2022年高考数学三轮复习《第1讲 函数》选择压轴题(含答案解析)
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1、1 / 63第第 1 讲函数选择压轴题讲函数选择压轴题一、单选题:1 (广西玉林模拟(理) )23(2ln3)1ln3,3abcee,则 a,b,c 的大小顺序为()AacbBcabCabcDbac【答案】A【分析】构造函数ln( )xf xx ,应用导数研究其单调性,进而比较2()3eaf,( )bf e,(3)cf的大小,若ln xtx有两个解12,x x,则121xex,1(0, )te,构造2(1)( )ln(1)1xg xxxx,利用导数确定( )0g x,进而得到212121lnln2xxxxxx,即可判断 a、c 的大小,即可知正确选项【解析】令ln( )xf xx ,则222l
2、n3()33eeafe,ln( )ebf ee,ln3(3)3cf,而21 ln( )xfxx且0 x ,即0 xe时( )f x单调增,xe时( )f x单调减,又2133ee,bc,ba若ln xtx有两个解12,x x,则121xex,1(0, )te,即2121lnlnxxtxx,1212ln x xxxt,令2(1)( )ln(1)1xg xxxx,则22(1)( )0(1)xg xx x,即( )g x在(1,)上递增,( )(1)0g xg,即在(1,)上,2(1)ln1xxx,若21xxx即212121lnln2xxxxxx,故122lnttx x,有212x xe,当23x
3、时,213eex,故21()()(3)3eff xf,综上:bca 故选 A【点睛】关键点点睛:利用函数与方程的思想,构造函数,结合导数研究其单调性或极值,从而确定 a,b,c 的大小2 / 632 (江苏省天一中学高三二模)若不等式32ln(1)20axxx在区间(0,)内的解集中有且仅有三个整数,则实数a的取值范围是A932,2ln2 ln5B932,2ln2 ln5C932,2ln2 ln5D9,2ln2【答案】C【分析】由题可知,设函数( )ln(1)f xax,32( )2g xxx,根据导数求出 g x的极值点,得出单调性,根据32ln(1)20axxx在区间(0,)内的解集中有且
4、仅有三个整数,转化为( )( )f xg x在区间(0,)内的解集中有且仅有三个整数,结合图象,可求出实数a的取值范围【解析】设函数( )ln(1)f xax,32( )2g xxx,2( )34g xxx,( )0g x,0 x或43x ,403x时,( )0g x,43x 或0 x 时,( )0g x,(0)(2)0gg,其图象如下:当0a时,( )( )f xg x至多一个整数根;当0a 时,( )( )f xg x在(0,)内的解集中仅有三个整数,只需(3)(3)(4)(4)fgfg,3232ln432 3ln5 42 4aa ,9322ln2ln5a 故选 C【点睛】本题考查不等式的
5、解法和应用问题,还涉及利用导数求函数单调性和函数图象,同时考查数形结合思想和解题能力3 / 633 (黑龙江齐齐哈尔市实验中学高三期末(理) )已知函数21,1( )|ln(1) ,1xxf xxx,则方程( ( )1ff x的根的个数为()A7B5C3D2【答案】A【分析】令 uf x,先求出方程 1f u 的三个根11u ,211ue ,31ue ,然后分别作出直线1u ,11ue ,1ue 与函数 uf x的图象,得出交点的总数即为所求结果【解析】令 uf x,先解方程 1f u (1)当1u 时,则 21 1f uu ,得11u ;(2)当1u 时,则 ln11f uu,即ln11u
6、,解得211ue ,31ue 如下图所示:直线1u ,11ue ,1ue 与函数 uf x的交点个数为3、2、2,方程 1ffx 的根的个数为3227,故选 A【点睛】本题考查复合函数的零点个数,这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数,求出外层函数的若干个根,再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数,考查数形结合思想,属于难题4(湖北 B4 调研) 已知集合1ln1xaeaxAx xx, 集合2021ln2021Bxxx, 若BA,则实数a的取值范围为()4 / 63A,1eB, e eC1,eD1,1【答案】A【分析】先求出集合B,再根据包含关系可得1ln1xaeaxxx在1
