(ln)eg xagex恒成立,通过函数 g x的单调性,和正负区间,讨论求a的取值范围【解析】解:lnlnlnxxxeaxaeaxaeaex若0a ,0 x 时,lnex ,1xe ,lnaex ,此时lnxeaex不恒成立,0a ,lnlnxxeaexexeaexex,令 xg xxe,( )(1)0,1xg xxex ,, 1x 时, 0gx,1,x , 0gx,( )g x在(, 1) 单调递减,( 1,) 单调递增,min1( )( 1)g xge ,( )(ln)eg xagex,ln()0ex 时,( )0g x,(ln)0gex ,原不等式
5、恒成立;ln()0ex 时,( )(ln)g xagexe,令( )lnf xxex,11( )10 xfxxx ,1x ,0,1x时, 0fx,1,x时, 0fx,( )f x在(0,1)单调递减,在(1,)单调递增,min( )(1)0f xf,lnxex,( )(ln)g xgex,即( )1(ln)g xgex,1ae,0ae【名师点睛】关键点点睛:本题考查不等式恒成立求参数的取值范围,第一个关键是说明0a 不恒成立,第二个关键是0a 时,不等式的变形lnlnxxeaexexeaexex,构造函数 xg xxe,第三关键是证明( )1(ln)g xgex3(江苏三校联考) 已知32co
6、s263am,32cos263m , 其中mR,则cos()_【答案】12【分析】构造3( )sinf xxx,判断 f x的奇偶性与单调性,把2cos3化为sin6,2cos3化为sin6, 利用 f x的奇偶性与单调性求出的值, 再计算cos()的值【解析】设3( )sinf xxx,则2( )3cosfxxx,易知 fx是偶函数当01x时,230 x ,cos0 x ,( )0fx;当1x时,233x ,cos1x ,( )0fx,( )0fx恒成立,即 f x在定义域内单调递增3()sin( )fxxxf x , f x为奇函数, f x的图象关于点0,0对称,2coscossin32
7、66,332cossin26366m,同理可得33cossin262666m 则066ff,066,即3,故1cos()cos324 (海口市海南中学高三月考)已知函数 eln2xf xx, 22xg xxm,若函数 h xg f xm有3 个不同的零点 x1,x2,x3(x1x2x3),则1232f xf xf x的取值范围是_【答案】11 002,【分析】先根据题意,求出 h xg f xm的解得 ,2mfx 或 f xm ,然后求出 f(x)的导函数,求其单调性以及最值,在根据题意求出函数 h xg f xm有 3 个不同的零点 x1,x2,x3(x1x2x3),分情况讨论求出1232f
8、 xf xf x的取值范围【解析】 令 t=f (x) , 函数 h xg f xm有 3 个不同的零点, 即 22tg ttm+m=0 有两个不同的解,解之得12,2mttm ,即 ,2mfx 或 f xm , eln2xf xx的导函数, 21 ln(0)2exfxxx,令 0fx,解得 xe, 0fx,解得 0 xe,可 得 f ( x ) 在 ( 0 , e ) 递 增 , 在, e 递 减 ; f(x) 的 最 大 值 为 12f e , 且 0,;,0 xf xxf x,且 f(1)=0;要使函数 h xg f xm有 3 个不同的零点,(1) ,2mfx 有两个不同的解,此时 f
9、 xm 有一个解;(2) f xm 有两个不同的解,此时 ,2mfx 有一个解当 ,2mfx 有两个不同的解,此时 f xm 有一个解,此时11,24mm ,不符合题意;或是0,0mm不符合题意;只能是01022mm解得01m, 1f xm ,23,2mf xf x此时1232f xf xf x=-m,此时10m , f xm 有两个不同的解,此时 ,2mfx 有一个解,此时1,122mm,不符合题意;或是0,02mm不符合题意; 只 能 是02102mm 解 得102m,12mf x,23f xf xm , 此 时1232f xf xf x=m,102m 。综上:1232f xf xf x的
10、取值范围是11 002,。【名师点睛】本题主要考查了函数与导函数的综合,考查到了函数的零点,导函数的应用,以及数形结合的思想、分类讨论的思想,属于综合性极强的题目,属于难题5 (天一大联考)已知函数 f x的定义域为0 ,其导函数为 fx,且满足 0f x , 0f xfx,若1201xx ,且121x x给出以下不等式: 2112xxf xef x; 1221x f xx f x; 1122x f xx f x; 2111f xxf x其中正确的有_(填写所有正确的不等式的序号)【答案】【分析】根据 f (x) +f (x) 0构造函数,再利用导数工具处理函数不等式问题【解析】设( )e(