7、,上恒成立即lnlnxaxaxxee在1,上恒成立,就0,01,1aaa分类讨论后可得正确的选项【解析】先考虑不等式2021ln2021xx的解,2021 ,lnyx yx均为0,上的增函数,故 2021lnf xxx为0,上的增函数,故1,B 故1,为不等式1ln1xaeaxxx的解集的子集,即1ln1xaeaxxx在1,上恒成立,故lnlnxaxaxxee在1,上恒成立令 lng ttt ,则 111tg ttt ,故当01t 时, 0g t,故 g t在0,1上为减函数;当1t 时, 0g t,故 g t在1,上为增函数;当0a 时,1x,故10,1 ,0,axxee,故axxe在1,上
8、恒成立,即lnxax 在1,上恒成立,令 lnxS xx ,故 2ln1lnxSxx ,当1xe时, 0Sx,当xe时, 0Sx,故 S x在1,e上为增函数,在, e 上为减函数,故 maxlneS xee ,故ae 即0ea 若0a ,当01a时,1x,故1axx,lnlnaaxxxxxxe(注意lnxex 恒成立) ,故01a符合题意当1a 时,lnlnxaxaxxee在1,上恒成立,故33333lnln3aaeeeeeeeee,即3333aeeeae,设 33 ,1aaTeaa,则 3330aTae,故 T a在1,上为增函数,故 33351011331231328T aTeeee ,
9、 故3333aeeeae不成立, 故1a 舍去,综上,1ea 故选 A【点睛】思路点睛:导数背景下的不等式恒成立问题,应该根据不等式中解析式的特点合理转化,特别是5 / 63对于指数与对数同时出现的形式,可利用同构的思想进行转化5 (河南皖豫名校联盟体联考(理) )已知函数 248 ,0,248,2,xx xg xxx, 2f xkxg x在0,上有3个不同的零点,则实数k的取值范围是()A4 28,B4 28,11,C4 28,4D4 28,11,4【答案】D【分析】由题意可知,函数2ykx与 g x的图象在0,上有三个交点,对实数k的取值进行分类讨论,数形结合可得出关于实数k的不等式组,综
10、合可解得实数k的取值范围【解析】函数 2f xkxg x在0,上有3个不同的零点,关于x的方程 2kxg x在0,上有3个不同的实数根,作出函数 g x的图象如下图所示:函数2ykx的图象恒过点0,2,当0k 时,函数2ykx的图象与x轴的交点为2,0k,当2102k时,即当4k 时,函数2ykx与 g x的图象在0,上仅有2个不同的交点,如下图所示:6 / 63当1222k时, 即当14k时, 函数2ykx与 g x的图象在20,k上有1个交点, 在2,k上有2个交点,如下图所示:当22k时,即当01k时,函数2ykx与 g x的图象在20,k上有3个交点,在2,k上有0个交点,如下图所示:
11、当22k时,即当1k 时,函数2ykx与 g x的图象在0,上有2个交点,如下图所示:7 / 63当0k 时,要使得函数2ykx与 g x的图象在0,上有3个交点,则2ykx与 g x的图象在0,上有3个交点,则2ykx与函数248yxx 在0,2上的图象有两个交点,即方程2248kxxx 在0,2上有两个不等的实根,设 2482h xxkx,则 h x在0,2上有两个零点,可得 2832080280202220kkffk ,解得4 281k ,此时4 280k 且2ykx与48yx的图象在2,上有一个交点,则04k ,解得40k 由上可知,4 280k ;当0k 时,22ykx,如下图所示:
12、8 / 63直线2y 与函数 g x在0,上的图象有三个交点综上所述,实数k的取值范围是4 28,11,4故选 D【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解6 (郁南县蔡朝焜纪念中学高三月考)已知偶函数 f x满足33fxfx,且当0,3x时, 2xfxxe,若关于 x 的不等式 20fxtf x在150,150上有
13、且只有 150 个整数解,则实数 t 的取值范围是()A120,eB1322,3eeC3123,2eeD112,2ee【答案】B【分析】 根据偶函数 f x满足33fxfx, 得到函数 f x是以 6 为周期的周期函数, 由0,3x时, 2xfxxe, 用导数法结合偶函数, 作出数 f x在( 3,3上的图象, 将不等式 20fxtf x在150,150上有且只有 150 个整数解,转化为在一个周期( 3,3上 f xt有 3 个整数解分别为-2,2,3求解【解析】偶函数 f x满足33fxfx, 6fxf xfx,即 6+fxf x,函数 f x是以 6 为周期的周期函数,当0,3x时, 2
14、xfxxe, 22xxfxe(1-),9 / 63当02x时, 0fx,函数 f x递增;当23x时, 0fx,函数 f x递减;当当2x 时,函数 f x取得极大值 2f xe,作出函数 f x在( 3,3上的图象,如图所示:不等式 20fxtf x在150,150上有且只有 150 个整数解,不等式 20fxtf x在( 3,3上有且只有 3 个整数解,当 0f x 时,不符合题意,故不等式 f xt在( 3,3上有且只有 3 个整数解, 1322133,fefe, 3311ffe,即( )( )13ff,故不等式 f xt在( 3,3上的 3 个整数解分别为-2,2,3, 13fft ,
15、即32123tee ,故选 B。【点睛】方法点睛:用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决7 (江苏南通期中)已知 f x是定义域为0,的单调函数,若对任意的0,x,都有 13log4ff xx,且方程 3f xa在区间0,3上有两解,则实数a的取值范围是()A01aB1a C01aD1a 【答案】A【分析】根据函数 f x的定义域和单调函数,可得必存在唯一的正实数m满足13( )logf xxm,10 / 63 4f m,结合13( )logf mmm,可得3m,函数13( )3logf
16、xx,由方程( )3f xa在区间(0,3上有两解,则13log xa在区间(0,3上有两解,设 13logg xx,作出函数 g x在(0,3上的图象, 结合图象,可得实数a的取值范围【解析】 函数 f x是定义域为(0,)的单调函数, 对于任意的(0,)x, 都有13 ( )log4f f xx,必存在唯一的正实数m满足13( )logf xxm, 4f m,13( )logf mmm,可得134log mm,即13log4mm,3m,13( )log3f xx,函数13( )3logf xx,由方程( )3f xa在区间(0,3上有两解,则13log xa在区间(0,3上有两解,设 13
17、logg xx,作出函数 g x在(0,3上的图象,如图所示, 结合图象,可得方程( )3f xa在区间(0,3上有两解, 实数a满足01a故选 A。【点睛】本题考查了对数函数的运算性质及对数函数的图象与性质的综合应用,综合性强,难度较大,解题时要认真审题, 注意挖掘题设中的隐含条件, 合理进行等价转化, 本题的解答中根据13 ( )log4f f xx,等价转换求得函数 f x的解析式是解答的关键8 (天津一中高三月考)已知函数2( ) f xxpxq对,p qR,总有01,5x,使0f xm成立,则m的范围是()A5,2B(,2C(,3D(,4【答案】B11 / 63【分析】根据已知条件先
18、分析得到 maxminmf x,然后分析2( ) f xxpxq的几何意义,通过分析 2g xx与 h xpxq 在横坐标相等时,纵坐标竖直距离取最大值的最小值时对应的, p q的取值,由此确定出 f x的解析式,同时求解出 maxf x,由此m的范围可知【解析】由题意可知:01,5x,0f xm成立,即 maxmf x,又对,p qR, maxmf x, maxminmf x,又2( ) f xxpxq可看作 2g xx与 h xpxq 在横坐标相等时,纵坐标的竖直距离,由 2g xx,1,5x,可取1,1 ,5,25AB,AB的直线方程为1:65lyx,设l与AB平行且与 2g xx相切于
19、00,C x y, 0026gxx, 03x , 切线为2:69lyx,当 h x与12, l l平行且与两条直线的距离相等时,即恰好在12, l l的中间,此时 2g xx与 h xpxq 在纵坐标的竖直距离中取得最大值中的最小值,此时 67h xx,则 222676732f xxxxxx,又1,5x,230,4x, max422f x,此时1x 或3或5,m的范围是,2,故选 B【点睛】结论点睛: h xf xg x的几何意义:当 f x与 g x在横坐标相等时,纵坐标的竖直距离9 (北京怀柔区高三其他模拟)形状节奏声音或轨迹,这些现象都可以分解成自复制的结构即相同的形式会按比例逐渐缩小,