11、)xF xf x,则( )e( )( )0 xF xfxf x,由此可得( )F x单调递减, 1212eexxf xf x,即 2112exxf xf x,故正确;( )0f x ,( )( )0f xfx,( )0fx,( ) f x单调递减, 22111xf xf xf xx, 1221x f xx f x,故正确;对于, 由分析可知 2112exxf xf x, 欲使 1122x f xx f x, 且121x x, 即 2122f xxf x成 立 , 只 需 满 足22122xxex即 可 , 即 证222212ln(1)xxxx, 设 12lnm xxxx, 则22212(1)(
12、 )10 xm xxxx ,则( )m x单调递增,2(1)0m xm,故正确;对 于 , 假 设 2111f xxf x成 立 , 1212eexxf xf x, 11112exxf xf x, 1111e1xxx ,取112x ,则3212e,322e ,矛盾,故不正确故答案为:【名师点睛】 关键点睛: 本题的关键是通过构造函数并利用函数的单调分析不等式, 根据 f (x) +f (x) 0),得 y=2ax,由 y=ex,得 y=ex,曲线 C1:y=ax2(a0)与曲线 C2:y=ex存在公共切线,设公切线与曲线 C1切于点(x1,ax12),与曲线 C2切于点22,xx e,则222
13、11212xxeaxaxexx,可得 2x2=x1+2,11212xeax,记 122xef xx,则 12224xexfxx,当 x(0,2)时,f(x)0,f(x)递增当 x=2 时, 2min4ef x,a 的范围是2,4e18 ( 东 北 三 省 四 市 联 考 ) 已 知 函 数 f (x = )ex +2ex , g (x = )x a , 若 关 于 x 的 不 等 式f (x )1 g (x+ )1 在R 上恒成立,求实数a 的取值范围是_【答案】ln 2 1 a 3【分析】先研究函数h (x = )f (x )1的单调性,再讨论 g (x+ )1 表示的直线与h(x )相切时
14、参 a 的值,结合直线特征确定纵截距使得h(x )恒在直线上方,即求得参数的取值范围【解析】令 1h xf x,则 222xxxxxeeh xeee,令 0h x,得ln2x ,当,ln2x 时, 0h x, h x单调递减,当ln2,x时, 0h x, h x单调递增又 g xxa,则 11xxag ,当 11xxag时,若直线1yxa与 yh x相切时,设切点为11,1x xa,则 11121xxh xee,解得1ln2x ,又 1111211xxh xeexa ,ln2ln221ln21eea ,解得此时纵截距为12ln2a,故当纵截距12ln2a时,可以使 11f xg x 恒成立,即
15、ln2 1a ;当 11axxg 时,若直线1yxa 与 yh x相切时,设切点为22,1xxa,则22221xxh xee ,解得20 x ,又2222211xxh xeexa ,002101eea ,解得此时纵截距为12a ,故当纵截距12a 时,可以使 11f xg x 恒成立,即3a ;由已知对x R,都有 11f xg x ,需ln2 13a 故答案为:ln2 13a 【名师点睛】关键点点睛:本题的解题关键在于确定 1g x 表示的直线与曲线 1h xf x相切时的临界状态下的纵截距, 再结合截距变化确定何时 h x恒在直线上方,即突破难点19 (安徽皖北协作区联考)已知函数2ln(
16、1),( )1(1),exxf xxxx若函数( )( ( )( )1g xf f xaf xa恰有 5个不同的零点,则实数 a 的取值范围是_【答案】10a2【分析】运用导数研究函数当 x1 时,函数的图像大致情况,结合函数零点的定义,运用换元法、数形结合思想进行求解即可【解析】当 x1 时,2(1 ln )( )exfxx),( )0fx1xe,( )0fxxe,( )f x在(1,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,ln( )1eef ee,且当 x+时( )0f x ,x 轴为曲线( )f x的水平渐近线;当1x 时,2( )1f xx,( )f x在(,0)上单调递减,在(0,1