20、并无限重复下去,也就是说,在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式,依此类推,如图所示,将图 1 的正三角形的各边都三等分,以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形,去掉中间一段得到图 2, 称为“一次分形”; 用同样的方法把图 2 中的每条线段重复上述操作, 得到图 3, 称为“二次分形”; 依次进行“n 次分形”, 得到一个周长不小于初始三角形周长 100 倍的分形图, 则 n 最小值是 ()(取lg30.4771,lg20.3010)12 / 63A15B16C17D18【答案】C【分析】根据分形的变化规律,得出一条长为 a 线段 n 次分形后变为长为43na的折线,建立不等关系,利用对数
21、求解即可【解析】设正三角形的一条边长为 a,“一次分形”后变为长为43a的折线,“二次分形”后折线长度为243a,“n 次分形”后折线长度为43na,得到一个周长不小于初始三角形周长 100 倍的分形图,只需满足41003naa,两边同时取常用对数得:4lglg10023n,即得:(2lg2lg3)2n,解得2216.012lg2lg30.60200.4771n ,故至少需要 17 次分形,故选 C【点睛】关键点点睛:仔细读题,弄懂分形变化的规律,即正三角形的一条边长为 a,“一次分形”后变为长为43a的折线,“二次分形”后折线长度为243a,“n 次分形”后折线长度为43na是解题的关键10
22、 (天津和平区高三一模)已知aR,设函数 222 ,1ln1,1xaxa xf xxx,若关于x的方程 14f xxa 恰有两个互异的实数解,则实数a的取值范围是()A,0B52 6,813 / 63C52 6,0,8D52 65,84【答案】D【分析】 就2122,14xaxaxa x 及1ln1,14xxa x 的根的个数分类讨论后可得实数a的取值范围【解析】关于x的方程 14f xxa 恰有两个互异的实数解,故2122,14xaxaxa x 有两个不同的实数根且1ln1,14xxa x 无实根或2122,14xaxaxa x 、1ln1,14xxa x 各有一个实数根或2122,14xa
23、xaxa x 无实根且1ln1,14xxa x 有两个实数根若1ln1,14xxa x 有两个不同的实数根,则1ln10,14xxax 有两个不同的实数根,1ln1,14xxayx 为增函数,故1ln10,14xxax 有两个不同的实数根不成立若2122,14xaxaxa x 、1ln1,14xxa x 各有一个实数根,先考虑1ln1,14xxa x 有一个实数根即1ln10,14xxax 有一个实数根,1ln1,14xxayx 为增函数,故1ln1104a ,故54a 再考虑2122,14xaxaxa x 有一个实数根即21(2)0,14xaxax有一个实数根令 21(2),14h xxax
24、a x, 111204haa ,故21(2)0,14xaxax有一个实数根故54a 时,2122,14xaxaxa x 、1ln1,14xxa x 各有一个实数根若2122,14xaxaxa x 有两个不同的实数根且1ln1,14xxa x 无实根,1ln1,14xxa x 无实根,则由前述讨论可得54a ,14 / 632122,14xaxaxa x 有两个不同的实数根,故2124121240411 204aaaaa,解得52 68a,综上,52 65,84a ,故选 D【点睛】方法点睛:知道分段函数零点个数,则可以根据各段函数的形式确定各段上零点的个数,并结合相应的函数的特征再利用单调性或
25、根分布等方法来处理即可11(陕西下学期质检 (文) ) 已知函数 ln,0,1 ,0 xx xf xx xx关于x的方程 210fxtf x (tR)有 8 个不同的实数根,则t的取值范围是()A1e,eB211,ee2e C17,4 D172,4 【答案】C【分析】根据分段函数得解析式,利用导数研究函数 f x的性质,作出函数 f x的图象,将方程有 8 个不同的实数根转化为方程210mtm 在1 1,4 e存在两个不同的实数根或在1,e和10,4上各有 1个根,进而得到t的取值范围【解析】当0 x 时, lnf xxx令 lnF xxx,则 ln1Fxx令 0Fx,则1ex ,e1e1F
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