17、)上单调递增,且(0)1f 由此作图,图像如图,设( )f xt,则由( )( ( )( )10g xf f xaf xa ,得( )10( )1(1) 1f tataf tataa t ,若函数( )( ( )( )1g xf f xaf xa恰有 5 个不同的零点,则关于 x 的方程( )( ( )( )10g xf f xaf xa 恰有 5 个不同的实根,则 结 合 函 数( )yf x的 图 像 及 直 线(1) 1ya x得( )(1) 1f ta t恰 有 2 个 不 等 的 实 根 ,1( )1,0ttf x 有 2 个不等的实根,2( )0,1ttf x有 3 个不等的实根,
18、函数( )(1) 1f ta t恒过(1, 1),当直线过( 1,0)时,斜率1 011 ( 1)2a ,102a【名师点睛】方法点睛:解决函数零点问题经常用到的方程就是数形结合,用导数研究函数的性质20 (湖南衡阳市高三一模)定义在R 上的函数 f (x )满足 f (x + )f (2 x = )1 , f (x )的导函数 f (x ),则 f (2019 )f (2021 = )_【答案】0【分析】对 21fxfx两边同时求导得 20 xxff,进而得答案【解析】 21fxfx, 两边同时求导可得: 20 xxff, 故201902021ff【名师点睛】本题考查复合函数导数问题,解题的
19、关键在于根据已知对函数求导,考查运算求解能力,是中档题21 (山西临汾市高三一模)对于一个函数 yf xxD,若存在两条距离为d的直线1ykxm和2ykxm,使得 12kxmf xkxm在xD时恒成立,称函数 f x在D内有一个宽度为d的通道则下列函数在1,内有一个宽度为 1 的通道的有_ (填序号即可) 1sin cos2f xx; ln xfxx; 21f xx; 2cos3f xxx【答案】【分析】对于,分析发现 f x在定义域内存在最大和最小值,则 f x在两条水平直线之间,计算过最值的两条水平直线间的距离可判断;对于,可发现函数 f x的渐近线为yx,则可判定过端点与渐进性平行的直线
20、为1yx,且距离1d ,则存在两条直线,距离可得到【解析】对于, 12sincossin224f xxxx, 2222fx,则 f x在两条直线22y 和22y 之间,两直线的距离222122d ,不存在宽度为 1 的通道,故错误;对于,函数 ln xfxx,研究函数 f x在1,上的最大值 21 ln xfxx,函数在xe时取得极大值点即最大值点, 11f ee,x 时,函数 0f x , 10fxe,故存在两直线1y 和0y ,1d ,故正确;对于,函数 21f xx;函 数 f x随x的 增 大 而 增 大 , 渐 近 线 为yx, 取 两 条 直 线21yx,1yx, 故21112d
21、,故正确;对 于 , 函 数 2cos3f xxx, 222cos333xxxx, 由 此 得 到 两 直 线 的 距 离22332 281392d,故存在两条直线223yx,23yx,两条直线的距离1d 故正确故答案为:【名师点睛】本题考查学生的思维能力和转化能力,属于中档题;知识点点睛: (1)观察三角函数的图像需要用到三角函数的辅助角公式,然后可知三角函数的最值; (2)函数图像的判断经常需要借助于导数,用导数求得函数的最值或范围。22(陕西西安市高三月考) 已知可导函数( )f x的定义域为(0,), 满足( )2 ( )0 xfxf x, 且(2)4f,则不等式24xxf的解集是_【
22、答案】,1【分析】构造函数2( )( )f xg xx,由导数确定单调性后,利用单调性解函数不等式【解析】设2( )( )f xg xx,则3( )2 ( )xfxxxf xg,0 x ,( )2 ( )0 xfxf x,( )0g x,( )g x在(0,)上单调递减,(2 )4xxf,即 22144xxff ,令2xt,即 224f tft, 2g tg,2t ,22x,1x 故答案为:,1【名师点睛】关键点点睛:本题考查解函数不等式,解题关键是构造新函数2( )( )f xg xx,利用导数确实单调性,已知不等式转化为关于( )g x的函数不等式,然后求解23 (湖北武汉市高三月考)设函
23、数3( )(2ln)xef xt xxxx恰有两个极值点,则实数 t 的取值范围为_【答案】1(, )()3 44ee【分析】求导可得( )fx的解析式,根据题意,有两个极值点,可得( )0fx恰有两个正根,(3)=0 xet x有唯一正根,即+3xetx有唯一正根,设( )(0)+3xeg xxx,求导可得( )g x的单调性,结合yt的图象,综合分析,即可得答案【解析】3( )(2ln)(0)xef xt xxxxx,222223(1)(1)(3)(1)(3)( )1xxxxexeext xxxet xfxtxxxxx ,( )f x有两个极值点,( )0fx恰有两个正根,即=1x为一个根
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